diff --git a/wyk/05_Wygladzanie.org b/wyk/05_Wygladzanie.org
index a0d4c63..f30668a 100644
--- a/wyk/05_Wygladzanie.org
+++ b/wyk/05_Wygladzanie.org
@@ -96,7 +96,11 @@ $$P(w) = \fraq{\# w + 1}{|C| + |V|}.$$
W modelowaniu języka wygładzanie $+1$ daje zazwyczaj niepoprawne
wyniki, dlatego częściej zamiast wartości 1 używa się współczynnika $0
-< \alpha < 1$. W innych praktycznych zastosowaniach statystyki
+< \alpha < 1$:
+
+$$P(w) = \fraq{\# w + \alpha}{|C| + \alpha|V|}.$$
+
+W innych praktycznych zastosowaniach statystyki
przyjmuje się $\alpha = \frac{1}{2}$, ale w przypadku n-gramowych
modeli języka i to będzie zbyt duża wartość.
@@ -120,6 +124,178 @@ wyrazów, które pojawiły się określoną liczbę razy w pierwszej połówce k
Ostatecznie możemy też po prostu policzyć perplexity na zbiorze testowym
+*** Przykład
+
+Użyjemy polskiej części z korpusu równoległego Open Subtitles:
+
+#+BEGIN_SRC
+wget -O en-pl.txt.zip 'https://opus.nlpl.eu/download.php?f=OpenSubtitles/v2018/moses/en-pl.txt.zip'
+unzip en-pl.txt.zip
+#+END_SRC
+
+Usuńmy duplikaty (zachowując kolejność):
+
+#+BEGIN_SRC
+nl OpenSubtitles.en-pl.pl | sort -k 2 -u | sort -k 1 | cut -f 2- > opensubtitles.pl.txt
+#+END_SRC
+
+Korpus zawiera ponad 28 mln słów, zdania są krótkie, jest to język potoczny, czasami wulgarny.
+
+#+BEGIN_SRC
+$ wc opensubtitles.pl.txt
+ 28154303 178866171 1206735898 opensubtitles.pl.txt
+$ head -n 10 opensubtitles.pl.txt
+Lubisz curry, prawda?
+Nałożę ci więcej.
+Hey!
+Smakuje ci?
+Hey, brzydalu.
+Spójrz na nią.
+- Wariatka.
+- Zadałam ci pytanie!
+No, tak lepiej!
+- Wygląda dobrze!
+#+END_SRC
+
+Podzielimy korpus na dwie części:
+
+#+BEGIN_SRC
+head -n 14077151 < opensubtitles.pl.txt > opensubtitlesA.pl.txt
+tail -n 14077151 < opensubtitles.pl.txt > opensubtitlesB.pl.txt
+#+END_SRC
+
+**** Tokenizacja
+
+Stwórzmy generator, który będzie wczytywał słowa z pliku, dodatkowo:
+
+- ciągi znaków interpunkcyjnych będziemy traktować jak tokeny,
+- sprowadzimy wszystkie litery do małych,
+- dodamy specjalne tokeny na początek i koniec zdania (~~ i ~~).
+
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+ from itertools import islice
+ import regex as re
+ import sys
+
+ def get_words_from_file(file_name):
+ with open(file_name, 'r') as fh:
+ for line in fh:
+ line = line.rstrip()
+ yield ''
+ for m in re.finditer(r'[\p{L}0-9\*]+|\p{P}+', line):
+ yield m.group(0)
+ yield ''
+
+ list(islice(get_words_from_file('opensubtitlesA.pl.txt'), 0, 100))
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+['', 'Lubisz', 'curry', ',', 'prawda', '?', '', '', 'Nałożę', 'ci', 'więcej', '.', '', '', 'Hey', '!', '', '', 'Smakuje', 'ci', '?', '', '', 'Hey', ',', 'brzydalu', '.', '', '', 'Spójrz', 'na', 'nią', '.', '', '', '-', 'Wariatka', '.', '', '', '-', 'Zadałam', 'ci', 'pytanie', '!', '', '', 'No', ',', 'tak', 'lepiej', '!', '', '', '-', 'Wygląda', 'dobrze', '!', '', '', '-', 'Tak', 'lepiej', '!', '', '', 'Pasuje', 'jej', '.', '', '', '-', 'Hey', '.', '', '', '-', 'Co', 'do', '...?', '', '', 'Co', 'do', 'cholery', 'robisz', '?', '', '', 'Zejdź', 'mi', 'z', 'oczu', ',', 'zdziro', '.', '', '', 'Przestań', 'dokuczać']
+:end:
+
+**** Empiryczne wyniki
+
+Zobaczmy, ile razy, średnio w drugiej połówce korpusu występują
+wyrazy, które w pierwszej wystąpiły określoną liczbę razy.
