aitech-moj-2023/wyk/02_Jezyki.org

* Języki i ich prawa

Jakim rozkładom statystycznym podlegają języki?

** Język naturalny albo „Pan Tedeusz” w liczbach

Przygotujmy najpierw „infrastrukturę” do /segmentacji/ tekstu na różnego rodzaju jednostki.
Używać będziemy generatorów.

*Pytanie* Dlaczego generatory zamiast list?

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  import requests

  url = 'https://wolnelektury.pl/media/book/txt/pan-tadeusz.txt'
  pan_tadeusz = requests.get(url).content.decode('utf-8')

  pan_tadeusz[100:150]
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
Księga pierwsza



Gospodarstwo

Powrót pani
:end:

*** Znaki

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  from itertools import islice

  def get_characters(t):
      yield from t

  list(islice(get_characters(pan_tadeusz), 100, 150))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
['K', 's', 'i', 'ę', 'g', 'a', ' ', 'p', 'i', 'e', 'r', 'w', 's', 'z', 'a', '\r', '\n', '\r', '\n', '\r', '\n', '\r', '\n', 'G', 'o', 's', 'p', 'o', 'd', 'a', 'r', 's', 't', 'w', 'o', '\r', '\n', '\r', '\n', 'P', 'o', 'w', 'r', 'ó', 't', ' ', 'p', 'a', 'n', 'i']
:end:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  from collections import Counter

  c = Counter(get_characters(pan_tadeusz))

  c
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
Counter({' ': 63444, 'a': 30979, 'i': 29353, 'e': 25343, 'o': 23050, 'z': 22741, 'n': 15505, 'r': 15328, 's': 15255, 'w': 14625, 'c': 14153, 'y': 13732, 'k': 12362, 'd': 11465, '\r': 10851, '\n': 10851, 't': 10757, 'm': 10269, 'ł': 10059, ',': 9130, 'p': 8031, 'u': 7699, 'l': 6677, 'j': 6586, 'b': 5753, 'ę': 5534, 'ą': 4794, 'g': 4775, 'h': 3915, 'ż': 3334, 'ó': 3097, 'ś': 2524, '.': 2380, 'ć': 1956, ';': 1445, 'P': 1265, 'W': 1258, ':': 1152, '!': 1083, 'S': 1045, 'T': 971, 'I': 795, 'N': 793, 'Z': 785, 'J': 729, '—': 720, 'A': 698, 'K': 683, 'ń': 651, 'M': 585, 'B': 567, 'O': 567, 'C': 556, 'D': 552, '«': 540, '»': 538, 'R': 489, '?': 441, 'ź': 414, 'f': 386, 'G': 358, 'L': 316, 'H': 309, 'Ż': 219, 'U': 184, '…': 157, '*': 150, '(': 76, ')': 76, 'Ś': 71, 'F': 47, 'é': 43, '-': 33, 'Ł': 24, 'E': 23, '/': 19, 'Ó': 13, '8': 10, '9': 8, '2': 6, 'v': 5, 'Ź': 4, '1': 4, '3': 3, 'x': 3, 'V': 3, '7': 2, '4': 2, '5': 2, 'q': 2, 'æ': 2, 'à': 1, 'Ć': 1, '6': 1, '0': 1})
:end:

Napiszmy pomocniczą funkcję, która zwraca /listę frekwencyjną/.

