Rozwiązanie zadania "Ilorazy pierścienia wielomianów" #35
21
01-Pierścień-Zn.md
Normal file
21
01-Pierścień-Zn.md
Normal file
@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
## Zadanie
|
||||
|
||||
Napisać algorytm, który dla danego `n ∈ ℕ` znajdzie wszystkie:
|
||||
|
||||
1. elementy odwracalne
|
||||
2. dzielniki zera
|
||||
3. elementy nilpotentne
|
||||
4. elementy idempotentne
|
||||
|
||||
w pierścieniu `{ℤ/nℤ, +, ⋅}`.
|
||||
|
||||
Termin: 31.05
|
||||
|
||||
### Przykłady:
|
||||
|
||||
> Input: `4`
|
||||
> Output: `[[1,3], [0,2], [0,2], [0,1]]`
|
||||
|
||||
> Input: `6`
|
||||
> Output: `[[1,5], [0,2,3,4], [0], [0,1,3,4]]`
|
||||
|
||||
19
02-Wielomiany.md
Normal file
19
02-Wielomiany.md
Normal file
@ -0,0 +1,19 @@
|
||||
## Zadanie
|
||||
|
||||
Napisać program, który dla danego pierścienia współczynników `R = ℤ/nℤ, n ∈ ℕ` oraz wielomianów `f,g ∈ R[x] ` zmiennej `x ` znajdzie:
|
||||
|
||||
1. iloczyn `f⋅g ∈ R[x]`
|
||||
2. klasę reszty `f ∈ R[x]/(g)`
|
||||
3. największy wspólny dzielnik `nwd(f,g)` korzystając z algorytmu Euklidesa.
|
||||
|
||||
**Uwaga**: wielomiany są podawane jako ciąg współczynników **od wyrazu wolnego, do współczynnika wiodącego**.
|
||||
|
||||
Termin: 07.06
|
||||
|
||||
### Przykłady:
|
||||
|
||||
> Input: `2, [1,1,1,0,1], [0,1,1]` (i.e. `f = 1 + x + x² + x⁴, g = x² + x`)
|
||||
> Output: `[[0,1,0,0,1,1,1], [1,1], [1,1]]`
|
||||
|
||||
> Input: `6, [2,1,0,2,1,3], [1,0,0,5]`
|
||||
> Output: `[[3,1,0,5,0,1,4,5,5], [5,2,1], DivisionError]`
|
||||
97
03-CRC.md
Normal file
97
03-CRC.md
Normal file
@ -0,0 +1,97 @@
|
||||
## Zadanie
|
||||
|
||||
Napisać program, który dla wiadomości `M` w formie tekstowej ASCII (tj. `8` bitów na znak):
|
||||
|
||||
1. utworzy FCS (*Frame Check Sequence*) długości `16` bitów zgodnie z algorytmem **D-1.1**;
|
||||
- INPUT: `M` - tablica znaków ASCII długości `n-2`;
|
||||
- OUTPUT: `N` - tablica 8-bitowych liczb (`unsigned char`) długości `n`, która zawiera oryginalną wiadomość `M` na pierwszych `n-2` miejscach, zaś ostatnie dwa zawierają FCS.
|
||||
2. pozwoli sprawdzić, czy dana ramka (tj. wiadomość + FCS) zawiera poprawną treść (zgodnie z **D-1.2**;
|
||||
- INPUT: `N` - tablica 8-bitowych liczb (`unsigned char`) długości `n` (np. w formacie hex)
|
||||
- OUTPUT: `true` jeśli dwie ostatnie liczby tablicy `N` odpowiadają FCS wiadomości `M = N[0:n-2]` (interpretowanej jako tablica typu `char`), `false` w przeciwnym wypadku;
|
||||
|
||||
UWAGA: Program w punkcie **2** powinien być w stanie zweryfikować output z punktu **1**!
|
||||
|
||||
Źródło: [Report: Telemetry Summary of Concept and Rationale](http://mtc-m16c.sid.inpe.br/col/sid.inpe.br/mtc-m18@80/2009/07.15.17.25/doc/CCSDS%20100.0-G-1.pdf), CCSDS 100.0-G-1 Report Concerning Space.
|
||||
|
||||
### Warunki punktacji
|
||||
* program musi być typu wsadowego, tj. uruchamiany z linii komend;
|
||||
* program musi się działać (i kompilować) na serwerze [LTS](https://laboratoria.wmi.amu.edu.pl/en/uslugi/serwer-terminalowy/lts)
|
||||
* implementacja bazowa (korzystająca z dzielenia wielomianów) jest warta 1 punkt;
|
||||
* każda zmiana która wpływa na szybkość musi być skomentowana i opisana bardzo dokładnie (co zrobiliśmy, dlaczego (i jak) wpływa to na szybkość i dlaczego wynik matematycznie jest taki sam);
|
||||
* najszybsza implementacja dostaje 2 pkt; najwolniejsza 1; reszta rozłożona liniowo;
|
||||
* dwie kategorie szybkości:
|
||||
- języki statycznie kompilowane (C, C++, java,...) oraz języki JIT;
|
||||
- języki interpretowane (python, lua,...);
|
||||
|
||||
UWAGA: **NIE** przyjmuję squashed pulls (z jednym commitem), zwłaszcza jeśli chodzi o wersję działającą szybko.
