45 lines
1.5 KiB
TeX
45 lines
1.5 KiB
TeX
\documentclass[12pt,a4paper,reqno,twoside]{mwbk}
|
|
\usepackage[MeX]{polski}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|
\usepackage{makeidx}
|
|
\usepackage{graphbox}
|
|
\usepackage{fancyhdr}
|
|
\usepackage{actuarialangle}
|
|
\usepackage{pgf,tikz,pgfplots}
|
|
\pgfplotsset{compat=1.14}
|
|
\usepackage{mathrsfs}
|
|
\usetikzlibrary{arrows}
|
|
\begin{document}
|
|
\subsection*{{\large Twierdzenie Pitagorasa}}
|
|
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
|
|
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$$
|
|
|
|
\paragraph*{Dowód przez podobieństwo trójkątów:}
|
|
|
|
Trójkąty: ABC, ADB i BCD są podobne. Załóżmy, że $|CB|=a$, $|AB|=b$, $|AC|=c$, $|CD|=x$, $|DA|=y$, $|BD|=h$.
|
|
|
|
\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
|
|
\definecolor{ffdxqq}{rgb}{1,0.8431372549019608,0}
|
|
\hspace{2cm}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[line width=.75pt] (0,1)--(3,5)--(3,1)--(0,1)--(8,1)--(3,5);
|
|
\node[below left] at (0,1) {$C$};
|
|
\node[below right] at (8,1) {$A$};
|
|
\node[above left] at (3.25,5) {$B$};
|
|
\node[below left] at (3.25,1) {$D$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\newline
|
|
Zatem prawdziwe są proporcje:
|
|
$$\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{a} \hspace{2.5cm} \dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{b}$$
|
|
$$a^{2}=x \cdot c \hspace{2cm} b^{2}=y \cdot c$$
|
|
Dodając stronami powyższe równania otrzymujemy:
|
|
$$a^{2}=x \cdot c$$
|
|
$$\hspace{-1cm}\underline{{\small +} \hspace{0.7cm} b^{2}=y \cdot c}$$
|
|
$$a^{2}+b^{2}=x \cdot c+y \cdot c$$
|
|
$$a^{2}+b^{2}=c(x+y)$$
|
|
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
|
|
$$\hspace{8cm}{\small \square}$$
|
|
\end{document}
|