* Wygładzanie w n-gramowych modelach języka ** Dlaczego wygładzanie? Wyobraźmy sobie urnę, w której znajdują się kule w $m$ kolorach (ściślej: w co najwyżej $m$ kolorach, może w ogóle nie być kul w danym kolorze). Nie wiemy, ile jest ogółem kul w urnie i w jakiej liczbie występuje każdy z kolorów. Losujemy ze zwracaniem (to istotne!) $T$ kul, załóżmy, że wylosowaliśmy w poszczególnych kolorach $\{k_1,\dots,k_m\}$ kul (tzn. pierwszą kolor wylosowaliśmy $k_1$ razy, drugi kolor — $k_2$ razy itd.). Rzecz jasna, $\sum_{i=1}^m k_i = T$. Jak powinniśmy racjonalnie szacować prawdopodobieństwa wylosowania kuli w $i$-tym kolorze ($p_i$)? Wydawałoby się wystarczyłoby liczbę wylosowanych kul w danym kolorze podzielić przez liczbę wszystkich prób: $$p_i = \frac{k_i}{T}.$$ *** Wygładzanie — przykład Rozpatrzmy przykład z 3 kolorami (wiemy, że w urnie mogą być urny żółte, zielone i czerwone, tj. $m=3$) i 4 losowaniami ($T=4$): [[./05_Wygladzanie/urna.drawio.png]] Gdybyśmy w prosty sposób oszacowali prawdopodobieństwa, doszlibyśmy do wniosku, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi 3/4, żółtej — 1/4, a zielonej — 0. Wartości te są jednak dość problematyczne: - Za bardzo przywiązujemy się do naszej skromnej próby, potrzebowalibyśmy większej liczby losowań, żeby być bardziej pewnym naszych estymacji. - W szczególności stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej wynosi 0 jest bardzo mocnym stwierdzeniem (twierdzimy, że *NIEMOŻLIWE* jest wylosowanie kuli zielonej), dopiero większa liczba prób bez wylosowania zielonej kuli mogłaby sugerować prawdopodobieństwo bliskie zeru. - Zauważmy, że niemożliwe jest wylosowanie ułamka kuli, jeśli w rzeczywistości 10% kul jest żółtych to nie oznacza się wylosujemy $4\frac{1}{10} = \frac{2}{5}$ kuli. Prawdopodobnie wylosujemy jedną kulę żółtą albo żadną. Wylosowanie dwóch kul żółtych byłoby możliwe, ale mniej prawdopodobne. Jeszcze mniej prawdopodobne byłoby wylosowanie 3 lub 4 kul żółtych. *** Idea wygładzania Wygładzanie (ang. /smoothing/) polega na tym, że „uszczknąć” nieco masy prawdopodobieństwa zdarzeniom wskazywanym przez eksperyment czy zbiór uczący i rozdzielić ją między mniej prawdopodobne zdarzenia. *** Wygładzanie +1 Najprostszy sposób wygładzania to wygładzania +1, nazywane też wygładzaniem Laplace'a, zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: $$p_i = \frac{k_i+1}{T+m}.$$ W naszym przypadku z urną prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej określimy na $\frac{3+1}{4+3} = \frac{4/7}$, kuli żółtej — $\frac{1+1}{4+3}=2/7$, zielonej — $\frac{0+1}{4+3}=1/7$. Tym samym, kula zielona uzyskała niezerowe prawdopodobieństwo, żółta — nieco zyska, zaś czerwona — straciła. **** Własności wygładzania +1 Zauważmy, że większa liczba prób $m$, tym bardziej ufamy naszemu eksperymentowi (czy zbiorowi uczącemu) i tym bardziej zbliżamy się do niewygładzonej wartości: $$\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{k_i +1}{T + m} = \frac{k_i}{T}.$$ Inna dobra, zdroworozsądkowo, własność to to, że prawdopodobieństwo nigdy nie będzie zerowe: $$frac{k_i + 1}{T + m} > 0.$$ ** Wygładzanie w unigramowym modelu języku *** Analogia do urny Unigramowy model języka, abstrakcyjnie, dokładnie realizuje scenariusz losowania kul z urny: $m$ to liczba wszystkich wyrazów (czyli rozmiar słownika $|V|$), $k_i$ to ile razy w zbiorze uczącym pojawił się $i$-ty wyraz słownika, $T$ — długość zbioru uczącego. [[./05_Wygladzanie/urna-wyrazy.drawio.png]] A zatem przy użyciu wygładzania +1 w następujący sposób estymować będziemy prawdopodobieństwo słowa $w$: $$P(w) = \fraq{\# w + 1}{|C| + |V|}.