|
||||
|
||||
### Termin
|
||||
21.06.2018
|
||||
|
||||
### Dodatkowe informacje
|
||||
Funkcja, którą omawialiśmy, to tzw. CRC-16-CCITT, czyli [16-bit Cyclic Redundancy Check](https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check). Funkcje tego typu , są uzywane we wszystkich ramkach [komunikacji](https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check#Polynomial_representations_of_cyclic_redundancy_checks), od USB, przez Ethernet, Bluetooth, Wifi, GSM, na standardach dźwięku i obrazu (MPEG, PNG) i dyskach twadrdych (SATA) kończąc.
|
||||
|
||||
#### Implementacja referencyjna
|
||||
|
||||
```c
|
||||
static unsigned short crc_table[256] = {
|
||||
0x0000, 0x1021, 0x2042, 0x3063, 0x4084, 0x50a5,
|
||||
0x60c6, 0x70e7, 0x8108, 0x9129, 0xa14a, 0xb16b,
|
||||
0xc18c, 0xd1ad, 0xe1ce, 0xf1ef, 0x1231, 0x0210,
|
||||
0x3273, 0x2252, 0x52b5, 0x4294, 0x72f7, 0x62d6,
|
||||
0x9339, 0x8318, 0xb37b, 0xa35a, 0xd3bd, 0xc39c,
|
||||
0xf3ff, 0xe3de, 0x2462, 0x3443, 0x0420, 0x1401,
|
||||
0x64e6, 0x74c7, 0x44a4, 0x5485, 0xa56a, 0xb54b,
|
||||
0x8528, 0x9509, 0xe5ee, 0xf5cf, 0xc5ac, 0xd58d,
|
||||
0x3653, 0x2672, 0x1611, 0x0630, 0x76d7, 0x66f6,
|
||||
0x5695, 0x46b4, 0xb75b, 0xa77a, 0x9719, 0x8738,
|
||||
0xf7df, 0xe7fe, 0xd79d, 0xc7bc, 0x48c4, 0x58e5,
|
||||
0x6886, 0x78a7, 0x0840, 0x1861, 0x2802, 0x3823,
|
||||
0xc9cc, 0xd9ed, 0xe98e, 0xf9af, 0x8948, 0x9969,
|
||||
0xa90a, 0xb92b, 0x5af5, 0x4ad4, 0x7ab7, 0x6a96,
|
||||
0x1a71, 0x0a50, 0x3a33, 0x2a12, 0xdbfd, 0xcbdc,
|
||||
0xfbbf, 0xeb9e, 0x9b79, 0x8b58, 0xbb3b, 0xab1a,
|
||||
0x6ca6, 0x7c87, 0x4ce4, 0x5cc5, 0x2c22, 0x3c03,
|
||||
0x0c60, 0x1c41, 0xedae, 0xfd8f, 0xcdec, 0xddcd,
|
||||
0xad2a, 0xbd0b, 0x8d68, 0x9d49, 0x7e97, 0x6eb6,
|
||||
0x5ed5, 0x4ef4, 0x3e13, 0x2e32, 0x1e51, 0x0e70,
|
||||
0xff9f, 0xefbe, 0xdfdd, 0xcffc, 0xbf1b, 0xaf3a,
|
||||
0x9f59, 0x8f78, 0x9188, 0x81a9, 0xb1ca, 0xa1eb,
|
||||
0xd10c, 0xc12d, 0xf14e, 0xe16f, 0x1080, 0x00a1,
|
||||
0x30c2, 0x20e3, 0x5004, 0x4025, 0x7046, 0x6067,
|
||||
0x83b9, 0x9398, 0xa3fb, 0xb3da, 0xc33d, 0xd31c,
|
||||
0xe37f, 0xf35e, 0x02b1, 0x1290, 0x22f3, 0x32d2,
|
||||
0x4235, 0x5214, 0x6277, 0x7256, 0xb5ea, 0xa5cb,
|
||||
0x95a8, 0x8589, 0xf56e, 0xe54f, 0xd52c, 0xc50d,
|
||||
0x34e2, 0x24c3, 0x14a0, 0x0481, 0x7466, 0x6447,
|
||||
0x5424, 0x4405, 0xa7db, 0xb7fa, 0x8799, 0x97b8,
|
||||
0xe75f, 0xf77e, 0xc71d, 0xd73c, 0x26d3, 0x36f2,
|
||||
0x0691, 0x16b0, 0x6657, 0x7676, 0x4615, 0x5634,
|
||||
0xd94c, 0xc96d, 0xf90e, 0xe92f, 0x99c8, 0x89e9,
|
||||
0xb98a, 0xa9ab, 0x5844, 0x4865, 0x7806, 0x6827,
|
||||
0x18c0, 0x08e1, 0x3882, 0x28a3, 0xcb7d, 0xdb5c,
|
||||
0xeb3f, 0xfb1e, 0x8bf9, 0x9bd8, 0xabbb, 0xbb9a,
|
||||
0x4a75, 0x5a54, 0x6a37, 0x7a16, 0x0af1, 0x1ad0,
