aitech-eks-pub/wyk/08_Regresja_liniowa.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "cathedral-newark",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Regresja liniowa\n",
    "\n",
    "Regresja liniowa jest prosta...\n",
    "\n",
    "![Ceny mieszkań](./08_files/linregr1.png)\n",
    "\n",
    "... dosłownie — dopasuj prostą $y = ax + b$ do punktów\n",
    "\n",
    "Należy odgadnąć $a$ i $b$ tak, aby zminimalizować błąd\n",
    "kwadratowy, tj. wartość:\n",
    "\n",
    "$$\\sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2$$\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "heard-clinton",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Regresje liniowa (jednej zmiennej) jest łatwa do rozwiązania — wystarczy podstawić do wzoru!\n",
    "\n",
    "$$\\hat{b} = \\frac{ \\sum_{i=1}^{n}{x_i y_i} - \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n x_i\n",
    "  \\sum_{j=1}^n y_j}{ \\sum_{i=1}^n {x_i^2} - \\frac{1}{n} (\\sum_{i=1}^n\n",
    "  x_i)^2 }$$\n",
    "\n",
    "$$\\hat{a} = \\bar{y} - \\hat{b}\\,\\bar{x}$$\n",
    "\n",
    "\n",
    "Na przykład dla mieszkań: $b =$ -30809.203 zł,  $a =$ 5733.693 zł/m$^2$.\n",
    "\n",
    "![Ceny mieszkań](./08_files/linregr2.png)\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "preceding-impression",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Regresja wielu zmiennych\n",
    "\n",
    "W praktyce mamy do czynienia z **wielowymiarową** regresją\n",
    "liniową.\n",
    "\n",
    "Cena mieszkań może być prognozowana na podstawie:\n",
    "\n",
    "* powierzchni w m$^2$ ($x_1 = 32.3$) $w_1 = 7000$\n",
    "\n",
    "* liczby pokoi ($x_2 = 3$) $w_2 = -30000$\n",
    " \n",
    "* nr piętra ($x_3 = 4$) \n",
    "\n",
    "* wieku ($x_4 = 13$) $w_3 = -1000$\n",
    "\n",
    "* odległości od Dworca Centralnego w Warszawie ($x_5 = 371.3$)\n",
    "\n",
    "* wielkość miasta\n",
    "\n",
    "* gęstość zaludnienia\n",
    "\n",
    "* cech zerojedynkowych:\n",
    "\n",
    "  * czy wielka płyta? ($x_6 = 0$)\n",
    "\n",
    "  * czy jest jacuzzi? ($x_7 = 1$)  $w_7 = 5000$\n",
    "\n",
    "  * czy jest grzyb? ($x_8 = 0$) $w_8 = -40000$\n",
    " \n",
    "  * czy to Kielce? ($x_9 = 1$)\n",
    "  \n",
    "  * czy to Kraków ($x_{10} = 0$)\n",
    "  \n",
    "  * czy to Katowice ($x_{11} = 0$)\n",
    "   \n",
    "  * czy obok budynku jest parking \n",
    "  \n",
    "  * czy w budynku jest parking\n",
    "\n",
    "* zakodowany opis \n",
    "\n",
    "  * $(x_{12}, x_{|V|+12})$ - wektor tf-idf \n",
    "\n",
    "... więc uogólniamy na wiele ($k$) wymiarów:\n",
    "\n",
    "$$ y = w_0 + w_1x_1 + \\ldots + w_kx_k = w_0 + \\sum_{j=1}^{k} w_jx_j = w_0 + \\vec{w}\\vec{x}$$\n",
    "\n",
    "gdzie:\n",
    "\n",
    "* $x_1,\\dots,x_k$ -- zmienne, na podstawie których zgadujemy\n",
    "\n",
    "* $w_0, w_1,\\dots,w_k$ -- wagi modelu (do wymyślenia na\n",
    "  podstawie przykładów)\n",
    "\n",
    "* $y$ -- odgadywana wartość\n",
    "\n",
    "Też istnieje wzór ładny wzór na wyliczenie wektora wag!\n",
    "\n",
    "$$\\mathbf{w} = (\\mathbf{X}^{\\rm T}\\mathbf{X})^{-1} \\mathbf{X}^{\\rm T}\\mathbf{y}$$\n",
    "\n",
    "... niestety odwracanie macierzy nie jest tanie :("
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "confused-increase",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Kilka spostrzeżeń\n",
    "\n",
    "Regresja liniowa to najprostszy możliwy model:\n",
    "\n",
    "* im czegoś więcej na wejściu, tym proporcjonalnie (troszkę) więcej/mniej na wyjściu\n",
    "\n",
    "* nic prostszego nie da się wymyślić (funkcja stała??)\n",
    "\n",
    "* niestety model liniowy czasami kompletnie nie ma sensu (np. wzrost człowieka w\n",
    "  stosunku do wieku)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "freelance-controversy",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Uczenie\n",
    "\n",
    "A jak nauczyć się wag z przykładów?\n",
    "\n",
    "* wzór (z odwracaniem macierzy) — problematyczny\n",
    "\n",
    "### Metoda gradientu prostego\n",
    "\n",
