diff --git a/wyk/05_Wygladzanie.org b/wyk/05_Wygladzanie.org
index dbbfd75..e636ec7 100644
--- a/wyk/05_Wygladzanie.org
+++ b/wyk/05_Wygladzanie.org
@@ -15,14 +15,14 @@ Rzecz jasna, $\sum_{i=1}^m k_i = T$.
 
 Jak powinniśmy racjonalnie szacować prawdopodobieństwa wylosowania kuli w $i$-tym kolorze ($p_i$)?
 
-Wydawałoby się wystarczyłoby liczbę wylosowanych kul w danym kolorze
+Wydawałoby się, że wystarczy liczbę wylosowanych kul w danym kolorze
 podzielić przez liczbę wszystkich prób:
 
 $$p_i = \frac{k_i}{T}.$$
 
 *** Wygładzanie — przykład
 
-Rozpatrzmy przykład z 3 kolorami (wiemy, że w urnie mogą być urny
+Rozpatrzmy przykład z 3 kolorami (wiemy, że w urnie mogą być kule
 żółte, zielone i czerwone, tj. $m=3$) i 4 losowaniami ($T=4$):
 
 [[./05_Wygladzanie/urna.drawio.png]]
@@ -35,12 +35,12 @@ a zielonej — 0. Wartości te są jednak dość problematyczne:
   potrzebowalibyśmy większej liczby losowań, żeby być bardziej pewnym
   naszych estymacji.
 - W szczególności stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli
-  zielonej wynosi 0 jest bardzo mocnym stwierdzeniem (twierdzimy, że
+  zielonej wynosi 0, jest bardzo mocnym stwierdzeniem (twierdzimy, że
   *NIEMOŻLIWE* jest wylosowanie kuli zielonej), dopiero większa liczba
   prób bez wylosowania zielonej kuli mogłaby sugerować
   prawdopodobieństwo bliskie zeru.
 - Zauważmy, że niemożliwe jest wylosowanie ułamka kuli, jeśli w
-  rzeczywistości 10% kul jest żółtych to nie oznacza się wylosujemy
+  rzeczywistości 10% kul jest żółtych, to nie oznacza się wylosujemy
   $4\frac{1}{10} = \frac{2}{5}$ kuli. Prawdopodobnie wylosujemy jedną
   kulę żółtą albo żadną. Wylosowanie dwóch kul żółtych byłoby możliwe,
   ale mniej prawdopodobne. Jeszcze mniej prawdopodobne byłoby
@@ -59,11 +59,11 @@ Laplace'a, zdefiniowane za pomocą następującego wzoru:
 
 $$p_i = \frac{k_i+1}{T+m}.$$
 
-W naszym przypadku z urną prawdopodobieństwo wylosowania kuli
-czerwonej określimy na $\frac{3+1}{4+3} = \frac{4/7}$, kuli żółtej —
+W naszym przykładzie z urną prawdopodobieństwo wylosowania kuli
+czerwonej określimy na $\frac{3+1}{4+3} = \frac{4}{7}$, kuli żółtej —
 $\frac{1+1}{4+3}=2/7$, zielonej — $\frac{0+1}{4+3}=1/7$. Tym samym,
 kula zielona uzyskała niezerowe prawdopodobieństwo, żółta — nieco
-zyska, zaś czerwona — straciła.
+zyskała, zaś czerwona — straciła.
 
 **** Własności wygładzania +1
 
@@ -74,7 +74,7 @@ $$\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{k_i +1}{T + m} = \frac{k_i}{T}.$$
 
 Inna dobra, zdroworozsądkowo, własność to to, że prawdopodobieństwo nigdy nie będzie zerowe:
 
-$$frac{k_i + 1}{T + m} > 0.$$
+$$\frac{k_i + 1}{T + m} > 0.$$
 
 ** Wygładzanie w unigramowym modelu języku
 
@@ -90,7 +90,7 @@ $T$ — długość zbioru uczącego.
 A zatem przy użyciu wygładzania +1 w następujący sposób estymować
 będziemy prawdopodobieństwo słowa $w$:
 
-$$P(w) = \fraq{\# w + 1}{|C| + |V|}.$$
+$$P(w) = \frac{\# w + 1}{|C| + |V|}.$$
 
 *** Wygładzanie $+\alpha$
 
@@ -98,7 +98,7 @@ W modelowaniu języka wygładzanie $+1$ daje zazwyczaj niepoprawne
 wyniki, dlatego częściej zamiast wartości 1 używa się współczynnika $0
 < \alpha < 1$:
 
-$$P(w) = \fraq{\# w + \alpha}{|C| + \alpha|V|}.$$
+$$P(w) = \frac{\# w + \alpha}{|C| + \alpha|V|}.$$
 
 W innych praktycznych zastosowaniach statystyki
 przyjmuje się $\alpha = \frac{1}{2}$, ale w przypadku n-gramowych
@@ -248,7 +248,7 @@ counterA['taki']
 :results:
 :end:
 
-Policzmy teraz jakiej liczby wystąpień byśmy oczekiwali gdyby użyć wygładzania +1 bądź +0.01.
+Policzmy teraz jakiej liczby wystąpień byśmy oczekiwali, gdyby użyć wygładzania +1 bądź +0.01.
 (Uwaga: zwracamy liczbę wystąpień, a nie względną częstość, stąd przemnażamy przez rozmiar całego korpusu).
 
