aitech-moj-2023/wyk/12_Rekurencyjny_model_jezyka.org

* Model języka oparty na rekurencyjnej sieci neuronowej

** Podejście rekurencyjne

Na poprzednim wykładzie rozpatrywaliśmy różne funkcje
$A(w_1,\dots,w_{i-1})$, dzięki którym możliwe było „skompresowanie” ciągu słów
(a właściwie ich zanurzeń) o dowolnej długości w wektor o stałej długości.

Funkcję $A$ moglibyśmy zdefiniować w inny sposób, w sposób **rekurencyjny**.

Otóż moglibyśmy zdekomponować funkcję $A$ do

- pewnego stanu początkowego $\vec{s_0} \in \mathcal{R}^p$,
- pewnej funkcji rekurencyjnej $R : \mathcal{R}^p \times \mathcal{R}^m \rightarrow \mathcal{R}^p$.

Wówczas funkcję $A$ można będzie zdefiniować rekurencyjnie jako:

$$A(w_1,\dots,w_t) = R(A(w_1,\dots,w_{t-1}), E(w_t)),$$

przy czym dla ciągu pustego:

$$A(\epsilon) = \vec{s_0}$$

Przypomnijmy, że $m$ to rozmiar zanurzenia (embeddingu). Z kolei $p$ to rozmiar wektora stanu
(często $p=m$, ale nie jest to konieczne).

Przy takim podejściu rekurencyjnym wprowadzamy niejako „strzałkę
czasu”, możemy mówić o przetwarzaniu krok po kroku.

W wypadku modelowania języka możemy końcowy wektor stanu zrzutować do wektora o rozmiarze słownika
i zastosować softmax:

$$\vec{y} = \operatorname{softmax}(CA(w_1,\dots,w_{i-1})),$$

gdzie $C$ jest wyuczalną macierzą o rozmiarze $|V| \times p$.

** Worek słów zdefiniowany rekurencyjnie

Nietrudno zdefiniować model „worka słów” w taki rekurencyjny sposób:

- $p=m$,
- $\vec{s_0} = [0,\dots,0]$,
- $R(\vec{s}, \vec{x}) = \vec{s} + \vec{x}.$

Dodawanie (również wektorowe) jest operacją przemienną i łączną, więc
to rekurencyjne spojrzenie niewiele tu wnosi. Można jednak zastosować
inną funkcję $R$, która nie jest przemienna — w ten sposób wyjdziemy poza
nieuporządkowany worek słów.

** Związek z programowaniem funkcyjnym

Zauważmy, że stosowane tutaj podejście jest tożsame z zastosowaniem funkcji typu ~fold~
w językach funkcyjnych:

#+CAPTION: Opis funkcji foldl w języku Haskell
[[./12_Rekurencyjny_model_jezyka/fold.png]]

W Pythonie odpowiednik ~fold~ jest funkcja ~reduce~ z pakietu ~functools~:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  from functools import reduce

  def product(ns):
    return reduce(lambda a, b: a * b, ns, 1)

  product([2, 3, 1, 3])
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
18
:end:

** Sieci rekurencyjne

W jaki sposób „złamać” przemienność i wprowadzić porządek? Jedną z
najprostszych operacji nieprzemiennych jest konkatenacja — możemy
dokonać konkatenacji wektora stanu i bieżącego stanu, a następnie
zastosować jakąś prostą operację (na wyjściu musimy mieć wektor o
rozmiarze $p$, nie $p + m$!), dobrze przy okazji „złamać” też
liniowość operacji. Możemy po prostu zastosować rzutowanie (mnożenie
przez macierz) i jakąś prostą funkcję aktywacji (na przykład sigmoidę):

$$R(\vec{s}, \vec{e}) = \sigma(W[\vec{s},\vec{e}] + \vec{b}).$$

Dodatkowo jeszcze wprowadziliśmy wektor obciążeń $\vec{b}$, a zatem wyuczalne wagi obejmują:

- macierz $W \in \mathcal{R}^p \times \mathcal{R}^{p+m}$,
- wektor obciążeń  $b \in \mathcal{R}^p$.

Olbrzymią zaletą sieci rekurencyjnych jest fakt, że liczba wag nie zależy od rozmiaru wejścia!

*** Zwykła sieć rekurencyjna

Wyżej zdefiniową sieć nazywamy „zwykłą” siecią rekurencyjną (/Vanilla RNN/).

*Uwaga*: przez RNN czasami rozumie się taką „zwykłą” sieć
rekurencyjną, a czasami szerszą klasę sieci rekurencyjnych
obejmujących również sieci GRU czy LSTM (zob. poniżej).

#+CAPTION: Schemat prostego modelu języka opartego na zwykłej sieci rekurencyjnych
[[./12_Rekurencyjny_model_jezyka/rnn.drawio.png]]

*Uwaga*: powyższy schemat nie obejmuje już „całego” działania sieci,
 tylko pojedynczy krok czasowy.

*** Praktyczna niestosowalność prostych sieci RNN

Niestety w praktyce proste sieci RNN sprawiają duże trudności jeśli
chodzi o propagację wsteczną — pojawia się zjawisko zanikającego
(rzadziej: eksplodującego) gradientu. Dlatego zaproponowano różne
modyfikacje sieci RNN. Zacznijmy od omówienia stosunkowo prostej sieci GRU.

** Sieć GRU

GRU (/Gated Recurrent Unit/) to sieć z dwiema **bramkami** (/gates/):

- bramką resetu (/reset gate/) $\Gamma_\gamma \in \mathcal{R}^p$ — która określa, w jakim
  stopniu sieć ma pamiętać albo zapominać stan z poprzedniego kroku,
- bramką aktualizacji (/update gate/) $\Gamma_u \in \mathcal{R}^p$ — która określa wpływ
  bieżącego wyrazu na zmianę stanu.