    "![Morskie Oko - Krzysztof Dudzik](08_files/morskieoko.jpg)\n",
    "\n",
    "Schodź wzdłuż lokalnego spadku funkcji błędu.\n",
    "\n",
    "Tak więc w praktyce zamiast podstawiać do wzoru lepiej się uczyć iteracyjnie -\n",
    "  metodą **gradientu prostego** (ang. _gradient descent_).\n",
    "\n",
    "1. Zacznij od byle jakich wag $w_i$ (np. wylosuj)\n",
    "2. Weź losowy przykład uczący $x_1,\\dots,x_n$, $y$.\n",
    "3. Oblicz wyjście $\\hat{y}$ na podstawie $x_1,\\dots,x_n$.\n",
    "4. Oblicz funkcję błędu między $y$ a $\\hat{y}$.\n",
    "5. Zmodyfikuj lekko wagi $(w_i)$ w kierunku spadku funkcji błędu.\n",
    "6. Jeśli błąd jest duży, idź do 2.\n",
    "\n",
    "Modyfikacja wag:\n",
    "\n",
    "$$w_i := w_i - x_i (\\hat{y} - y) \\eta$$\n",
    "\n",
    "gdzie $\\eta$ to **współczynnik uczenia** _learning rate_.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "divine-medium",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Ewaluacja regresji\n",
    "\n",
    "To miary błędu (im mniej, tym lepiej!)}\n",
    "\n",
    "### Błąd bezwzględny (Mean Absolute Error, MAE)\n",
    "\n",
    "$$\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n |\\hat{y}_i - y_i| $$\n",
    "\n",
    "### Mean Squared Error (MSE)\n",
    "\n",
    "$$\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (\\hat{y}_i - y_i)^2$$\n",
    "\n",
    "### Root Mean Squared Error (RMSE)\n",
    "\n",
    "$$\\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (\\hat{y}_i - y_i)^2}$$\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "supreme-tennessee",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Regresja liniowa dla tekstu\n",
    "\n",
    "Czym jest wektor $\\vec{x} = (x_1,\\dots,x_n)$? Wiemy, np. reprezentacja tf-idf (być z trikiem z haszowaniem, Word2vec etc.).\n",
    "\n",
    "![schemat regresji liniowej](08_files/regresja-liniowa-tekst.png)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "seasonal-syndication",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Przykład \n",
    "\n",
    "Wyzwanie RetroC2 - odgadywanie roku dla krótkiego tekstu (1814-2013), <https://gonito.net/challenge/retroc2>.\n",
    "    \n",
    "Lista słów (obcięta do 7 znaków) z największą/najmniejszymi wagami.   \n",
    "\n",
    "```\n",
    "wzbudze -0.08071490\n",
    "paczka  -0.08000180\n",
    "szarpi  -0.05906200\n",
    "spadoch -0.05784140\n",
    "rzymsko -0.05466660\n",
    "sosnowy -0.05162170\n",
    "dębowyc -0.04778910\n",
    "nawinię -0.04649400\n",
    "odmówie -0.04522140\n",
    "zacisko -0.04480620\n",
    "funkcją -0.04479500\n",
    "werben  -0.04423350\n",
    "nieumyś -0.04415200\n",
    "wodomie -0.04351570\n",
    "szczote -0.04313390\n",
    "exekucy -0.04297940\n",
    "listew  -0.04214090\n",
    "daley   -0.04145400\n",
    "metro   -0.04080110\n",
    "wyjąwsz -0.04078060\n",
    "salda   -0.04042050\n",
    "tkach   -0.04020180\n",
    "cetnar  -0.03999050\n",
    "zgóry   -0.03855980\n",
    "belek   -0.03833100\n",
    "formier -0.03805890\n",
    "wekslu  -0.03796510\n",
    "odmową  -0.03753760\n",
    "\n",
    "odwadni 0.04662140\n",
    "dozując 0.04672770\n",
    "wyników 0.04744650\n",
    "sprawst 0.04746330\n",
    "jakub   0.04750710\n",
    "ścieran 0.04791070\n",
    "wrodzon 0.04799800\n",
    "koryguj 0.04843560\n",
    "odnotow 0.04854360\n",
    "tłumiąc 0.04917320\n",
    "leasing 0.04963200\n",
    "ecznej  0.04994810\n",
    "2013r   0.05009500\n",
    "kompens 0.05049060\n",
    "comarch 0.05058620\n",
    "pojazde 0.05078540\n",
    "badanyc 0.05340480\n",
    "kontakc 0.05377990\n",
    "sygnali 0.05601120\n",
    "piasta  0.05658670\n",
    "2000r   0.05716820\n",
    "stropni 0.06123470\n",
    "oszone  0.06124600\n",
    "zamonto 0.06424310\n",
    "………..   0.06498500\n",
    "kumulat 0.06596770\n",
    "faktura 0.07313080\n",
    "wielost 0.09677770\n",
    "wielomi 0.12307300\n",
    "```\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "id": "encouraging-martial",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.9.2"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}