* Neurozoo
** Funkcja sigmoidalna

Funkcja sigmoidalna zamienia dowolną wartość („sygnał”) w wartość z przedziału $(0,1)$, czyli wartość, która może być interperetowana jako prawdopodobieństwo.

$$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch

  def sigmoid(x):
      return 1 / (1 + torch.exp(-x))

  sigmoid(torch.tensor(0.6))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[1]:
: tensor(0.6457)
:end:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :results file
  %matplotlib inline
  import matplotlib.pyplot as plt
  import torch

  x = torch.linspace(-5,5,100)
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("y")
  plt.plot(x, sigmoid(x))
  fname = 'sigmoid.png'
  plt.savefig(fname)
  fname
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:# Out[32]:
: 'sigmoid.png'
[[file:./obipy-resources/Tb0Of9.png]]]]

*** PyTorch

Funkcja ~torch.sigmoid~ po prostu stosuje sigmoidę do każdego elementu tensora (/element-wise/).

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch

  torch.sigmoid(torch.tensor([0.6, 1.0, -5.0]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[38]:
: tensor([0.6457, 0.7311, 0.0067])
:end:

Istnieje również ~torch.nn.Sigmoid~, które może być używane jako warstwa.

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn

  s = nn.Sigmoid()
  s(torch.tensor([0.0, -0.2, 0.4]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[49]:
: tensor([0.5000, 0.4502, 0.5987])
:end:

**** Implementacja w Pytorchu

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
    import torch.nn as nn
    import torch

    class MySigmoid(nn.Module):
        def __init__(self):
            super(MySigmoid, self).__init__()

        def forward(self, x):
            return 1 / (1 + torch.exp(-x))

    s = MySigmoid()
    s(torch.tensor([0.0, 0.5, 0.3]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[48]:
: tensor([0.5000, 0.6225, 0.5744])
:end:

*** Wagi

Funkcja sigmoidalna nie ma żadnych wyuczalnych wag.

**** *Pytanie*: Czy można rozszerzyć funkcję sigmoidalną o jakieś wyuczalne wagi?

** Regresja liniowa

** Softmax

W klasyfikacji wieloklasowej należy zwrócić musimy zwrócić rozkład
prawdopodobieństwa po wszystkich klasach, w przeciwieństwie do
klasyfikacji binarnej, gdzie wystarczy zwrócić jedną liczbę —
prawdopodobieństwo pozytywnej klasy ($p$; prawdopodobieństwo drugiej
klasy to po prostu $1-p$).

A zatem na potrzeby klasyfikacji wieloklasowej potrzeba wektorowego
odpowiednika funkcji sigmoidalnej, to jest funkcji, która zamienia
nieznormalizowany wektor $\vec{z} = [z_1,\dots,z_k]$ (pochodzący np. z
poprzedzającej warstwy liniowej) na rozkład prawdopobieństwa.
Potrzebujemy zatem funkcji $s: \mathcal{R}^k \rightarrow [0,1]^k$

spełniającej następujące warunki:

- $s(z_i) = s_i(z) \in [0,1]$
- $\Sigma_i s(z_i) = 1$
- $z_i > z_j \Rightarrow s(z_i) > s(z_j)$

Można by podać takie (*błędne*!) rozwiązanie:

$$s(z_i) = \frac{z_i}{\Sigma_{j=1}^k z_j}$$

To rozwiązanie zadziała błędnie dla liczb ujemnych, trzeba najpierw
użyć funkcji monotonicznej, która przekształaca $\mathcal{R}$ na $\mathcal{R^+}$.
Naturalna funkcja tego rodzaju to funkcja wykładnicza $\exp{x} = e^x$.
Tym sposobem dochodzimy do funkcji softmax:

$$s(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\Sigma_{j=1}^k e^{z_j}}$$