#+RESULTS:
:results:
Counter({' ': 63444, 'a': 30979, 'i': 29353, 'e': 25343, 'o': 23050, 'z': 22741, 'n': 15505, 'r': 15328, 's': 15255, 'w': 14625, 'c': 14153, 'y': 13732, 'k': 12362, 'd': 11465, '\r': 10851, '\n': 10851, 't': 10757, 'm': 10269, 'ł': 10059, ',': 9130, 'p': 8031, 'u': 7699, 'l': 6677, 'j': 6586, 'b': 5753, 'ę': 5534, 'ą': 4794, 'g': 4775, 'h': 3915, 'ż': 3334, 'ó': 3097, 'ś': 2524, '.': 2380, 'ć': 1956, ';': 1445, 'P': 1265, 'W': 1258, ':': 1152, '!': 1083, 'S': 1045, 'T': 971, 'I': 795, 'N': 793, 'Z': 785, 'J': 729, '—': 720, 'A': 698, 'K': 683, 'ń': 651, 'M': 585, 'B': 567, 'O': 567, 'C': 556, 'D': 552, '«': 540, '»': 538, 'R': 489, '?': 441, 'ź': 414, 'f': 386, 'G': 358, 'L': 316, 'H': 309, 'Ż': 219, 'U': 184, '…': 157, '*': 150, '(': 76, ')': 76, 'Ś': 71, 'F': 47, 'é': 43, '-': 33, 'Ł': 24, 'E': 23, '/': 19, 'Ó': 13, '8': 10, '9': 8, '2': 6, 'v': 5, 'Ź': 4, '1': 4, '3': 3, 'x': 3, 'V': 3, '7': 2, '4': 2, '5': 2, 'q': 2, 'æ': 2, 'à': 1, 'Ć': 1, '6': 1, '0': 1})
:end:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  from collections import Counter
  from collections import OrderedDict

  def freq_list(g, top=None):
    c = Counter(g)

    if top is None:
       items = c.items()
    else:
       items = c.most_common(top)

    return OrderedDict(sorted(items, key=lambda t: -t[1]))

  freq_list(get_characters(pan_tadeusz), top=8)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
OrderedDict([(' ', 63444), ('a', 30979), ('i', 29353), ('e', 25343), ('o', 23050), ('z', 22741), ('n', 15505), ('r', 15328)])
:end:


#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  import matplotlib.pyplot as plt
  from collections import OrderedDict

  def rang_freq_with_labels(name, g, top=None):
     freq = freq_list(g, top)

     plt.figure(figsize=(12, 3))
     plt.bar(freq.keys(), freq.values())

     fname = f'{name}.png'

     plt.savefig(fname)

     return fname

  rang_freq_with_labels('pt-chars', get_characters(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-chars.png]]

*** Słowa

Co rozumiemy pod pojęciem słowa czy wyrazu, nie jest oczywiste. W praktyce zależy to od wyboru /tokenizatora/.

Załóżmy, że przez wyraz rozumieć będziemy nieprzerwany ciąg liter bądź cyfr (oraz gwiazdek
— to za chwilę ułatwi nam analizę pewnego tekstu…).

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  from itertools import islice
  import regex as re

  def get_words(t):
    for m in re.finditer(r'[\p{L}0-9\*]+', t):
       yield m.group(0)

  list(islice(get_words(pan_tadeusz), 100, 130))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
['Ty', 'co', 'gród', 'zamkowy', 'Nowogródzki', 'ochraniasz', 'z', 'jego', 'wiernym', 'ludem', 'Jak', 'mnie', 'dziecko', 'do', 'zdrowia', 'powróciłaś', 'cudem', 'Gdy', 'od', 'płaczącej', 'matki', 'pod', 'Twoją', 'opiekę', 'Ofiarowany', 'martwą', 'podniosłem', 'powiekę', 'I', 'zaraz']
:end:

Zobaczmy 20 najczęstszych wyrazów.


#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  rang_freq_with_labels('pt-words-20', get_words(pan_tadeusz), top=20)
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-words-20.png]]

Zobaczmy pełny obraz, już bez etykiet.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  import matplotlib.pyplot as plt
  from math import log

  def rang_freq(name, g):
     freq = freq_list(g)

     plt.figure().clear()
     plt.plot(range(1, len(freq.values())+1), freq.values())

     fname = f'{name}.png'

     plt.savefig(fname)

     return fname

  rang_freq('pt-words', get_words(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-words.png]]

Widać, jak różne skale obejmuje ten wykres. Zastosujemy logartm,
najpierw tylko do współrzędnej y.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  import matplotlib.pyplot as plt
  from math import log

  def rang_log_freq(name, g):
     freq = freq_list(g)

     plt.figure().clear()
     plt.plot(range(1, len(freq.values())+1), [log(y) for y in freq.values()])

     fname = f'{name}.png'

     plt.savefig(fname)

     return fname

  rang_log_freq('pt-words-log', get_words(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-words-log.png]]

**Pytanie** Dlaczego widzimy coraz dłuższe „schodki”?

*** Hapax legomena

Z poprzedniego wykresu możemy odczytać, że ok. 2/3 wyrazów wystąpiło
dokładnie 1 raz. Słowa występujące jeden raz w danym korpusie noszą
nazwę /hapax legomena/ (w liczbie pojedycznej /hapax legomenon/, ἅπαξ
λεγόμενον, „raz powiedziane”, żargonowo: „hapaks”).

