diff --git a/Pytania.md b/Pytania.md index 20325d4..8ac4bf4 100644 --- a/Pytania.md +++ b/Pytania.md @@ -2,51 +2,108 @@ ## Zagadnienia matematyczne: -### 1.Podstawowe pojęcia matematyczne: definicja, twierdzenie, warunek konieczny i dostateczny, funkcje (definicje, przykłady, podstawowe własności). -definicja - -twierdzenie - -warunek konieczny - -warunek dostateczny - -funkcje - +### 1. Podstawowe pojęcia matematyczne: definicja, twierdzenie, warunek konieczny i dostateczny, funkcje (definicje, przykłady, podstawowe własności). +**definicja** - \ +**twierdzenie* - \ +**warunek konieczny** - \ +**warunek dostateczny** - \ +**funkcje** - \ -### 2.Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność, szereg potęgowy i jego suma. +### 2. Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność, szereg potęgowy i jego suma. Szereg liczbowy - -### 3.Funkcje elementarne (funkcja trygonometryczna, wielomian, funkcja wymierna, funkcje wykładnicza, funkcje potęgowa, funkcja logarytmiczna) -Funkcja trygonometryczna - funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych -Funkcja wilomianowa - funkcja, której wzorem jest wielomian, W zasadzie analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcję jednej zmiennej możemy nazywać funkcją wielomianową, jeżeli: f(x)=anx^n+an−1x^n−1+...+a1x+a0 -Funkcja wymierna - to taka funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów 2x-3/3x+1 -Funkcja wykładnicza - -Funkcja potęgowa - -Funkcja logarytmiczna - +### 3. Funkcje elementarne (funkcja trygonometryczna, wielomian, funkcja wymierna, funkcje wykładnicza, funkcje potęgowa, funkcja logarytmiczna) +**Funkcja trygonometryczna** - funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych +**Funkcja wilomianowa** - funkcja, której wzorem jest wielomian, W zasadzie analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcję jednej zmiennej możemy nazywać funkcją wielomianową, jeżeli: f(x)=anx^n+an−1x^n−1+...+a1x+a0\ +**Funkcja wymierna** - to taka funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów 2x-3/3x+1\ +**Funkcja wykładnicza** - \ +**Funkcja potęgowa** - \ +**Funkcja logarytmiczna** - \ -### 4.Liczby zespolone. -Liczby zespolone - liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ℝ. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych. Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy tak: -**i^2=−1** +### 4. Liczby zespolone. +**Liczby zespolone** - liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ℝ. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych. Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy tak: **i^2=−1** -### 5.Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: równania prostej, okręgu, odległość punktu od prostej. -prosta - nieskończony zbrió punktów...? -okrąg - nieskończony zbriór punktów równo oddalonych od jednego zwanym środkiem -odleglość punktu od prostej - +### 5. Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: równania prostej, okręgu, odległość punktu od prostej. +**prosta** - nieskończony zbrió punktów...? \ +**okrąg** - nieskończony zbriór punktów równo oddalonych od jednego zwanym środkiem \ +**odleglość punktu od prostej** - \ -### 6.Algorytm eliminacji Gaussa. -Algorytm eliminacji Gaussa - metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy +### 6. Algorytm eliminacji Gaussa. +**Algorytm eliminacji Gaussa** - metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy -### 7.Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, macierze, wyznacznik i wektory własne macierzy. -### 8.Tautologie rachunku zdań, kwantyfikatory, prawa dla kwantyfikatorów; definicje i przykłady. -### 9.Podstawowe pojęcia teorii mnogości: pojęcie zbioru, aksjomat ekstensjonalności, aksjomaty istnienia zbiorów, stosunek należenia elementu do zbioru. -### 10.Relacja równoważności, klasy abstrakcji. -### 11.Relacje porządkujące i liniowo porządkujące, zbiory dobrze uporządkowane. -### 12.Funkcje, funkcje różnowartościowe, funkcja ze zbioru X na zbiór Y, iniekcja, suriekcja, bijekcja. -### 13.Granica funkcji; ciągłość funkcji; własności funkcji ciągłej. -### 14.Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, jej własności oraz podstawowe zastosowania. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji (wyznaczenie ekstremów lokalnych, badania przedziałów monotoniczności, badanie wypukłości/wklęsłości funkcji) -### 15.Całka Riemanna i jej własności. Zastosowanie całek Riemanna w geometrii np. do wyznaczania pól powierzchni. -### 16.Podstawowe pojęcia kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje. Prawa i metody przeliczania. Schematy wyboru. -### 17.Metody dowodzenia twierdzeń (dowód wprost, dowód nie wprost, dowód przez zaprzeczenie), zasada szufladkowa, zasada indukcji matematycznej. -### 18.Podstawowe pojęcia teorii grafów: grafy skierowane i nieskierowane, grafy proste; grafy ważone; reprezentacje komputerowe grafów; izomorfizm grafów; podgrafy; przeliczanie grafów prostych. -### 19.Eksperyment losowy, przestrzeń probabilistyczna, zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo klasyczne. -### 20.Zmienna losowa -definicja, rozkład prawdopodobieństwa, przykłady. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja. Niezależność zmiennych losowych. -### 21.Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń. Wzór łańcuchowy. Wzór Bayesa. -### 22.Elementy teorii grup, pierścieni. Ciała skończone. +### 7. Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, macierze, wyznacznik i wektory własne macierzy. + +### 8. Tautologie rachunku zdań, kwantyfikatory, prawa dla kwantyfikatorów; definicje i przykłady. +**Tautologie rachunku zdań** - wyrazenie zbudowane ze zdan prostych i spójników, które jest zawsze prawdziwe \ +**kwantyfikatory** - dla kazdego (A bez poprzecznej kreski), istaniej takie (V) \ +**prawa dla kwantyfikatorów** - prawo de Morgana ~Vx p(x) <-> Ax ~p(x); ~Ax p(x) <-> Vx ~p(x) +### 9. Podstawowe pojęcia teorii mnogości: pojęcie zbioru, aksjomat ekstensjonalności, aksjomaty istnienia zbiorów, stosunek należenia elementu do zbioru. +**zbiór** - należy do pojęć pierwotnych aksjomatycznej teorii mnogości i nie podaje się jego definicji\ +**aksjomat ekstensjonalności** - dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak: +*dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy* \ +**aksjomaty istnienia zbiorów** - \ +**stosunek należenia elementu do zbioru** - +### 10. Relacja równoważności, klasy abstrakcji. +Relacja równowazności - Relację ~ na zbiorze A będziemy nazywać relację równoważności, jeśli ma następujące 3 właściwości: +- zwrotna, czyli dla każdego a\in A, a~ a, +- symetryczna, czyli dla każdych a,b nalezy do A, jeśli a~ b, to b~ a, +- przechodnia, czyli dla każdych a,b,c nalezy do A, jeśli a~ b oraz b~ c, to a~ c. +Klasa abstrakcji - zbiór wszystkich elementów, które są w relacji z danym elementem a nalezy do A, nazywamy klasą abstrakcji a i oznaczamy [a]~.\ +Czyli [a]~={b nalezy do A: a~ b}. Rodzinę wszystkich klas abstrakcji, oznaczamy A/~ i nazywamy zbiorem ilorazowym. +### 11. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące, zbiory dobrze uporządkowane. +**relacja porzadkująca** - Relację binarną ρ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po- rządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządko- wanym. \ +**relacja liniwo porządkująca** - \ +**zbiór dobrze uporządkowany** - zbiór skończony $X$ jest w uporządkowany, gdy jego elementy możemy ułożyć w szereg od 'najmniejszego' do 'największego' +Przykładem relacji liniowego porządku jest relacja „mniejszy lub równy” (≤) określona na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych. +### 12. Funkcje, funkcje różnowartościowe, funkcja ze zbioru X na zbiór Y, iniekcja, suriekcja, bijekcja. +**funkcja róznowartościowa** - Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w zbiorze A, będącym podzbiorem dziedziny funkcji f(x), jeżeli dla każdych x1,x2 nalezy do A prawdziwa jest implikacja: (x1 nie rowne x2) => f(x1) nie równe f(x2). \ +**iniekcja** - funkcja jest injekcją, jeśli różnym elementom dziedziny funkcja przyporządkowuje różne elementy przeciwdziedziny \ +**suriekcja** - f:X→Y jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu \ +### 13. Granica funkcji; ciągłość funkcji; własności funkcji ciągłej. +**granica funkcji** - wartości do jakiej dąży funkcja f(x), wraz z tym jak x dąży do liczby x0. +Szukana wartość jest granicą funkcji f(x) w punkcie x0 \ +**ciągłość funkcji** - Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli: \ +lim{x dązy do x0} f(x)=f(x0) \ +Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli: +1) ma w punkcie x0 granicę równą g, +2) posiada w punkcie x0 wartość f(x0), +3) granica g równa jest wartości funkcji f(x0). +### 14. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, jej własności oraz podstawowe zastosowania. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji (wyznaczenie ekstremów lokalnych, badania przedziałów monotoniczności, badanie wypukłości/wklęsłości funkcji) + + + +### 15. Całka Riemanna i jej własności. Zastosowanie całek Riemanna w geometrii np. do wyznaczania pól powierzchni. +### 16. Podstawowe pojęcia kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje. Prawa i metody przeliczania. Schematy wyboru. +**permutacje** - to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbior \ +Pn = n! +Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce? +Pierwszą osobę mozna ustawić w 5 miejscach, drugą w 4 miejscach , trzecią w 3 miejscach ...\ +Rozwiązanie:\ +Obliczmy liczbę permutacji zbioru 5-elementowego:\ +P5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\ +Czyli pięć osób można ustawić w kolejce na 120 sposobów. +**wariacja z powtórzeniami** - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że dopuszcza powtarzanie elementów\ +Wzór: Wnk = n^k \ +Ile słów pięcioliterowych (nawet tych bezsensownych) można utworzyć z liter {A,B,C}?\ +Rozwiązanie:\ +Przykładami taki słów są: AAAAA, AABCA, CBCBB. Na każde z 5 miejsc możemy wybrać jedną z 3 liter, zatem wszystkich możliwości mamy: 3^5=243 \ +**wariancja bez powtórzeń** - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że nie dopuszcza powtarzania elementów. \ +Wzór: Vnk = n!/(n-k)! \ +Ile istnieje czterocyfrowych PIN-kodów składających się z różnych cyfr? +Rozwiązanie:\ +Mamy do dyspozycji 10 cyfr: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.\ +Przykładowymi kodami o różnych cyfrach są: 1234, 0189, 9734. Wszystkich takich wariacji bez powtórzeń jest: 10!/6! = 7⋅8⋅9⋅10 = 5040\ +**kombinacje** - pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru \ +Wzór: Cnk = n!/k!(n-k)! \ +Na ile sposobów można wybrać 2 osoby w klasie 30 osobowej? (30 po 2) + +### 17. Metody dowodzenia twierdzeń (dowód wprost, dowód nie wprost, dowód przez zaprzeczenie), zasada szufladkowa, zasada indukcji matematycznej. +### 18. Podstawowe pojęcia teorii grafów: grafy skierowane i nieskierowane, grafy proste; grafy ważone; reprezentacje komputerowe grafów; izomorfizm grafów; podgrafy; przeliczanie grafów prostych. +### 19. Eksperyment losowy, przestrzeń probabilistyczna, zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo klasyczne. +### 20. Zmienna losowa -definicja, rozkład prawdopodobieństwa, przykłady. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja. Niezależność zmiennych losowych. +### 21. Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń. Wzór łańcuchowy. Wzór Bayesa. +### 22. Elementy teorii grup, pierścieni. Ciała skończone. + +## Zagadnienia informatyczne: \ No newline at end of file