Mianownik ułamka w definicji funkcji softmax nazywamy czasami czynnikiem normalizacyjnym:
$Z(\vec{z}) = \Sigma_{j=1}^k e^{z_j}$, wtedy:

$$s(z_i) = \frac{e^{z_i}}{Z(\vec{z})}$$

Definicja w PyTorchu:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch

  def softmax(z):
      z_plus = torch.exp(z)
      return z_plus / torch.sum(z_plus)

  softmax(torch.tensor([3., -1., 0., 5.]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[75]:
: tensor([0.1182, 0.0022, 0.0059, 0.8737])
:end:

*** Soft vs hard

Dlaczego /softmax/? Czasami używa się funkcji *hardmax*, która np.
wektora $[3, -1, 0, 5]$ zwróciłaby $[0, 0, 0, 5]$ — to jest po prostu
wektorowa wersja funkcji zwracającej maksimum. Istnieje też funkcja
hard*arg*max, która zwraca wektor /one-hot/ — z jedną jedynką na
pozycji dla największej wartości (zamiast podania największej
wartości), np. wartość hardargmax dla $[3, -1, 0, 5]$ zwróciłaby $[0,
0, 0, 1]$.

Zauważmy, że powszechnie przyjęta nazwa /softmax/ jest właściwie
błędna, funkcja ta powinna nazywać się /softargmax/, jako że w
„miękki” sposób identyfikuje największą wartość przez wartość zbliżoną
do 1 (na pozostałych pozycjach wektora nie będzie 0).

**** *Pytanie*: Jak można zdefiniować funkcję /softmax/ w ścisłym tego słowa znaczeniu („miękki” odpowiednik hardmax, nie hardargmax)?



*** PyTorch

Funkcja ~torch.nn.functional.softmax~ normalizuje wartości dla całego tensora:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn

  nn.functional.softmax(torch.tensor([0.6, 1.0, -5.0]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[5]:
: tensor([0.4007, 0.5978, 0.0015])
:end:

… zobaczmy, jak ta funkcja zachowuje się dla macierzy:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn

  nn.functional.softmax(torch.tensor([[0.6, 1.0], [-2.0, 3.5]]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[6]:
#+BEGIN_EXAMPLE
  tensor([[0.4013, 0.5987],
  [0.0041, 0.9959]])
#+END_EXAMPLE
:end:

Za pomocą (zalecanego zresztą) argumentu ~dim~ możemy określić wymiar, wzdłuż którego dokonujemy normalizacji:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn

  nn.functional.softmax(torch.tensor([[0.6, 1.0], [-2.0, 3.5]]), dim=0)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[8]:
#+BEGIN_EXAMPLE
  tensor([[0.9309, 0.0759],
  [0.0691, 0.9241]])
#+END_EXAMPLE
:end:

Istnieje również ~torch.nn.Softmax~, które może być używane jako warstwa.

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn

  s = nn.Softmax(dim=0)
  s(torch.tensor([0.0, -0.2, 0.4]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[10]:
: tensor([0.3021, 0.2473, 0.4506])
:end:

**** Implementacja w Pytorchu

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn
  import torch

  class MySoftmax(nn.Module):
      def __init__(self):
          super(MySoftmax, self).__init__()

      def forward(self, x):
          ex = torch.exp(x)
          return ex / torch.sum(ex)

  s = MySigmoid()
  s(torch.tensor([0.0, 0.5, 0.3]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[48]:
: tensor([0.5000, 0.6225, 0.5744])
:end:

***** *Pytanie*: Tak naprawdę wyżej zdefiniowana klasa ~MySoftmax~ nie zachowuje się identycznie jak ~nn.Softmax~. Na czym polega różnica?

*** Przypadek szczególny

Sigmoida jest przypadkiem szczególnym funkcji softmax:

$$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x + 1} = \frac{e^x}{e^x + e^0} = s([x, 0])_1$$

Ogólniej: softmax na dwuelementowych wektorach daje przesuniętą sigmoidę (przy ustaleniu jednej z wartości).