„Prawdziwe” hapax legomena, słowa, które wystąpiły tylko raz w /całym/
korpusie tekstów danego języka (np. starożytnego) rzecz jasna
sprawiają olbrzymie trudności w tłumaczeniu. Przykładem jest greckie
słowo ἐπιούσιος, przydawka odnosząca się do chleba w modlitwie „Ojcze
nasz”. Jest to jedyne poświadczenie tego słowa w całym znanym korpusie
greki (nie tylko z Pisma Świętego). W języku polskim tłumaczymy je na
„powszedni”, ale na przykład w rosyjskim przyjął się odpowiednik
„насущный” — o przeciwstawnym do polskiego znaczeniu!

W sumie podobne problemy hapaksy mogą sprawiać metodom statystycznym
przy przetwarzaniu jakiekolwiek korpusu.

*** Wykres log-log

Jeśli wspomniany wcześniej wykres narysujemy używając skali
logarytmicznej dla **obu** osi, otrzymamy kształt zbliżony do linii prostej.

Tę własność tekstów nazywamy **prawem Zipfa**.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  import matplotlib.pyplot as plt
  from math import log

  def log_rang_log_freq(name, g):
     freq = freq_list(g)

     plt.figure().clear()
     plt.plot([log(x) for x in range(1, len(freq.values())+1)], [log(y) for y in freq.values()])

     fname = f'{name}.png'

     plt.savefig(fname)

     return fname

  log_rang_log_freq('pt-words-log-log', get_words(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-words-log-log.png]]

*** Związek między frekwencją a długością

Powiązane z prawem Zipfa prawo językowe opisuje zależność między
częstością użycia słowa a jego długością. Generalnie im krótsze słowo, tym częstsze.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  def freq_vs_length(name, g, top=None):
      freq = freq_list(g)

      plt.figure().clear()
      plt.scatter([len(x) for x in freq.keys()], [log(y) for y in freq.values()],
                  facecolors='none', edgecolors='r')

      fname = f'{name}.png'

      plt.savefig(fname)

      return fname

  freq_vs_length('pt-lengths', get_words(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-lengths.png]]

** N-gramy

W modelowaniu języka często rozpatruje się n-gramy, czyli podciągi o
rozmiarze $n$.

Na przykład /digramy/ (/bigramy/) to zbitki dwóch jednostek, np. liter albo wyrazów.

|$n$|         | nazwa         |
|---+---------+---------------+
| 1 | 1-gram  | unigram       |
| 2 | 2-gram  | digram/bigram |
| 3 | 3-gram  | trigram       |
| 4 | 4-gram  | tetragram     |
| 5 | 5-gram  | pentagram     |

**Pytanie** Jak nazywa się 6-gram?

Jak widać, dla symetrii mówimy czasami o unigramach, jeśli operujemy
po prostu na jednostkach, nie na ich podciągach.

*** N-gramy z Pana Tadeusza

Statystyki, które policzyliśmy dla pojedynczych liter czy wyrazów możemy powtórzyć dla n-gramów.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  def ngrams(iter, size):
    ngram = []
    for item in iter:
       ngram.append(item)
       if len(ngram) == size:
          yield tuple(ngram)
          ngram = ngram[1:]

  list(ngrams("kotek", 3))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
[('k', 'o', 't'), ('o', 't', 'e'), ('t', 'e', 'k')]
:end:

Zauważmy, że policzyliśmy wszystkie n-gramy, również częściowo pokrywające się.