$$ *** Wygładzanie $+\alpha$ W modelowaniu języka wygładzanie $+1$ daje zazwyczaj niepoprawne wyniki, dlatego częściej zamiast wartości 1 używa się współczynnika $0 < \alpha < 1$: $$P(w) = \fraq{\# w + \alpha}{|C| + \alpha|V|}.$$ W innych praktycznych zastosowaniach statystyki przyjmuje się $\alpha = \frac{1}{2}$, ale w przypadku n-gramowych modeli języka i to będzie zbyt duża wartość. W jaki sposób ustalić wartość $\alpha$? Można $\alpha$ potraktować $\alpha$ jako hiperparametr i dostroić ją na odłożonym zbiorze. *** Jak wybrać wygładzanie? Jak ocenić, który sposób wygładzania jest lepszy? Jak wybrać $\alpha$ w czasie dostrajania? Najprościej można sprawdzić estymowane prawdopodobieństwa na zbiorze strojącym (developerskim). Dla celów poglądowych bardziej czytelny będzie podział zbioru uczącego na dwie równe części — będziemy porównywać częstości estymowane na jednej połówce korpusu z rzeczywistymi, empirycznymi częstościami z drugiej połówki. Wyniki będziemy przedstawiać w postaci tabeli, gdzie w poszczególnych wierszach będziemy opisywać częstości estymowane dla wszystkich wyrazów, które pojawiły się określoną liczbę razy w pierwszej połówce korpusu. Ostatecznie możemy też po prostu policzyć perplexity na zbiorze testowym *** Przykład Użyjemy polskiej części z korpusu równoległego Open Subtitles: #+BEGIN_SRC wget -O en-pl.txt.zip 'https://opus.nlpl.eu/download.php?f=OpenSubtitles/v2018/moses/en-pl.txt.zip' unzip en-pl.txt.zip #+END_SRC Usuńmy duplikaty (zachowując kolejność): #+BEGIN_SRC nl OpenSubtitles.en-pl.pl | sort -k 2 -u | sort -k 1 | cut -f 2- > opensubtitles.pl.txt #+END_SRC Korpus zawiera ponad 28 mln słów, zdania są krótkie, jest to język potoczny, czasami wulgarny. #+BEGIN_SRC $ wc opensubtitles.pl.txt 28154303 178866171 1206735898 opensubtitles.pl.txt $ head -n 10 opensubtitles.pl.txt Lubisz curry, prawda? Nałożę ci więcej. Hey! Smakuje ci? Hey, brzydalu. Spójrz na nią. - Wariatka. - Zadałam ci pytanie! No, tak lepiej! - Wygląda dobrze! #+END_SRC Podzielimy korpus na dwie części: #+BEGIN_SRC head -n 14077151 < opensubtitles.pl.txt > opensubtitlesA.pl.txt tail -n 14077151 < opensubtitles.pl.txt > opensubtitlesB.pl.txt #+END_SRC **** Tokenizacja Stwórzmy generator, który będzie wczytywał słowa z pliku, dodatkowo: - ciągi znaków interpunkcyjnych będziemy traktować jak tokeny, - sprowadzimy wszystkie litery do małych, - dodamy specjalne tokeny na początek i koniec zdania (~~ i ~~). #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer from itertools import islice import regex as re import sys def get_words_from_file(file_name): with open(file_name, 'r') as fh: for line in fh: line = line.rstrip() yield '' for m in re.finditer(r'[\p{L}0-9\*]+|\p{P}+', line): yield m.group(0) yield '' list(islice(get_words_from_file('opensubtitlesA.pl.txt'), 0, 100)) #+END_SRC #+RESULTS: :results: ['', 'Lubisz', 'curry', ',', 'prawda', '?', '', '', 'Nałożę', 'ci', 'więcej', '.', '', '', 'Hey', '!', '', '', 'Smakuje', 'ci', '?', '', '', 'Hey', ',', 'brzydalu', '.', '', '', 'Spójrz', 'na', 'nią', '.', '', '', '-', 'Wariatka', '.', '', '', '-', 'Zadałam', 'ci', 'pytanie', '!', '', '', 'No', ',', 'tak', 'lepiej', '!', '', '', '-', 'Wygląda', 'dobrze', '!', '', '', '-', 'Tak', 'lepiej', '!', '', '', 'Pasuje', 'jej', '.', '', '', '-', 'Hey', '.', '', '', '-', 'Co', 'do', '...?', '', '', 'Co', 'do', 'cholery', 'robisz', '?', '', '', 'Zejdź', 'mi', 'z', 'oczu', ',', 'zdziro', '.', '', '', 'Przestań', 'dokuczać'] :end: **** Empiryczne wyniki Zobaczmy, ile razy, średnio w drugiej połówce korpusu występują wyrazy, które w pierwszej wystąpiły określoną liczbę