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :results file
  %matplotlib inline
  import matplotlib.pyplot as plt
  import torch
  import torch.nn as nn

  x = torch.linspace(-5,5,100)
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("y")
  a = torch.Tensor(x.size()[0]).fill_(2.)
  m = torch.stack([x, a])
  plt.plot(x, nn.functional.softmax(m, dim=0)[0])
  fname = 'softmax3.png'
  plt.savefig(fname)
  fname
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:# Out[19]:
: 'softmax3.png'
[[file:./obipy-resources/gjBA7K.png]]]]

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :results file
  %matplotlib inline
  import matplotlib.pyplot as plt
  from mpl_toolkits import mplot3d
  import torch
  import torch.nn as nn

  x = torch.linspace(-5,5,10)
  y = torch.linspace(-5,5,10)
  fig = plt.figure()
  ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("y")
  X, Y = torch.meshgrid(x, y)
  m = torch.stack([X, Y])
  z = nn.functional.softmax(m, dim=0)
  ax.plot_wireframe(x, y, z[0])
  fname = 'softmax3d.png'
  plt.savefig(fname)
  fname
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:# Out[27]:
: 'softmax3d.png'
[[file:./obipy-resources/p96515.png]]]]

*** Wagi

Podobnie jak funkcja sigmoidalna, softmax nie ma żadnych wyuczalnych wag.

*** Zastosowania

Podstawowym zastosowaniem funkcji softmax jest klasyfikacja
wieloklasowa, również w wypadku zadań przetwarzania sekwencji, które
mogą być interpretowane jako klasyfikacja wieloklasowa:

- przewidywanie kolejnego słowa w modelowaniu języka (klasą jest słowo, zbiór klas to słownik)
- przypisywanie etykiet (np. części mowy) słowom.

** LogSoftmax

Ze względów obliczeniowych często korzysta się z funkcji *LogSoftmax*
która zwraca logarytmy pradopodobieństw (/logproby/).

$$log s(z_i) = log \frac{e^{z_i}}{\Sigma_{j=1}^k e^{z_j}}$$

*** PyTorch

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn

  s = nn.LogSoftmax(dim=0)
  s(torch.tensor([0.0, -0.2, 0.4]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[25]:
: tensor([-1.1971, -1.3971, -0.7971])
:end:

Niektóre funkcje kosztu (np. ~NLLLoss~) zaimplementowane w PyTorchu
operują właśnie na logarytmach prawdopobieństw.

** Przykład: klasyfikacja wieloklasowa

Na przykładzie rozpoznawania dyscypliny sportu: git://gonito.net/sport-text-classification.git

Wczytujemy zbiór uczący:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import gzip
  from pytorch_regression.analyzer import vectorize_text, vector_length

  texts = []
  labels = []
  labels_dic = {}
  labels_revdic = {}
  c = 0

  with gzip.open('sport-text-classification/train/train.tsv.gz', 'rt') as fh:
    for line in fh:
      line = line.rstrip('\n')
      line = line.replace('\\\t', ' ')
      label, text = line.split('\t')
      texts.append(text)
      if label not in labels_dic:
         labels_dic[label] =c
         labels_revdic[c] = label
         c += 1
      labels.append(labels_dic[label])
  nb_of_labels = len(labels_dic)
  labels_dic
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[23]:
#+BEGIN_EXAMPLE
  {'zimowe': 0,
  'moto': 1,
  'tenis': 2,
  'pilka-reczna': 3,
  'sporty-walki': 4,
  'koszykowka': 5,
  'siatkowka': 6,
  'pilka-nozna': 7}
#+END_EXAMPLE
:end:

Przygotowujemy model:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch.nn as nn
  from torch import optim

  model = nn.Sequential(
          nn.Linear(vector_length, nb_of_labels),
          nn.LogSoftmax()
        )

  optimizer = optim.Adam(model.parameters())
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[8]:
:end:

Funkcja kosztu to log-loss.

