zajecia4

zajecia4/README.md

@@ -0,0 +1,50 @@
+# Zajęcia 4
+Notatki do zajęć 4.
+Z wykładu nie było chyba tylko rozkładu estymatora - ale wydaje mi się ze to jest po prostu rysowanie wartosci jakie nam wyszly z estymatora i okreslanie jaki to jest rozkład. Na wykładie były tylko dodatkwe twierdzenia.
+
+
+## Zadanie 1
+Parametry a i b to parametry w rozkładzie jednostajnym słuzące do obliczania prawdopodobieństwa dla danej wartości.
+Dlaczego w RStudio mnoze odchylenie standardowe razy jakis dziwny pierwiastek - [link](https://pl.wikipedia.org/wiki/Odchylenie_standardowe#Odchylenie_standardowe_z_próby) bo nie jest to zwykle odchylenie standardowe tylko odchylenie standardowe z proby!!! To co mam na kartce to teoretyczne dlatego tam mam zwykle odchyenie standardowe z tego co rozumiem.
+<br><br>
+![zad](moje_zad2.png)
+
+
+## Zadanie 2
+Rozkład Poissona.
+- wartość estymatora to średnia - wynik z obliczeń z metody momentów, nie robiłem samemu, jest w pliku Wprowadzenie
+
+
+## Zadanie 3
+Jest sposób rozwiązania w PDF - zrobić przed egzaminem.
+
+
+## Zadanie 4
+Rozkład Rayleigha, obliczenia w PDF.
+
+----
+
+## Wykres kwantyl-kwantyl
+Porównujemy wartości estymowane z rzeczywistymi.
+
+
+## Metoda największej wiarogodności
+Szukamy największej wartości funkcji gęstości lub logarytmu naturalnego z funkcji gęstości.
+
+
+## Metoda momentów
+Metoda momentów – w statystyce, metoda estymacji parametrów populacji polegająca na wyznaczaniu równań wiążących momenty populacji z parametrami / momentami próby, które mają być estymowane.
+
+
+## Moment
+Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej to wartość oczekiwana k-tej potęgi tej zmiennej.
+ - zmienna losowa to funkcja prawdopodobieństwa
+ - wartość oczekiwana to prawdopodobieństwo dla x razy wartość x. Dobrym estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia.
+
+
+ ## Próba
+ Próba statystyczna – zbiór obserwacji statystycznych wybranych (zwykle wylosowanych) z populacji.
+
+
+## Estymator nieobciązony
+Estymator jest nieobciążony, jeśli wartość oczekiwana rozkładu estymatora jest równa wartości szacowanego parametru