Zawsze powinniśmy się upewnić, że jest jasne, czy chodzi o n-gramy znakowe czy wyrazowe

*** 3-gramy znakowe

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  log_rang_log_freq('pt-3-char-ngrams-log-log', ngrams(get_characters(pan_tadeusz), 3))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-3-char-ngrams-log-log.png]]

*** 2-gramy wyrazowe

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  log_rang_log_freq('pt-2-word-ngrams-log-log', ngrams(get_words(pan_tadeusz), 3))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:pt-2-word-ngrams-log-log.png]]

** Tajemniczy język Manuskryptu Wojnicza

[[https://pl.wikipedia.org/wiki/Manuskrypt_Wojnicza][Manuskrypt Wojnicza]] to powstały w XV w. manuskrypt spisany w
tajemniczym alfabecie, do dzisiaj nieodszyfrowanym. Rękopis stanowi
jedną z największych zagadek historii (i lingwistyki).

[[./02_Jezyki/voynich135.jpg][Źródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Voynich_Manuscript_(135).jpg]]

Sami zbadajmy statystyczne własności tekstu manuskryptu. Użyjmy
transkrypcji Vnow, gdzie poszczególne znaki tajemniczego alfabetu
zamienione na litery alfabetu łacińskiego, cyfry i gwiazdkę. Jak
transkrybować Manuskrypt, pozostaje sprawą dyskusyjną, natomiast wybór
takiego czy innego systemu transkrypcji nie powinien wpływać
dramatycznie na analizę statystyczną.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  import requests

  voynich_url = 'http://www.voynich.net/reeds/gillogly/voynich.now'
  voynich = requests.get(voynich_url).content.decode('utf-8')

  voynich = re.sub(r'\{[^\}]+\}|^<[^>]+>|[-# ]+', '', voynich, flags=re.MULTILINE)

  voynich = voynich.replace('\n\n', '#')
  voynich = voynich.replace('\n', ' ')
  voynich = voynich.replace('#', '\n')

  voynich = voynich.replace('.', ' ')

  voynich[100:150]
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
:end:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  rang_freq_with_labels('voy-chars', get_characters(voynich))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:voy-chars.png]]

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  log_rang_log_freq('voy-log-log', get_words(voynich))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:voy-log-log.png]]

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  rang_freq_with_labels('voy-words-20', get_words(voynich), top=20)
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:voy-words-20.png]]

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
    log_rang_log_freq('voy-words-log-log', get_words(voynich))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:voy-words-log-log.png]]

** Język DNA

Kod genetyczny przejawia własności zaskakująco podobne do języków naturalnych.
Przede wszystkim ma charakter dyskretny, genotyp to ciąg symboli ze skończonego alfabetu.
Podstawowe litery są tylko cztery, reprezentują one nukleotydy, z których zbudowana jest nić DNA:
a, g, c, t.


#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  import requests

  dna_url = 'https://raw.githubusercontent.com/egreen18/NanO_GEM/master/rawGenome.txt'
  dna = requests.get(dna_url).content.decode('utf-8')

  dna = ''.join(dna.split('\n')[1:])
  dna = dna.replace('N', 'A')

  dna[0:100]
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
TATAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTA
:end:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  rang_freq_with_labels('dna-chars', get_characters(dna))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:dna-chars.png]]

*** Tryplety — znaczące cząstki genotypu

Nukleotydy rzeczywiście są jak litery, same w sobie nie niosą
znaczenia. Dopiero ciągi trzech nukleotydów, /tryplety/, kodują jeden
z dwudziestu aminokwasów.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  genetic_code = {
       'ATA':'I', 'ATC':'I', 'ATT':'I', 'ATG':'M',
       'ACA':'T', 'ACC':'T', 'ACG':'T', 'ACT':'T',
       'AAC':'N', 'AAT':'N', 'AAA':'K', 'AAG':'K',
       'AGC':'S', 'AGT':'S', 'AGA':'R', 'AGG':'R',
       'CTA':'L', 'CTC':'L', 'CTG':'L', 'CTT':'L',
       'CCA':'P', 'CCC':'P', 'CCG':'P', 'CCT':'P',
       'CAC':'H', 'CAT':'H', 'CAA':'Q', 'CAG':'Q',
       'CGA':'R', 'CGC':'R', 'CGG':'R', 'CGT':'R',
       'GTA':'V', 'GTC':'V', 'GTG':'V', 'GTT':'V',
       'GCA':'A', 'GCC':'A', 'GCG':'A', 'GCT':'A',
       'GAC':'D', 'GAT':'D', 'GAA':'E', 'GAG':'E',
       'GGA':'G', 'GGC':'G', 'GGG':'G', 'GGT':'G',
       'TCA':'S', 'TCC':'S', 'TCG':'S', 'TCT':'S',
       'TTC':'F', 'TTT':'F', 'TTA':'L', 'TTG':'L',
       'TAC':'Y', 'TAT':'Y', 'TAA':'_', 'TAG':'_',
       'TGC':'C', 'TGT':'C', 'TGA':'_', 'TGG':'W',
    }