razy. #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer from collections import Counter counterA = Counter(get_words_from_file('opensubtitlesA.pl.txt')) #+END_SRC #+RESULTS: :results: :end: #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer counterA['taki'] #+END_SRC #+RESULTS: :results: 42330 :end: #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer max_r = 10 buckets = {} for token in counterA: buckets.setdefault(counterA[token], 0) buckets[counterA[token]] += 1 bucket_counts = {} counterB = Counter(get_words_from_file('opensubtitlesB.pl.txt')) for token in counterB: bucket_id = counterA[token] if token in counterA else 0 if bucket_id <= max_r: bucket_counts.setdefault(bucket_id, 0) bucket_counts[bucket_id] += counterB[token] if bucket_id == 0: buckets.setdefault(0, 0) buckets[0] += 1 nb_of_types = [buckets[ix] for ix in range(0, max_r+1)] empirical_counts = [bucket_counts[ix] / buckets[ix] for ix in range(0, max_r)] #+END_SRC #+RESULTS: :results: :end: Policzmy teraz jakiej liczby wystąpień byśmy oczekiwali gdyby użyć wygładzania +1 bądź +0.01. (Uwaga: zwracamy liczbę wystąpień, a nie względną częstość, stąd przemnażamy przez rozmiar całego korpusu). #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer def plus_alpha_smoothing(alpha, m, t, k): return t*(k + alpha)/(t + alpha * m) def plus_one_smoothing(m, t, k): return plus_alpha_smoothing(1.0, m, t, k) vocabulary_size = len(counterA) corpus_size = counterA.total() plus_one_counts = [plus_one_smoothing(vocabulary_size, corpus_size, ix) for ix in range(0, max_r)] plus_alpha_counts = [plus_alpha_smoothing(0.01, vocabulary_size, corpus_size, ix) for ix in range(0, max_r)] data = list(zip(nb_of_types, empirical_counts, plus_one_counts, plus_alpha_counts)) vocabulary_size #+END_SRC #+RESULTS: :results: 1181065 :end: #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer import pandas as pd pd.DataFrame(data, columns=["liczba tokenów", "średnia częstość w części B", "estymacje +1", "estymacje +0.01"]) #+END_SRC #+RESULTS: :results: liczba tokenów średnia częstość w części B estymacje +1 estymacje +0.01 0 494664 1.805294 0.991839 0.009999 1 528998 0.591116 1.983678 1.009917 2 154689 1.574443 2.975517 2.009835 3 81398 2.512285 3.967356 3.009752 4 52899 3.502240 4.959196 4.009670 5 37917 4.433763 5.951035 5.009588 6 28921 5.280834 6.942874 6.009506 7 23267 6.209438 7.934713 7.009423 8 19014 7.265909 8.926552 8.009341 9 15849 8.193135 9.918391 9.009259 :end: *** Wygładzanie Gooda-Turinga Inna metoda — wygładzanie Gooda-Turinga — polega na zliczaniu, ile $n$-gramów (na razie rozpatrujemy model unigramowy, więc po prostu pojedynczych wyrazów) wystąpiło zadaną liczbę razy. Niech $N_r$ oznacza właśnie, ile $n$-gramów wystąpiło dokładnie $r$ razy; na przykład $N_1$ oznacza liczbę /hapax legomena/. W metodzie Gooda-Turinga używamy następującej estymacji: $$p(w) = \frac{\# w + 1}{|C|}\frac{N_{r+1}}{N_r}.$$ **** Przykład #+BEGIN_SRC python :session mysession :exports both :results raw drawer good_turing_counts = [(ix+1)*nb_of_types[ix+1]/nb_of_types[ix] for ix in range(0, max_r)] data2 = list(zip(nb_of_types, empirical_counts, plus_one_counts, good_turing_counts)) pd.DataFrame(data2, columns=["liczba tokenów", "średnia częstość w części B", "estymacje +1", "Good-Turing"]) #+END_SRC #+RESULTS: :results: liczba tokenów średnia częstość w części B estymacje +1 Good-Turing 0 494664 1.805294 0.991839 1.069409 1 528998 0.591116 1.983678 0.584838 2 154689 1.574443 2.975517 1.578613 3 81398 2.512285 3.967356 2.599523 4 52899 3.502240 4.959196 3.583905 5 37917 4.433763 5.951035 4.576470 6 28921 5.280834 