\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
%\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definicja}
\DeclareMathOperator*{\lisup}{lim\,sup}

\begin{document}

\begin{enumerate}
\item Proszę poprawnie złożyć poniższą formułę (\ref{eq:równanie}) a następnie na wstawić do
niej odwołanie za pomocą odpowiedniej komendy. Numer obok formuły
powinien wyświetlać się w połowie jej wysokości.

\begin{equation}
\begin{gathered}
\left( \sum_{i_1,\dots,i_m} a_{i_1,\dots,i_m} ^{2m}{m+1}  \right) ^{\frac{m+1}{2m}} \leq C \sup\{ |\sum_{i_1,\dots, i_m} a_{i_1,\dots,i_m} x^1_{i_1}\dots x^m_{i_m}|: \\ \|(x_i^k)_{i=1}^n \|_\infty\leq1,\ 1\leq k\leq m\},
\end{gathered} \label{eq:równanie}
\end{equation}

\item Proszę poprawnie złożyć oznaczenie: $\operatorname{Re}z$.

\item Proszę poprawnie złożyć indeksy w poniższej sumie
$$
f(x)=\sum_{\substack{n=0\\ k=2}}^\infty a_n^k
$$

\item  Proszę poprawnie złożyć poniższe twierdzenie oraz definicję

\begin{theorem}
 \emph{(Cauchy--Hadamard)}
Promień zbieżności $R$ szeregu potęgowe 
$$
\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\ \ \ \ \ |z-z_0|<R
$$
liczyć można za pomocą następującej formuły
$$
\frac{1}{R}=\lisup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
$$
\end{theorem}

\begin{definition}
(Definicja liczby pierwszej) Liczbę
nazywamy pierwszą, gdy nie jest liczbą złożoną.
\end{definition}

\item Proszę poprawnie wpisać macierz:
$$
\begin{Bmatrix}
         a_{11} & a_{12}\\
         a_{21} & a_{22}
\end{Bmatrix}
$$

A teraz w tekście $
\begin{Bmatrix}
         a_{11} & a_{12}\\
         a_{21} & a_{22}
\end{Bmatrix}
$
     Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do
     eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut
     enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris
     nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Duis aute irure dolor in
     reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat
     nulla pariatur. Excepteur sint occaecat cupidatat non proident,
     sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

\end{enumerate}
\end{document}