\item$ A \otimes(B + C)= A \otimes B + A \otimes C $
\item$(B+C)\otimes A = B \otimes A + C \otimes A $
\item$A \otimes(B \otimes C)=(A \otimes B)\otimes C $
\item$(\alpha A)\otimes B = A \otimes(\alpha B)=\alpha(A \otimes B)$
\item$(A \otimes B)(C \otimes D)= AC \otimes BD $
\end{description}
\section{Postulaty mechaniki kwantowej}
\subsection{Postulat 1, postulat układu}
Każdemu układowi kwantowemu można przypisać skończenie wymiarową $\CC^n$ przestrzeń Hilberta, w której określa się kwantowo-mechaniczną teorię tego układu. Układ ten jest opisywany przez unormowany wektor stanu. (Jeden stan wyrażony jest przez jeden konkretny wektor).
$$ |Y\rangle=\alpha |0\rangle+\beta| 1\rangle\in\CC^2$$ dla $ |\alpha|^2+ |\beta|^2=1$
Ewolucja układu kwantowego $|\psi\rangle$ jest opisywana przez przekształcenia unitarne przestrzenii $\CC^2$. To znaczy, że wektor $|\psi\rangle$ w czasie $t_1$ jest związany z wektorem |Y'> w czasie $t_2$ operatorem unitarnym $U$.
$$ |\psi'\rangle= U|\psi\rangle$$
Algorytm kwantowy to sekwencja przekształceń unitarnych.
\subsection{Postulat 3, postulat iloczynu tensorowego} Jeżeli $\CC^n$ i $\CC^m$ są przestrzeniami stanów dwóch niezależnych i nierozróżnialnych układów kwantowych, to przestrzeń stanów obu tych układów branych jako całość jest iloczynem tensorowym tych przestrzeni.
$$ |\psi\rangle=\alpha_1|00\rangle+\alpha_2|01\rangle+\alpha_3|10\rangle+\alpha_4|11\rangle$$ gdzie $\sum_\alpha |\alpha|^2=1$
Nie każdy stan można przedstawić jako iloczyn tensorowy np. $\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} |11\rangle\in\CC^4$. (jest to układ nierozkładalny, splątanie kwantowe)
\subsection{Postulat 4, postulat pomiaru} Pomiar kwantowy w bazie obliczeniowej jest opisywanyprzez zbiór $\{ M_m \}$ (macierzy) (hermitowskie operatory projekcji). Operatory te działają w przypisanej przestrzenii stanów mierzonego układu. Indeks $m$ jest wynikiem pomiaru.
Jeśli $|\psi\rangle$ jest mierzonym stanem, to $p(m)$ - prawdopodobieństwo, że wynikiem pomiaru będzie $m$ wynosi $p(m)=\langle\psi M_m |\psi\rangle$, a stan $|\psi\rangle$ po pomiarze znajdzie się w stanie $$ |\psi'\rangle=\frac{M_m|\psi\rangle}{\sqrt{p(m)}}$$.
Przykład: Dla $|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ mamy