Tak więc w skrajnym przypadku:

- jeśli $\Gamma_\gamma = [0,\dots,0]$, sieć całkowicie zapomina
  informację płynącą z poprzednich wyrazów,
- jeśli $\Gamma_u = [0,\dots,0]$, sieć nie bierze pod uwagę
  bieżącego wyrazu.

Zauważmy, że bramki mogą selektywnie, na każdej pozycji wektora stanu,
sterować przepływem informacji. Na przykład $\Gamma_\gamma =
[0,1,\dots,1]$ oznacza, że pierwsza pozycja wektora stanu jest
zapominana, a pozostałe — wnoszą wkład w całości.

*** Wzory

Najpierw zdefiniujmy pośredni stan $\vec{\xi} \in \mathcal{R}^p$:

$$\vec{\xi_t} = \operatorname{tanh}(W_{\xi}[\Gamma_\gamma \bullet \vec{s_{t-1}}, E(w_t)] + b_{\xi}),$$

gdzie $\bullet$ oznacza iloczyn Hadamarda (nie iloczyn skalarny!) dwóch wektorów:

$$[x_1,\dots,x_n] \bullet [y_1,\dots,y_n] = [x_1 y_1,\dots,x_n y_n].$$

Jak widać, obliczanie $\vec{\xi_t}$ bardzo przypomina zwykłą sieć rekurencyjną,
jedyna różnica polega na tym, że za pomocą bramki $\Gamma_\gamma$
modulujemy wpływ poprzedniego stanu.

Ostateczna wartość stanu jest średnią ważoną poprzedniego stanu i bieżącego stanu pośredniego:

$$\vec{s_t} = \Gamma_u \bullet \vec{\xi_t} + (1 - \Gamma_u) \bullet \vec{s_{t-1}}.$$

Skąd się biorą bramki $\Gamma_\gamma$ i $\Gamma_u$? Również z poprzedniego stanu i z bieżącego wyrazu.

$$\Gamma_\gamma = \sigma(W_\gamma[\vec{s_{t-1}},E(w_t)] + \vec{b_\gamma}),$$

$$\Gamma_u = \sigma(W_u[\vec{s_{t-1}},E(w_t)] + \vec{b_u}),$$

** Sieć LSTM

Architektura LSTM (/Long Short-Term Memory/), choć powstała wcześniej
niż GRU, jest od niej nieco bardziej skomplikowana.

- zamiast dwóch bramek LSTM zawiera **trzy bramki**: bramkę wejścia (/input gate/),
  bramkę wyjścia (/output gate/) i bramkę zapominania (/forget gate/),
- oprócz ukrytego stanu $\vec{s_t}$ sieć LSTM posiada również **komórkę pamięci** (/memory cell/),
  $\vec{c_t}$, komórka pamięci, w przeciwieństwie do stanu, zmienia się wolniej (intuicyjnie:
 /jeśli nie zrobimy nic specjalnego, wartość komórki pamięci się nie zmieni/).

*** Wzory

Komórka pamięci modulowana jest za pomocą bramki zapominania ($\Gamma_f$) i bramki
wejścia ($\Gamma_i$), bramki te określają, na ile uwzględniamy, odpowiednio,
poprzednią wartość komórki pamięci $\vec{c_{t-1}}$ i wejście, a
właściwie wejście w połączeniu z poprzednim stanem:

$$\vec{c_t} = \Gamma_f \bullet \vec{c_{t-1}} + \Gamma_i \bullet \vec{\xi_t},$$

gdzie wektor pomocniczy $\vec{\xi_t}$ wyliczany jest w następujący sposób:

$$\vec{\xi_t} = \operatorname{tanh}(W_{\xi}[\vec{s_{t-1}}, E(w_t)] + \vec{b_\xi}.$$

Nowa wartość stanu sieci nie zależy bezpośrednio od poprzedniej wartości stanu, lecz
jest równa komórce pamięci modulowanej bramką wyjścia:

$$\vec{h_t} = \Gamma_o \bullet \operatorname{tanh}(\vec{c_t}).$$

*** Obliczanie bramek

Wartości wszystkie trzech bramek są liczone w identyczny sposób (wzory
różnią się tylko macierzami wag i wektorem obciążeń):

$$\Gamma_f = \sigma(W_f[\vec{s_{t-1}}, E(w_t)] + \vec{b_f}),$$

$$\Gamma_i = \sigma(W_i[\vec{s_{t-1}}, E(w_t)] + \vec{b_i}),$$

$$\Gamma_o = \sigma(W_o[\vec{s_{t-1}}, E(w_t)] + \vec{b_o}).$$

*** Wartości początkowe

Początkowe wartości stanu i komórki pamięci mogą być ustawione na zero:

$$\vec{s_0} = \vec{0},$$

$$\vec{c_0} = \vec{0}.$$

*** Podsumowanie

Sieci LSTM dominowały w zagadnieniach przetwarzania języka naturalnego
(ogólniej: przetwarzania sekwencji) do czasu pojawienia się
architektury Transformer w 2017 roku.

Na sieci LSTM oparty był ELMo, jeden z pierwszych dużych
**pretrenowanych modeli języka**, dostrajanych później pod konkretne
zadania (na przykład klasyfikację tekstu), zob. artykuł [Deep
contextualized word
representations](https://arxiv.org/pdf/1802.05365.pdf). Dokładniej
mówiąc, ELMo był siecią **BiLSTM**, połączeniem dwóch sieci, jednej
działającej z lewej strony na prawą, drugiej — z prawej do lewej.