  def get_triplets(t):
    for triplet in re.finditer(r'.{3}', t):
      yield genetic_code[triplet.group(0)]

  rang_freq_with_labels('dna-aminos', get_triplets(dna))
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:dna-aminos.png]]

*** „Zdania” w języku DNA

Z aminokwasów zakodowanych przez tryplet budowane są białka.
Maszyneria budująca białka czyta sekwencję aż do napotkania
trypletu STOP (_ powyżej). Taka sekwencja to /gen/.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  def get_genes(triplets):
    gene = []
    for ammino in triplets:
      if ammino == '_':
         yield gene
         gene = []
      else:
         gene.append(ammino)

  plt.figure().clear()
  plt.hist([len(g) for g in get_genes(get_triplets(dna))], bins=100)

  fname = 'dna_length.png'

  plt.savefig(fname)

  fname
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:dna_length.png]]

** Entropia

*Entropia* ($E$) to miara nieuporządkowania, niepewności, niewiedzy. Im
większa entropia, tym mniej wiemy. Pojęcie to pierwotnie wywodzi się z
termodynamiki, później znaleziono wiele zaskakujących zastosowań w
innych dyscyplinach nauki.

*** Entropia w fizyce

W termodynamice entropia jest miarą nieuporządkowania układów
fizycznych, na przykład pojemników z gazem. Przykładowo, wyobraźmy
sobie dwa pojemniki z gazem, w którym panuje różne temperatury.

[[./02_Jezyki/gas-low-entropy.drawio.png]]

Jeśli usuniemy przegrodę między pojemnikami, temperatura się wyrówna,
a uporządkowanie się zmniejszy.

[[./02_Jezyki/gas-high-entropy.drawio.png]]

Innymi słowy, zwiększy się stopień uporządkowania układu, czyli właśnie entropia.

*** II prawo termodynamiki

Jedno z najbardziej fundamentalnych praw fizyki, II prawo
termodynamiki głosi, że w układzie zamkniętym entropia nie spada.

**Pytanie**: Czy to, że napisałem te materiały do wykładu i
/uporządkowałem/ wiedzę odnośnie do statystycznych własności języka, nie
jest sprzeczne z II prawem termodynamiki?

Konsekwencją II prawa termodynamiki jest śmierć cieplna Wszechświata
(zob. [wizualizacja przyszłości Wszechświata](https://www.youtube.com/watch?v=uD4izuDMUQA)).

*** Entropia w teorii informacji

Pojęcie entropii zostało „odkryte” na nowo przez Claude'a Shannona,
gdy wypracował ogólną teorię informacji.

Teoria informacji zajmuje się między innymi zagadnieniem optymalnego kodowania komunikatów.

Wyobraźmy sobie pewne źródło (generator) losowych komunikatów z
zamkniętego zbioru symboli ($\Sigma$; nieprzypadkowo używamy oznaczeń
z poprzedniego wykładu). Nadawca $N$ chce przesłać komunikat o wyniku
losowania do odbiorcy $O$ używając zer i jedynek (bitów).
Teorioinformacyjną entropię można zdefiniować jako średnią liczbę
bitów wymaganych do przesłania komunikatu.

*** Obliczanie entropii — proste przykłady

Załóżmy, że nadawca chce przekazać odbiorcy informację o wyniku rzutu monetą.
Entropia wynosi wówczas rzecz jasna 1 — na jedno losowanie wystarczy jeden bit
(informację o tym, że wypadł orzeł, możemy zakodować na przykład za pomocą zera,
zaś to, że wypadła reszka — za pomocą jedynki).