|
||||
0x2ab3, 0x3a92, 0xfd2e, 0xed0f, 0xdd6c, 0xcd4d,
|
||||
0xbdaa, 0xad8b, 0x9de8, 0x8dc9, 0x7c26, 0x6c07,
|
||||
0x5c64, 0x4c45, 0x3ca2, 0x2c83, 0x1ce0, 0x0cc1,
|
||||
0xef1f, 0xff3e, 0xcf5d, 0xdf7c, 0xaf9b, 0xbfba,
|
||||
0x8fd9, 0x9ff8, 0x6e17, 0x7e36, 0x4e55, 0x5e74,
|
||||
0x2e93, 0x3eb2, 0x0ed1, 0x1ef0
|
||||
};
|
||||
|
||||
unsigned short CRCCCITT(unsigned char *data, size_t length)
|
||||
{
|
||||
size_t count;
|
||||
unsigned int crc = 0xffff;
|
||||
unsigned int temp;
|
||||
|
||||
for (count = 0; count < length; ++count)
|
||||
{
|
||||
temp = (*data++ ^ (crc >> 8)) & 0xff;
|
||||
crc = crc_table[temp] ^ (crc << 8);
|
||||
}
|
||||
return (unsigned short)(crc);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
48
04-Ilorazy-pierścienia-wielomianów.md
Normal file
48
04-Ilorazy-pierścienia-wielomianów.md
Normal file
@ -0,0 +1,48 @@
|
||||
## Zadanie
|
||||
|
||||
Napisać program, który dla pierścienia `ℤ/nℤ[x]/(f = a₀ + a₁x¹+ ...+ aₖxᵏ)` znajdzie wszystkie
|
||||
|
||||
1. elementy odwracalne,
|
||||
2. dzielniki zera,
|
||||
3. elementy nilpotentne,
|
||||
4. elementy idempotentne.
|
||||
|
||||
- INPUT: `n [a₀,a₁,...,aₖ]`
|
||||
- OUTPUT: lista zawierająca cztery powyższe listy elementów (wielomianów, podanych jako listy współczynników)
|
||||
|
||||
### Przykłady:
|
||||
|
||||
1. `ℤ/2ℤ[x]/(x² + x + 1)`, który jest ciałem, tzn. `0` jest jedynym elementem nilpotentnym i jedynym dzielnikiem zera:
|
||||
* INPUT: `2 [1,1,1]`
|
||||
* OUTPUT:
|
||||
|
||||
```shell
|
||||
[
|
||||
[[1], [0,1], [0,1], [1,1]], # odwracalne
|
||||
[[0]], # dzielniki zera
|
||||
[[0]], # nilpotenty
|
||||
[[1]] # idempotenty
|
||||
]
|
||||
```
|
||||
|
||||
1. `ℤ/5ℤ[x]/(2x³ + 2x² + x + 1)`
|
||||
* INPUT: `3, [1,1,2,2]`
|
||||
* OUTPUT:
|
||||
|
||||
```sh
|
||||
[
|
||||
[[1], [2], [0, 1], [0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1], [2, 1, 1], [2, 2, 1], [0, 0, 2], [2, 0, 2], [1, 1, 2], [1, 2, 2]], # odwracalne
|
||||
[[0], [1, 1], [2, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 1], [0, 2, 1], [1, 2, 1], [1, 0, 2], [0, 1, 2], [2, 1, 2], [0, 2, 2], [2, 2, 2]], # dzielniki zera
|
||||
[[0], [2, 0, 1], [1, 0, 2]], # nilpotenty
|
||||
[[0], [1], [1, 2, 1], [0, 1, 2]] # idempotenty
|
||||
]
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Warunki punktacji
|
||||
* program musi być typu wsadowego, tj. uruchamiany z linii komend;
|
||||
* program musi się działać (i kompilować) na serwerze [LTS](https://laboratoria.wmi.amu.edu.pl/en/uslugi/serwer-terminalowy/lts)
|
||||
|
||||
UWAGA: **NIE** przyjmuję squashed pulls (z jednym commitem)
|
||||
|
||||
### Termin
|
||||
28.06.2018
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user