Merge branch 'master' of https://git.wmi.amu.edu.pl/s444452/mpsic_project_2_random_walks

matma2.ipynb

@@ -0,0 +1,82 @@
+{
+ "cells": [
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "<b>Spacery losowe po grafach: algorytm wyszukiwania klastrów</b>\n",
+    "<br><br><br>\n",
+    "<b>Spacery losowe</b>\n",
+    "\n",
+    "Graf G = (V, E) składa się ze\n",
+    "zbioru wierzchołków V oraz zbioru krawędzi E, gdzie E zbiorem nieuporządkowanych par\n",
+    "wierzchołków:\n",
+    "\n",
+    "$E ⊂\\{(x, y) : x, y ∈ V, x ≠ y\\} $\n",
+    "\n",
+    "Je»eli (x, y) ∈ E, to wierzchołki x, y nazywamy sąsiadami i oznaczamy x ∼ y. Stopniem\n",
+    "wierzchołka x ∈ V nazywamy liczbę jego sąsiadów i oznaczamy deg(x).\n",
+    "Na danym grafie G = (V, E) definiujemy prosty spacer losowy. Jest to łańcuch Markowa\n",
+    "na przestrzeni stanów V z macierzą przejścia\n",
+    "\n",
+    "$P(x, y) = \\frac{1}{deg(x)}$ jeżeli y ∼ x\n",
+    "\n",
+    "$P(x, y) = 0$ w przeciwnym razie\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "Gdy łańcuch znajduje się w wierzchołku x, to wybiera losowo (jednostajnie) jednego z jego\n",
+    "sąsiadów i przechodzi do niego.\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "<b>Łancuch markova</b>\n",
+    "<br><br><br>\n",
+    "Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego. W ujęciu matematycznym, procesy Markowa to takie procesy stochastyczne, które spełniają własność Markowa.\n",
+    "\n",
+    "$P(X_{n+1} = x|X_{n}=x_n,\\ldots X_{1}=x_{1}) = P(X_{n+1}=x | X_{n}=x_n)$\n",
+    "\n",
+    "Oznacza to, że zmienna w ciągu \n",
+    "X\n",
+    "n\n",
+    " ''pamięta'' tylko swój stan z poprzedniego kroku i wyłącznie od niego zależy."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "<b>Podgrafy silnie ze sobą powiązane</b>\n",
+    "\n",
+    "Najprościej będzie to zaobserować na przykładzie:\n",
+    "\n",
+    "![](https://i.imgur.com/QrHGsgF.png)\n",
+    "\n",
+    "![](https://i.imgur.com/vqnrftV.png)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "<b>Wierzchołki krytyczne rozspójniające graf</b>\n",
+    "\n",
+    "Graf spójny - graf w który dowolne dwa wierzchołki łączy pewna ścieżka\n",
+    "\n",
+    "![](https://i.imgur.com/pCLbkwz.png)\n",
+    "\n",
+    "Wierzchołkiem krytycznym powyższego grafu jest wierzchołek numer 4, usunięcie go spowoduje odłączenie wierzchołka numer 6 od reszty grafu"
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "language_info": {
+   "name": "python"
+  },
+  "orig_nbformat": 4
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 2
+}