Rozpatrzmy przypadek, gdy nadawca ośmiościenną kością. Aby przekazać
wynik, potrzebuje wówczas 3 bity (a więc entropia ośmiościennej kości
wynosi 3 bity). Przykładowe kodowanie może mieć następującą postać.

+-------+-----------+
| Wynik | Kodowanie |
+-------+-----------+
| 1     | 001       |
| 2     | 010       |
| 3     | 011       |
| 4     | 100       |
| 5     | 101       |
| 6     | 110       |
| 7     | 111       |
| 8     | 000       |
+-------+-----------+

*** Obliczenie entropii — trudniejszy przykład

Załóżmy, że $\Sigma = \{A, B, C, D\}$, natomiast poszczególne komunikaty
są losowane zgodnie z następujących rozkładem prawdopodobieństwa:
$P(A)=1/2$, $P(B)=1/4$, $P(C)=1/8$, $P(D)=1/8$. Ile wynosi entropia w
takim przypadku? Można by sądzić, że 2, skoro wystarczą 2 bity do
przekazania wyniku losowania przy zastosowaniu następującego kodowania:

+-------+-----------+
| Wynik | Kodowanie |
+-------+-----------+
| A     | 00        |
| B     | 01        |
| C     | 10        |
| D     | 11        |
+-------+-----------+

Problem w tym, że w rzeczywistości nie jest to /optymalne/ kodowanie.
Możemy sprytnie zmniejszyć średnią liczbę bitów wymaganych do
przekazania losowego wyniku przypisując częstszym wynikom krótsze
kody, rzadszym zaś — dłuższe. Oto takie optymalne kodowanie:

+-------+-----------+
| Wynik | Kodowanie |
+-------+-----------+
| A     | 0         |
| B     | 10        |
| C     | 110       |
| D     | 111       |
+-------+-----------+

Używając takiego kodowanie średnio potrzebujemy:

$$\frac{1}{2}1 + \frac{1}{4}2 + \frac{1}{8}3 + \frac{1}{8}3 = 1,75$$

bita. Innymi słowy, entropia takiego źródła wynosi 1,75 bita.

*** Kodowanie musi być jednoznaczne!

Można by sądzić, że da się stworzyć jeszcze krótsze kodowanie dla omawianego rozkładu nierównomiernego:

+-------+-----------+
| Wynik | Kodowanie |
+-------+-----------+
| A     | 0         |
| B     | 1         |
| C     | 01        |
| D     | 11        |
+-------+-----------+

Niestety, nie jest to właściwe rozwiązanie — kodowanie musi być
jednoznaczne nie tylko dla pojedynczego komunikatu, lecz dla całej sekwencji.
Na przykład ciąg 0111 nie jest jednoznaczny przy tym kodowaniu (ABBB czy CD?).
Podane wcześniej kodowanie spełnia warunek jednoznaczności, ciąg 0111 można odkodować tylko
jako AD.


*** Ogólny wzór na entropię.

Na podstawie poprzedniego przykładu można dojść do intuicyjnego wniosku, że
optymalny kod dla wyniku o prawdopodobieństwie $p$ ma długość $-\log_2(p)$, a zatem ogólnie
entropia źródła o rozkładzie prawdopodobieństwa $\{p_1,\ldots,p_|\Sigma|\}$ wynosi:

$$E = -\Sum_{i=1}^{|\Sigma|} p_i\log_2(p_i)$$.

Zauważmy, że jest to jeden z nielicznych przypadków, gdy w nauce naturalną
podstawą logarytmu jest 2 zamiast… podstawy logarytmu naturalnego ($e$).

Teoretycznie można mierzyć entropię używając logarytmu naturalnego
($\ln$), jednostką entropii będzie wówczas *nat* zamiast bita,
niewiele to jednak zmienia i jest mniej poręczne i trudniejsze do interpretacji
(przynajmniej w kontekście informatyki) niż operowanie na bitach.

**Pytanie** Ile wynosi entropia sześciennej kostki? Jak wygląda
optymalne kodowanie wyników rzutu taką kostką?

*** Entropia dla próby Bernoulliego

Wiemy już, że entropia dla rzutu monetą wynosi 1 bit. A jaki będzie wynik dla źle wyważonej monety?