6.942874 5.631513 7 23267 6.209438 7.934713 6.537671 8 19014 7.265909 8.926552 7.501893 9 15849 8.193135 9.918391 8.670579 :end: Wygładzanie metodą Gooda-Turinga, mimo prostoty, daje wyniki zaskakująco zbliżone do rzeczywistych. ** Wygładzanie dla $n$-gramów *** Rzadkość danych W wypadku bigramów, trigramów itd. jeszcze dotkliwy staje się problem *rzadkości* danych (/data sparsity/). Przestrzeń możliwych zdarzeń jest jeszcze większa ($|V|^2$ dla bigramów), więc estymacje stają się jeszcze mniej pewne. *** Back-off Dla $n$-gramów, gdzie $n>1$, nie jesteśmy ograniczeni do wygładzania $+1$, $+k$ czy Gooda-Turinga. W przypadku rzadkich $n$-gramów, w szczególności gdy $n$-gram w ogóle się nie pojawił w korpusie, możemy „zejść” na poziom krótszych $n$-gramów. Na tym polega *back-off*. Otóż jeśli $\# w_{i-n+1}\ldots w_{i-1} > 0$, wówczas estymujemy prawdopodobieństwa w tradycyjny sposób: $$P_B(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = d_n(w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}\ldots w_{i-1}) P(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1})$$ W przeciwnym razie, rozpatrujemy rekurencyjnie krótszy $n$-gram: $$P_B(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = \delta_n(w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}\ldots w_{i-1}) P_B(w_i|w_{i-n+2}\ldots w_{i-1}).$$ Technicznie, aby $P_B$ stanowiło rozkład prawdopodobieństwa, trzeba dobrać współczynniki $d$ i $\delta$. *** Interpolacja Alternatywą do metody back-off jest *interpolacja* — zawsze z pewnym współczynnikiem uwzględniamy prawdopodobieństwa dla krótszych $n$-gramów: $$P_I(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = \lambda P(w_i|w_{i-n+1}\dots w_{i-1}) + (1-\lambda) P_I(w_i|w_{i-n+2}\dots w_{i-1}).$$ Na przykład, dla trigramów: $$P_I(w_i|w_{i-2}w_{i-1}) = \lambda P_(w_i|w_{i-2}w_{i-1}) + (1-\lambda)(\lambda P(w_i|w_{i-1}) + (1-\lambda)P_I(w_i)).$$ ** Uwzględnianie różnorodności *** Różnorodność kontynuacji Zauważmy, że słowa mogą bardzo różnić się co do różnorodności kontynuacji. Na przykład po słowie /szop/ spodziewamy się raczej tylko słowa /pracz/, każde inne, niewidziane w zbiorze uczącym, będzie zaskakujące. Dla porównania słowo /seledynowy/ ma bardzo dużo możliwych kontynuacji i powinniśmy przeznaczyć znaczniejszą część masy prawdopodobieństwa na kontynuacje niewidziane w zbiorze uczącym. Różnorodność kontynuacji bierze pod uwagę metoda wygładzania Wittena-Bella, będącą wersją interpolacji. Wprowadźmy oznaczenie na liczbę możliwych kontynuacji $n-1$-gramu $w_1\ldots w_{n-1}$: $$N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet) = |\{w_n : \# w_1\ldots w_{n-1}w_n > 0\}|.$$ Teraz zastosujemy interpolację z następującą wartością parametru $1-\lambda$, sterującego wagą, jaką przypisujemy do krótszych $n$-gramów: $$1 - \lambda = \frag{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet)}{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet) + \# w_1\ldots w_{n-1}}.$$ *** Wygładzanie Knesera-Neya Zamiast brać pod uwagę różnorodność kontynuacji, możemy rozpatrywać różnorodność *historii* — w momencie liczenia prawdopodobieństwa dla unigramów dla interpolacji (nie ma to zastosowania dla modeli unigramowych). Na przykład dla wyrazu /Jork/ spodziewamy się tylko bigramu /Nowy Jork/, a zatem przy interpolacji czy back-off prawdopodobieństwo unigramowe powinno być niskie. Wprowadźmy oznaczenia na liczbę możliwych historii: $$N_{1+}(\bullet w) = |\{w_j : \# w_jw > 0\}|$$. W metodzie Knesera-Neya w następujący sposób estymujemy prawdopodobieństwo unigramu: $$P(w) = \frac{N_{1+}(\bullet w)}{\sum_{w_j} N_{1+}(\bullet w_j)}.$$