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import torch
  import torch.nn.functional as F

  loss_fn = torch.nn.NLLLoss()

  expected_class_id = torch.tensor([2])
  loss_fn(torch.log(
             torch.tensor([[0.3, 0.5, 0.1, 0.0, 0.1]])),
          expected_class_id)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[9]:
: tensor(2.3026)
:end:

Pętla ucząca:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  iteration = 0
  step = 50
  closs = torch.tensor(0.0, dtype=torch.float, requires_grad=False)

  for t, y_exp in zip(texts, labels):
    x = vectorize_text(t).float().unsqueeze(dim=0)

    optimizer.zero_grad()

    y_logprobs = model(x)

    loss = loss_fn(y_logprobs, torch.tensor([y_exp]))

    loss.backward()

    with torch.no_grad():
        closs += loss

    optimizer.step()

    if iteration % 50 == 0:
       print((closs / step).item(), loss.item(), iteration, y_exp, torch.exp(y_logprobs), t)
       closs = torch.tensor(0.0, dtype=torch.float, requires_grad=False)
    iteration += 1

    if iteration == 5000:
       break
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[25]:
:end:

Model jest tak prosty, że jego wagi są interpretowalne.

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  with torch.no_grad():
    x = vectorize_text('NBA').float().unsqueeze(dim=0)
    y_prob = model(x)
  torch.exp(y_prob)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[26]:
: tensor([[0.0070, 0.0075, 0.0059, 0.0061, 0.0093, 0.9509, 0.0062, 0.0071]])
:end:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  with torch.no_grad():
    x = vectorize_text('NBA').float().unsqueeze(dim=0)
    ix = torch.argmax(x).item()
  model[0].weight[:,ix]
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[32]:
#+BEGIN_EXAMPLE
  tensor([-2.3693, -2.3421, -2.4205, -2.4353, -2.1499,  2.5163, -2.4351, -2.4546],
  grad_fn=<SelectBackward>)
#+END_EXAMPLE
:end:

Możemy nawet zaprezentować wykres przedstawiający rozmieszczenie słów względem dwóch osi odnoszących się do poszczególnych wybranych dyscyplin.

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  %matplotlib inline
  import matplotlib.pyplot as plt

  with torch.no_grad():
      words = ['piłka', 'klub', 'kort', 'boisko', 'samochód']
      words_ixs = [torch.argmax(vectorize_text(w).float().unsqueeze(dim=0)).item() for w in words]

      x_label = labels_dic['pilka-nozna']
      y_label = labels_dic['tenis']

      x = [model[0].weight[x_label, ix] for ix in words_ixs]
      y = [model[0].weight[y_label, ix] for ix in words_ixs]

      fig, ax = plt.subplots()
      ax.scatter(x, y)

      for i, txt in enumerate(words):
          ax.annotate(txt, (x[i], y[i]))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
# Out[45]:
[[file:./obipy-resources/5egYcv.png]]
:end:

** Zadanie etykietowania sekwencji

Zadanie etykietowania sekwencji (/sequence labelling/) polega na przypisaniu poszczególnym wyrazom (tokenom) tekstu *etykiet* ze skończonego zbioru. Definiując formalnie:

- rozpatrujemy ciąg wejściowy tokenów $(t^1,\dots,t^K)$
- dany jest skończony zbiór etykiet $L = \{l_1,\dots,l_{|L|}\}$, dla uproszczenia można założyć, że etykietami
  są po prostu kolejne liczby, tj. $L=\{0,\dots,|L|-1\}$
- zadanie polega na wygenerowaniu sekwencji etykiet (o tej samej długości co ciąg wejściowy!) $(y^1,\dots,y^K)$,
  $y^k \in L$

Zadanie etykietowania można traktować jako przypadek szczególny klasyfikacji wieloklasowej, z tym, że klasyfikacji dokonujemy wielokrotnie — dla każdego tokenu (nie dla każdego tekstu).

