\documentclass[11pt]{beamer}
\usepackage{ucs}
\usetheme{Warsaw}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}
%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}{Definicja}

\author{Izabela Kosmala}
\title{Twierdzenie Pitagorasa}
\subtitle{Dowód}
\institute{Uniwersytet im. Adama Mickiewicza} 
\date{09.11.2017 r.} 

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Twierdzenie Pitagorasa}
\begin{tw}[Pitagorasa]

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Niech $a$,$b$ oznaczają długości przyprostokątnych, $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej. Prawdziwy jest wtedy wzór:
\[a^2=b^2+c^2\]

\end{tw}

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (-5,0);
\draw (-5,5);
\draw (0,0)--(4,4)--(4,0)--cycle;
\node[below] at (2,-0.05) {a};
\node[right] at (4.05,2) {b};
\node[above] at (1.75,2.05) {c};
\end{tikzpicture}
\end{frame}

\begin{frame}{Dowód tw. Pitagorasa}
Przedstawimy dowód oparty na podobieństwie trójkątów.

Na początek poprowadzimy wysokość z wierzchołka przy kącie prostokątnym i oznaczmy ją przez $h$. Wierzchołki trójkąta oznaczmy przez $A$,$B$,$C$ a punkt, w którym wysokość przecina przeciwprostokątną przez $D$. Niech $a$,$b$ oznaczają długości przyprostokątnych, $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej.

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (-1,5);
\draw (2,0)--(4,4)--(12,0)--cycle;

\node[below] at (2,0) {A};
\node[above] at (4,4) {C};
\node[below] at (12,0) {B};
\node[below] at (4,0) {D};
\node[below] at (6,-0.05) {c};
\node[above] at (3,-0.05) {c$_1$};
\node[above] at (8,-0.05) {c$_2$};
\node[above] at (8,2) {a};
\node[above] at (2.75,2.05) {b};
\node[right] at (4,2) {h};
\draw (4,4) -- (4,0);
\end{tikzpicture}

\end{frame}


\begin{frame}
Z własności wysokości, wiemy, że $\angle ADC$ i $\angle BDC$ są kątami prostymi. Wobec tego $|\angle ACD| = |\angle ABC| = |\angle ACD|$ oraz $|\angle BCD| = |\angle BAC| = |\angle DAC|$, oznaczmy $\angle ACD = \beta$ oraz $\angle ABC = \alpha$. 

 Możemy wywnioskować więc, że $\triangle ADC$, $\triangle ACB$ oraz $\triangle BCD$  są trójkątami podobnymi na podstawie cechy KKK. 
\end{frame}


\begin{frame}
Zauważmy, że $\cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{c_1}{b}$. Stąd $b^2=c*c_1$. 

Zauważmy, że $\cos\beta = \frac{a}{c} = \frac{c_2}{a}$. Stąd $a^2=c*c_2$.

Wiemy, że $c_1 + c_2 = c$.

Wobec tego $a^2 + b^2 = cc_2 + cc_1 = c(c_2 + c_1) = c^2$.
\begin{flushright}
$\square$
\end{flushright}
\end{frame}





\end{document}