zajecia4/zadania.R

@@ -0,0 +1,110 @@
+
+# ZAD 1
+
+load(url("http://ls.home.amu.edu.pl/data_sets/czas_oczek_tramwaj.RData"))
+
+# odchylenie standardowe dla próby to musimy dodatkowo pomnozyc przez ten pierwiastek na koncu!!!
+a_est_mm <- mean(czas_oczek_tramwaj) - 
+  sqrt(3) * sd(czas_oczek_tramwaj) * sqrt((length(czas_oczek_tramwaj) - 1) / (length(czas_oczek_tramwaj)))
+b_est_mm<- mean(czas_oczek_tramwaj) + 
+  sqrt(3) * sd(czas_oczek_tramwaj) * sqrt((length(czas_oczek_tramwaj) - 1) / (length(czas_oczek_tramwaj)))
+
+# metona największej warygodności
+a_est <- min(czas_oczek_tramwaj)
+b_est <- max(czas_oczek_tramwaj)
+
+# z biblioteki
+library(EnvStats)
+EnvStats::eunif(czas_oczek_tramwaj, method = "mme")
+
+#histogram
+hist(czas_oczek_tramwaj, 
+     xlab = "Czas oczekiwania na tramwaj", 
+     main = "Rozklad empiryczny czasu oczekiwania na tramwaj",
+     probability = TRUE)
+
+#rzeczywista funkcja gęstości
+lines(density(czas_oczek_tramwaj), col = "red", lwd = 2)
+
+# metoda najwiekszej warygodnosci
+curve(dunif(x, a_est, b_est), 
+      add = TRUE, col = "blue", lwd = 2)
+
+#metoda momentów
+curve(dunif(x, a_est_mm, b_est_mm), 
+      add = TRUE, col = "green", lwd = 2)
+
+legend(x = 5, y = 0.04, legend = c("empiryczny", "teoretyczny ENW", "teoretyczny EMM"), 
+       col = c("red", "blue", "green"), lwd = 2)
+
+
+
+# ZAD2
+
+load(url("http://ls.home.amu.edu.pl/data_sets/Centrala.RData"))
+lambda_est <- mean(Centrala$Liczba)
+
+#porownanie
+probs <- dpois(sort(unique(Centrala$Liczba)), lambda = lambda_est)
+sum(probs)
+counts <- matrix(c(prop.table(table(Centrala$Liczba)), probs), nrow = 2, byrow = TRUE)
+rownames(counts) <- c("empiryczny", "teoretyczny")
+colnames(counts) <- sort(unique(Centrala$Liczba))
+barplot(counts, 
+        xlab = "Liczba zgloszen", ylab = "Prawdopodobienstwo",
+        main = "Rozklady empiryczny i teoretyczny liczby zgloszen",
+        col = c("red", "blue"), legend = rownames(counts), beside = TRUE)
+
+
+#kwanty-kwantyl, linia to moj estymator
+qqplot(rpois(length(Centrala$Liczba), lambda = lambda_est), Centrala$Liczba,
+       xlab = "Kwantyle teoretyczne", ylab = "Kwantyle empiryczne",
+       main = "Wykres kwantyl-kwantyl dla liczby zgloszen")
+qqline(Centrala$Liczba, distribution = function(probs) { qpois(probs, lambda = lambda_est) })
+
+
+mean(Centrala$Liczba < 4)
+ppois(3, lambda = lambda_est)
+
+
+# ZAD3 - jest opis w pdf jak zrobic
+
+# ZAD4
+x <- c(0.9, 6.2, 2.1, 4.1, 7.3, 
+       1.0, 4.6, 6.4, 3.8, 5.0, 
+       2.7, 9.2, 5.9, 7.4, 3.0, 
+       4.9, 8.2, 5.0, 1.2, 10.1,
+       12.2, 2.8, 5.9, 8.2, 0.5)
+lambda_est <- mean(x^2)
+
+#porownanie
+hist(x, 
+     xlab = "Srednia szybkosci wiatru", 
+     main = "Rozklady empiryczny i teoretyczny sredniej szybkosc wiatru",
+     probability = TRUE, 
+     col = "lightgreen")
+
+lines(density(x), col = "red", lwd = 2)
+
+curve(VGAM::drayleigh(x, sqrt(lambda_est / 2)), 
+      add = TRUE, col = "blue", lwd = 2)
+
+legend("topright", legend = c("empiryczny", "teoretyczny"), col = c("red", "blue"), lwd = 2)
+
+
+#kwantyl-kwantyl
+qqplot(VGAM::rrayleigh(length(x), sqrt(lambda_est / 2)), x,
+       xlab = "Kwantyle teoretyczne", ylab = "Kwantyle empiryczne",
+       main = "Wykres kwantyl-kwantyl dla sredniej szybkosci wiatru")
+qqline(x, distribution = function(probs) { VGAM::qrayleigh(probs, sqrt(lambda_est / 2)) })
+
+
+mean((x > 4) & (x < 8))
+VGAM::prayleigh(8, sqrt(lambda_est / 2)) - VGAM::prayleigh(4, sqrt(lambda_est / 2))
+
+
+0.5 * sqrt(pi * lambda_est)
+lambda_est * (4 - pi) / 4 
+
+
+

zajecia4/zajecia4.Rproj

@@ -0,0 +1,13 @@
+Version: 1.0
+
+RestoreWorkspace: Default
+SaveWorkspace: Default
+AlwaysSaveHistory: Default
+
+EnableCodeIndexing: Yes
+UseSpacesForTab: Yes
+NumSpacesForTab: 2
+Encoding: UTF-8
+
+RnwWeave: Sweave
+LaTeX: pdfLaTeX