Przykłady zastosowań:

- oznaczanie częściami mowy (/POS tagger/) — czasownik, przymiotnik, rzeczownik itd.
- oznaczanie etykiet nazw w zadaniu NER (nazwisko, kwoty, adresy — najwięcej tokenów będzie miało etykietę pustą, zazwyczaj oznaczaną przez ~O~)

*** *Pytanie*: czy zadanie tłumaczenia maszynowego można potraktować jako problem etykietowania sekwencji?

*** Przykładowe wyzwanie NER CoNLL-2003

Zob. <https://gonito.net/challenge/en-ner-conll-2003>.

Przykładowy przykład uczący (~xzcat train.tsv.xz| head -n 1~):

O O B-MISC I-MISC O O O O O B-LOC O B-LOC O O O O O O O O O O O B-MISC I-MISC O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O O O O B-PER I-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O B-LOC O B-LOC O O O O O B-PER I-PER O O O O O	GOLF - BRITISH MASTERS THIRD ROUND SCORES . </S> NORTHAMPTON , England 1996-08-30 </S> Leading scores after </S> the third round of the British Masters on Friday : </S> 211 Robert Allenby ( Australia ) 69 71 71 </S> 212 Pedro Linhart ( Spain ) 72 73 67 </S> 216 Miguel Angel Martin ( Spain ) 75 70 71 , Costantino Rocca </S> ( Italy ) 71 73 72 </S> 217 Antoine Lebouc ( France ) 74 73 70 , Ian Woosnam 70 76 71 , </S> Francisco Cea ( Spain ) 70 71 76 , Gavin Levenson ( South </S> Africa ) 66 75 76 </S> 218 Stephen McAllister 73 76 69 , Joakim Haeggman ( Swe ) 71 77 </S> 70 , Jose Coceres ( Argentina ) 69 78 71 , Paul Eales 75 71 72 , </S> Klas Eriksson ( Sweden ) 71 75 72 , Mike Clayton ( Australia ) </S> 69 76 73 , Mark Roe 69 71 78 </S> 219 Eamonn Darcy ( Ireland ) 74 76 69 , Bob May ( U.S. ) 74 75 70 , </S> Paul Lawrie 72 75 72 , Miguel Angel Jimenez ( Spain ) 74 72 </S> 73 , Peter Mitchell 74 71 75 , Philip Walton ( Ireland ) 71 74 </S> 74 , Peter O'Malley ( Australia ) 71 73 75 </S> 220 Barry Lane 73 77 70 , Wayne Riley ( Australia ) 71 78 71 , </S> Martin Gates 71 77 72 , Bradley Hughes ( Australia ) 73 75 72 , </S> Peter Hedblom ( Sweden ) 70 75 75 , Retief Goosen ( South </S> Africa ) 71 74 75 , David Gilford 69 74 77 . </S>

W pierwszym polu oczekiwany wynik zapisany za pomocą notacji *BIO*.

Jako metrykę używamy F1 (z pominięciem tagu ~O~)

*** Metryka F1

*** Etykietowanie za pomocą klasyfikacji wieloklasowej

Można potraktować problem etykietowania dokładnie tak jak problem
klasyfikacji wieloklasowej (jak w przykładzie klasyfikacji dyscyplin
sportowych powyżej), tzn. rozkład prawdopodobieństwa możliwych etykiet
uzyskujemy poprzez zastosowanie prostej warstwy liniowej i funkcji softmax:

$$p(l^k=i) = s(\vec{w}\vec{v}(t^k))_i = \frac{e^{\vec{w}\vec{v}(t^k)}}{Z},$$

gdzie $\vec{v}(t^k)$ to reprezentacja wektorowa tokenu $t^k$.
Zauważmy, że tutaj (w przeciwieństwie do klasyfikacji całego tekstu)
reprezentacja wektorowa jest bardzo uboga: wektor _one-hot_! Taki
klasyfikator w ogóle nie będzie brał pod uwagę kontekstu, tylko sam
wyraz, więc tak naprawdę zdegeneruje się to do zapamiętania częstości
etykiet dla każdego słowa osobno.