 #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer
@@ -339,7 +339,7 @@ Wygładzanie metodą Gooda-Turinga, mimo prostoty, daje wyniki zaskakująco zbli
 
 *** Rzadkość danych
 
-W wypadku bigramów, trigramów itd. jeszcze dotkliwy staje się problem
+W wypadku bigramów, trigramów, tetragramów itd. jeszcze dotkliwy staje się problem
 *rzadkości* danych (/data sparsity/). Przestrzeń możliwych zdarzeń
 jest jeszcze większa ($|V|^2$ dla bigramów), więc estymacje stają się
 jeszcze mniej pewne.
@@ -347,7 +347,7 @@ jeszcze mniej pewne.
 *** Back-off
 
 Dla $n$-gramów, gdzie $n>1$, nie jesteśmy ograniczeni do wygładzania $+1$, $+k$ czy Gooda-Turinga.
-W przypadku rzadkich $n$-gramów, w szczególności gdy $n$-gram w ogóle się nie pojawił w korpusie,
+W przypadku rzadkich $n$-gramów, w szczególności, gdy $n$-gram w ogóle się nie pojawił w korpusie,
 możemy „zejść” na poziom krótszych $n$-gramów. Na tym polega *back-off*.
 
 Otóż jeśli $\# w_{i-n+1}\ldots w_{i-1} > 0$, wówczas estymujemy prawdopodobieństwa
@@ -355,7 +355,7 @@ Otóż jeśli $\# w_{i-n+1}\ldots w_{i-1} > 0$, wówczas estymujemy prawdopodobi
 
 $$P_B(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = d_n(w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}\ldots w_{i-1}) P(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1})$$
 
-W przeciwnym razie, rozpatrujemy rekurencyjnie krótszy $n$-gram:
+W przeciwnym razie rozpatrujemy rekurencyjnie krótszy $n$-gram:
 
 $$P_B(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = \delta_n(w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}\ldots w_{i-1}) P_B(w_i|w_{i-n+2}\ldots w_{i-1}).$$
 
@@ -396,7 +396,7 @@ Teraz zastosujemy interpolację z następującą wartością parametru
 $1-\lambda$, sterującego wagą, jaką przypisujemy do krótszych $n$-gramów:
 
 
-$$1 - \lambda = \frag{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet)}{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet) + \# w_1\ldots w_{n-1}}.$$
+$$1 - \lambda = \frac{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet)}{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet) + \# w_1\ldots w_{n-1}}.$$
 
 *** Wygładzanie Knesera-Neya
 
@@ -453,3 +453,34 @@ $$P(w) = \frac{N_{1+}(\bullet w)}{\sum_{w_j} N_{1+}(\bullet w_j)}.$$
 #+RESULTS:
 :results:
 :end:
+
+** Narzędzia $n$-gramowego modelowania języka
+
+Istnieje kilka narzędzie do modelowania, ze starszych warto wspomnieć
+pakiety [[http://www.speech.sri.com/projects/srilm/][SRILM]] i [[https://github.com/irstlm-team/irstlm][IRSTLM]].
+Jest to oprogramowanie bogate w opcje, można wybierać różne opcje wygładzania.
+
+Szczytowym osiągnięciem w zakresie $n$-gramowego modelowania języka
+jest wspomniany już KenLM. Ma on mniej opcji niż SRILM czy ISRLM, jest
+za to precyzyjnie zoptymalizowany zarówno jeśli chodzi jakość, jak i
+szybkość działania. KenLM implementuje nieco zmodyfikowane wygładzanie
+Knesera-Neya połączone z *przycinaniem* słownika n-gramów (wszystkie
+/hapax legomena/ dla $n \geq 3$ są domyślnie usuwane).
+
+*** Przykładowe wyniki dla KenLM i korpusu Open Subtitles
+
+**** Zmiana perplexity przy zwiększaniu zbioru testowego
+
+#+CAPTION: Perplexity dla różnych rozmiarów zbioru testowego
+[[./05_Wygladzanie/size-perplexity.gif]]
+
+
+**** Zmiana perplexity przy zwiększaniu zbioru uczącego
+
+#+CAPTION: Perplexity dla różnych rozmiarów zbioru uczącego
+[[./05_Wygladzanie/size-perplexity2.gif]]
+
+**** Zmiana perplexity przy zwiększaniu rządu modelu
+
+#+CAPTION: Perplexity dla różnych wartości rządu modelu
+[[./05_Wygladzanie/order-perplexity.gif]]
diff --git a/wyk/05_Wygladzanie/order-perplexity.gif b/wyk/05_Wygladzanie/order-perplexity.gif
new file mode 100644
index 0000000..1c52fbf
Binary files /dev/null and b/wyk/05_Wygladzanie/order-perplexity.gif differ
diff --git a/wyk/05_Wygladzanie/size-perplexity.gif b/wyk/05_Wygladzanie/size-perplexity.gif
new file mode 100644
index 0000000..d52c9ba
Binary files /dev/null and b/wyk/05_Wygladzanie/size-perplexity.gif differ
diff --git a/wyk/05_Wygladzanie/size-perplexity2.gif b/wyk/05_Wygladzanie/size-perplexity2.gif
new file mode 100644
index 0000000..53f2002
Binary files /dev/null and b/wyk/05_Wygladzanie/size-perplexity2.gif differ