diff --git a/Makefile b/Makefile index 97d925c..453be89 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -1,9 +1,10 @@ -PDFs=trygonometria-liczby-zespolone.pdf +PDFs=trygonometria-liczby-zespolone.pdf wykład-2022-03-10.pdf all: $(PDFs) %.pdf: %.tex pdflatex $< + pdflatex $< clean: rm -f *.log *.aux $(PDFs) diff --git a/wykład-2022-03-10.tex b/wykład-2022-03-10.tex new file mode 100644 index 0000000..2cb98c6 --- /dev/null +++ b/wykład-2022-03-10.tex @@ -0,0 +1,124 @@ +\documentclass{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{polski} + +\newcommand\CC{\mathbb{C}} + +\begin{document} + +\section{Iloczyn tensorowy macierzy} + +$$ +\begin{aligned} +A = [ a_{i,j} ] \in M_{r x s}(\CC) \\ +B = [ b_{i,j} ] \in M_{t x u}(\CC) +\end{aligned} +$$ + +iloczynem tensorowym macierzy $A$ i $B$ nazywamy macierz $ A \otimes B = M_{rt \times su}(\CC) $ + + +$$ +A \otimes B = \begin{bmatrix} + a_{11} & B a_{12} & a_{13} B & \dots & a_{1s} B \\ + a_{21} & B a_{22} & a_{23} B & \dots & a_{2s} B \\ + \vdots \\ + a_{r1} & B a_{r2} & a_{r3} B & \dots & a_{rs} B \\ +\end{bmatrix} +$$ + +Przykład: + +$$ +\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} = + \begin{bmatrix}1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +$$ + +\subsection{Własności iloczynu tensorowego} + +Iloczyn tensorowy tworzy półgrupę. + +\begin{description} + \item $ A \otimes (B + C) = A \otimes B + A \otimes C $ + \item $ (B+C) \otimes A = B \otimes A + C \otimes A $ + \item $ A \otimes (B \otimes C) = (A \otimes B) \otimes C $ + \item $ (\alpha A) \otimes B = A \otimes (\alpha B) = \alpha (A \otimes B) $ + \item $ (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD $ +\end{description} + +\section{Postulaty mechaniki kwantowej} + + + \subsection{Postulat 1, postulat układu} + Każdemu układowi kwantowemu można przypisać skończenie wymiarową $\CC^n$ przestrzeń Hilberta, w której określa się kwantowo-mechaniczną teorię tego układu. Układ ten jest opisywany przez unormowany wektor stanu. (Jeden stan wyrażony jest przez jeden konkretny wektor). + + $$ |Y\rangle = \alpha |0\rangle + \beta| 1\rangle \in \CC^2 $$ dla $ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $ + + \subsection{Postulat 2, postulat ewolucji układu} \label{postulat2} + Ewolucja układu kwantowego $|\psi\rangle$ jest opisywana przez przekształcenia unitarne przestrzenii $\CC^2$. To znaczy, że wektor $|\psi\rangle$ w czasie $t_1$ jest związany z wektorem |Y'> w czasie $t_2$ operatorem unitarnym $U$. + + $$ |\psi'\rangle = U|\psi\rangle $$ + + Algorytm kwantowy to sekwencja przekształceń unitarnych. + + \subsection{Postulat 3, postulat iloczynu tensorowego} Jeżeli $\CC^n$ i $\CC^m$ są przestrzeniami stanów dwóch niezależnych i nierozróżnialnych układów kwantowych, to przestrzeń stanów obu tych układów branych jako całość jest iloczynem tensorowym tych przestrzeni. + + $$ + |00\rangle = |0\rangle|0\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + $$ + + Dla kubitu $ |\psi\rangle \in \CC^4 $ mamy: + $$ |\psi\rangle = \alpha_1|00\rangle + \alpha_2|01\rangle + \alpha_3|10\rangle + \alpha_4|11\rangle $$ gdzie $ \sum_\alpha |\alpha|^2 = 1 $ + + Nie każdy stan można przedstawić jako iloczyn tensorowy np. $ \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |11\rangle \in \CC^4 $. (jest to układ nierozkładalny, splątanie kwantowe) + + $$ + (\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes (\alpha_2|0\rangle + \beta_2|1\rangle) = + (\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \alpha_2|0\rangle + (\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \beta_2|1\rangle = \alpha_1\alpha_2|00\rangle + \beta_1\alpha_2|10\rangle + \alpha_1\beta_2|01\rangle + \beta_1\beta_2|11\rangle + $$ wynika z tego układ równań (sprzeczny). + $$ + \begin{aligned} + \alpha_1\alpha_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ + \beta_1\beta_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ + \beta_1\alpha_2 & = 0 \\ + \alpha_2\beta_2 & = 0 + \end{aligned} + $$ + + \subsection{Postulat 4, postulat pomiaru} Pomiar kwantowy w bazie obliczeniowej jest opisywany przez zbiór $\{ M_m \}$ (macierzy) (hermitowskie operatory projekcji). Operatory te działają w przypisanej przestrzenii stanów mierzonego układu. Indeks $m$ jest wynikiem pomiaru. + + Jeśli $|\psi\rangle$ jest mierzonym stanem, to $p(m)$ - prawdopodobieństwo, że wynikiem pomiaru będzie $m$ wynosi $p(m) = \langle\psi M_m |\psi\rangle $, a stan $|\psi\rangle$ po pomiarze znajdzie się w stanie $$ |\psi'\rangle = \frac{M_m|\psi\rangle}{\sqrt{p(m)}} $$. + + Przykład: Dla $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ mamy + $$ M_0 = |0\rangle \langle0| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ + $$ M_1 = |1\rangle \langle1| = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ + + Pomiar to $ \{ M_0, M_1 \} $ + + $$ p(0) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}$$ + + $$ p(1) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} $$ + + $$ |\psi'\rangle = \frac{M_0|\psi\rangle}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = 1|0\rangle $$ + + Dla kubitu: \begin{description} + \item[Pomiar $ p(0) = |\alpha|^2 $] tworzy $ |\psi'\rangle = \frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle $ + \item[Pomiar $ p(1) = |\beta|^2 $] tworzy $ |\psi'\rangle = \frac{\beta}{|\beta|}|1\rangle $ + \end{description} + +\section{Bramki kwantowe} + +Przekształcenia unitarne z \ref{postulat2} to bramki algorytmów kwantowych. + +\subsection{Bramka hadamarda} + +Rysunek + +\subsection{Bramka kontrolowanej negacji} + +Rysunek + +\end{document}