#+BEGIN_SRC python :session mysession :results file
  import matplotlib.pyplot as plt
  from math import log
  import numpy as np

  def binomial_entropy(p):
    return -(p * log(p, 2) + (1-p) * log(1-p, 2))

  x = list(np.arange(0.001,1,0.001))
  y = [binomial_entropy(x) for x in x]
  plt.figure().clear()
  plt.plot(x, y)

  fname = f'binomial-entropy.png'

  plt.savefig(fname)

  fname
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:binomial-entropy.png]]

*Pytanie* Dla oszukańczej monety (np. dla której wypada zawsze orzeł) entropia
wynosi 0, czy to wynik zgodny z intuicją?

** Entropia a język

Tekst w danym języku możemy traktować jako ciąg symboli (komunikatów) losowanych według jakiegoś
rozkładu prawdopodobieństwa. W tym sensie możemy mówić o entropii języka.

Oczywiście, jak zawsze, musimy jasno stwierdzić, czym są symbole
języka: literami, wyrazami czy jeszcze jakimiś innymi jednostkami.

*** Pomiar entropii języka — pierwsze przybliżenie

Załóżmy, że chcemy zmierzyć entropię języka polskiego na przykładzie
„Pana Tadeusza” — na poziomie znaków. W pierwszym przybliżeniu można
by policzyć liczbę wszystkich znaków…

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  chars_in_pan_tadeusz = len(set(get_characters(pan_tadeusz)))
  chars_in_pan_tadeusz
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
95
:end:

… założyć jednostajny rozkład prawdopodobieństwa i w ten sposób policzyć entropię:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  from math import log

  95 * (1/95) * log(95, 2)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
6.569855608330948
:end:

*** Mniej rozrzutne kodowanie

Przypomnijmy sobie jednak, że rozkład jednostek języka jest zawsze
skrajnie nierównomierny! Jeśli uwzględnić ten nierównomierny rozkład
znaków, można opracować o wiele efektywniejszy sposób zakodowania znaków składających się na „Pana Tadeusza”
(częste litery, np. „a” i „e” powinny mieć krótkie kody, a rzadkie, np. „ź” — dłuższe kody).

Policzmy entropię przy takim założeniu:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  from collections import Counter
  from math import log

  def unigram_entropy(t):
    counter = Counter(t)

    total = counter.total()
    return -sum((p := count / total) * log(p, 2) for count in counter.values())

  unigram_entropy(get_characters(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
4.938605272823633
:end:

*** Ile wynosi entropia rękopisu Wojnicza?

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  unigram_entropy(get_characters(voynich))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
4.973808176335181
:end:

Wartość zaskakująco zbliżona do „Pana Tadeusza”!

*** Rzeczywista entropia?

W rzeczywistości entropia jest jeszcze mniejsza, tekst nie jest
generowany przecież według rozkładu wielomianowego. Istnieją rzecz
jasna pewne zależności między znakami, np. niemożliwe, żeby po „ń”
wystąpiły litera „a” czy „e”. Na poziomie wyrazów zależności mogę mieć
jeszcze bardziej skrajny charakter, np. po wyrazie „przede” prawie na
pewno wystąpi „wszystkim”, co oznacza w takiej sytuacji słowo
„wszystkim” może zostać zakodowane za pomocą 0 (!) bitów.

Można uwzględnić takie zależności i uzyskać jeszcze lepsze kodowanie,
a co za tym idzie lepsze oszacowanie entropii.

*** Rozmiar skompresowanego pliku jako przybliżenie entropii

Cele algorytmów kompresji jest właściwie wyznaczanie efektywnych
sposobów kodowania danych. Możemy więc użyć rozmiaru skompresowanego pliku w bitach
(po podzieleniu przez oryginalną długość) jako dobrego przybliżenia entropii.

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  import zlib

  def entropy_by_compression(t):
    compressed = zlib.compress(t.encode('utf-8'))
    return 8 * len(compressed) / len(t)

  entropy_by_compression(pan_tadeusz)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
3.673019884633768
:end:

Dla porównania wynik dla rękopisu Wojnicza:

#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
  entropy_by_compression(voynich)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
2.90721912311904
:end: