diff --git a/wykład-2022-03-10.tex b/wykład-2022-03-10.tex
index 2cb98c6..f194f4d 100644
--- a/wykład-2022-03-10.tex
+++ b/wykład-2022-03-10.tex
@@ -6,6 +6,7 @@
 \usepackage{polski}
 
 \newcommand\CC{\mathbb{C}}
+\newcommand\NN{\mathbb{N}}
 
 \begin{document}
 
@@ -23,10 +24,10 @@ iloczynem tensorowym macierzy $A$ i $B$ nazywamy macierz $ A \otimes B = M_{rt \
 
 $$
 A \otimes B = \begin{bmatrix}
-	a_{11} & B a_{12} & a_{13} B & \dots & a_{1s} B \\
-	a_{21} & B a_{22} & a_{23} B & \dots & a_{2s} B \\
-	\vdots                                          \\
-	a_{r1} & B a_{r2} & a_{r3} B & \dots & a_{rs} B \\
+	a_{11} B & a_{12} B & a_{13} B & \dots & a_{1s} B \\
+	a_{21} B & a_{22} B & a_{23} B & \dots & a_{2s} B \\
+	\vdots   &                                      \\
+	a_{r1} B & a_{r2} B & a_{r3} B & \dots & a_{rs} B \\
 \end{bmatrix}
 $$
 
@@ -80,12 +81,14 @@ Iloczyn tensorowy tworzy półgrupę.
 		(\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \alpha_2|0\rangle + (\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \beta_2|1\rangle = \alpha_1\alpha_2|00\rangle + \beta_1\alpha_2|10\rangle + \alpha_1\beta_2|01\rangle + \beta_1\beta_2|11\rangle
 		$$ wynika z tego układ równań (sprzeczny).
 		$$
+		\left\{
 		\begin{aligned}
 			\alpha_1\alpha_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
 			\beta_1\beta_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
 			\beta_1\alpha_2 & = 0 \\
 			\alpha_2\beta_2 & = 0
 		\end{aligned}
+		\right.
 		$$
 
 	\subsection{Postulat 4, postulat pomiaru} Pomiar kwantowy w bazie obliczeniowej jest opisywany przez zbiór $\{ M_m \}$ (macierzy) (hermitowskie operatory projekcji). Operatory te działają w przypisanej przestrzenii stanów mierzonego układu. Indeks $m$ jest wynikiem pomiaru.
@@ -113,12 +116,12 @@ Iloczyn tensorowy tworzy półgrupę.
 
 Przekształcenia unitarne z \ref{postulat2} to bramki algorytmów kwantowych.
 
-\subsection{Bramka hadamarda}
+\subsection{Bramka Hadamarda}
 
-Rysunek
+Dla $ n \in \NN $:
 
-\subsection{Bramka kontrolowanej negacji}
-
-Rysunek
+$$
+	H^{\otimes n} = \underbrace{\left( H \otimes \cdots \otimes H \right)}_{\text{n razy}} = 2^{-n} \sum_{i=0}^{n} |\text{bin}_n(i)\rangle
+$$ gdzie $\text{bin}_n(i)$ to $n$ bitowa reprezentacja dwójkowa liczby $i$
 
 \end{document}