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+ from collections import Counter
+
+ counterA = Counter(get_words_from_file('opensubtitlesA.pl.txt'))
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+:end:
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+counterA['taki']
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+42330
+:end:
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+ max_r = 10
+
+ buckets = {}
+ for token in counterA:
+ buckets.setdefault(counterA[token], 0)
+ buckets[counterA[token]] += 1
+
+ bucket_counts = {}
+
+ counterB = Counter(get_words_from_file('opensubtitlesB.pl.txt'))
+
+ for token in counterB:
+ bucket_id = counterA[token] if token in counterA else 0
+ if bucket_id <= max_r:
+ bucket_counts.setdefault(bucket_id, 0)
+ bucket_counts[bucket_id] += counterB[token]
+ if bucket_id == 0:
+ buckets.setdefault(0, 0)
+ buckets[0] += 1
+
+ nb_of_types = [buckets[ix] for ix in range(0, max_r+1)]
+ empirical_counts = [bucket_counts[ix] / buckets[ix] for ix in range(0, max_r)]
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+:end:
+
+Policzmy teraz jakiej liczby wystąpień byśmy oczekiwali gdyby użyć wygładzania +1 bądź +0.01.
+(Uwaga: zwracamy liczbę wystąpień, a nie względną częstość, stąd przemnażamy przez rozmiar całego korpusu).
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+ def plus_alpha_smoothing(alpha, m, t, k):
+ return t*(k + alpha)/(t + alpha * m)
+
+ def plus_one_smoothing(m, t, k):
+ return plus_alpha_smoothing(1.0, m, t, k)
+
+ vocabulary_size = len(counterA)
+ corpus_size = counterA.total()
+
+ plus_one_counts = [plus_one_smoothing(vocabulary_size, corpus_size, ix) for ix in range(0, max_r)]
+
+ plus_alpha_counts = [plus_alpha_smoothing(0.01, vocabulary_size, corpus_size, ix) for ix in range(0, max_r)]
+
+ data = list(zip(nb_of_types, empirical_counts, plus_one_counts, plus_alpha_counts))
+
+ vocabulary_size
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+1181065
+:end:
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+ import pandas as pd
+
+ pd.DataFrame(data, columns=["liczba tokenów", "średnia częstość w części B", "estymacje +1", "estymacje +0.01"])
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+ liczba tokenów średnia częstość w części B estymacje +1 estymacje +0.01
+0 494664 1.805294 0.991839 0.009999
+1 528998 0.591116 1.983678 1.009917
+2 154689 1.574443 2.975517 2.009835
+3 81398 2.512285 3.967356 3.009752
+4 52899 3.502240 4.959196 4.009670
+5 37917 4.433763 5.951035 5.009588
+6 28921 5.280834 6.942874 6.009506
+7 23267 6.209438 7.934713 7.009423
+8 19014 7.265909 8.926552 8.009341
+9 15849 8.193135 9.918391 9.009259
+:end:
+
*** Wygładzanie Gooda-Turinga
Inna metoda — wygładzanie Gooda-Turinga — polega na zliczaniu, ile
@@ -131,6 +307,34 @@ W metodzie Gooda-Turinga używamy następującej estymacji:
$$p(w) = \frac{\# w + 1}{|C|}\frac{N_{r+1}}{N_r}.$$
+**** Przykład
+
+#+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
+ good_turing_counts = [(ix+1)*nb_of_types[ix+1]/nb_of_types[ix] for ix in range(0, max_r)]
+
+ data2 = list(zip(nb_of_types, empirical_counts, plus_one_counts, good_turing_counts))
+
+ pd.DataFrame(data2, columns=["liczba tokenów", "średnia częstość w części B", "estymacje +1", "Good-Turing"])
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+:results:
+ liczba tokenów średnia częstość w części B estymacje +1 Good-Turing
+0 494664 1.805294 0.991839 1.069409
+1 528998 0.591116 1.983678 0.584838
+2 154689 1.574443 2.975517 1.578613
+3 81398 2.512285 3.967356 2.599523
+4 52899 3.502240 4.959196 3.583905
+5 37917 4.433763 5.951035 4.576470
+6 28921 5.280834 6.942874 5.631513
+7 23267 6.209438 7.934713 6.537671
+8 19014 7.265909 8.926552 7.501893
+9 15849 8.193135 9.918391 8.670579
+:end:
+
+Wygładzanie metodą Gooda-Turinga, mimo prostoty, daje wyniki zaskakująco zbliżone do rzeczywistych.
+
+
** Wygładzanie dla $n$-gramów
*** Rzadkość danych