**** Bogatsza reprezentacja słowa

Można spróbować uzyskać bogatszą reprezentację dla słowa biorąc pod uwagę na przykład:

- długość słowa
- kształt słowa (/word shape/), np. czy pisany wielkimi literami, czy składa się z cyfr itp.
- n-gramy znakowe wewnątrz słowa (np. słowo /Kowalski/ można zakodować jako sumę wektorów
  trigramów znakówych $\vec{v}(Kow) + \vec{v}(owa) + \vec{v}(wal) + \vec{v}(als) + \vec{v}(lsk) + + \vec{v}(ski)$

Cały czas nie rozpatrujemy jednak w tej metodzie kontekstu wyrazu.
(/Renault/ w pewnym kontekście może być nazwą firmy, w innym —
nazwiskiem).

**** Reprezentacja kontekstu

Za pomocą wektora można przedstawić nie pojedynczy token $t^k$, lecz
cały kontekst, dla /okna/ o długości $c$ będzie to kontekst $t^{k-c},\dots,t^k,\dots,t^{k+c}$.
Innymi słowy klasyfikujemy token na podstawie jego samego oraz jego kontekstu:

$$p(l^k=i) = \frac{e^{\vec{w}\vec{v}(t^{k-c},\dots,t^k,\dots,t^{k+c})}}{Z_k}.$$

Zauważmy, że w tej metodzie w ogóle nie rozpatrujemy sensowności
sekwencji wyjściowej (etykiet), np. może być bardzo mało
prawdopodobne, że bezpośrednio po nazwisku występuje data.

Napiszmy wzór określający prawdopodobieństwo całej sekwencji, nie
tylko pojedynczego tokenu. Na razie będzie to po prostu iloczyn poszczególnych wartości.

$$p(l) = \prod_{k=1}^K \frac{e^{\vec{w}\vec{v}(t^{k-c},\dots,t^k,\dots,t^{k+c})}}{Z_k} = \frac{e^{\sum_{k=1}^K\vec{w}\vec{v}(t^{k-c},\dots,t^k,\dots,t^{k+c})}}{\prod_{k=1}^K Z_k}$$

** Warunkowe pola losowe

Warunkowe pola losowe (/Conditional Random Fields/, /CRF/) to klasa
modeli, które pozwalają uwzględnić zależności między punktami danych
(które można wyrazić jako graf). Najprostszym przykładem będzie prosty
graf wyrażający „następowanie po” (czyli sekwencje). Do poprzedniego
wzoru dodamy składnik $V_{i,j}$ (który można interpretować jako
macierz) określający prawdopodobieństwo, że po etykiecie o numerze $i$ wystąpi etykieta o numerze $j$.

*** *Pytanie*: Czy macierz $V$ musi być symetryczna? Czy $V_{i,j} = V_{j,i}$? Czy jakieś specjalne wartości występują na przekątnej?

Macierz $V$ wraz z wektorem $\vec{w}$ będzie stanowiła wyuczalne wagi w naszym modelu.

Wartości $V_{i,j}$ nie stanowią bezpośrednio prawdopodobieństwa, mogą
przyjmować dowolne wartości, które będę normalizowane podobnie jak to się dzieje w funkcji Softmax.

W takiej wersji warunkowych pól losowych otrzymamy następujący wzór na prawdopodobieństwo całej sekwencji.

$$p(l) = \frac{e^{\sum_{k=1}^K\vec{w}\vec{v}(t^{k-c},\dots,t^k,\dots,t^{k+c}) + \sum_{k=1}^{K-1} V_{l_k,l_{k+1}}}}{\prod_{k=1}^K Z_k}$$