128 lines
5.6 KiB
TeX
128 lines
5.6 KiB
TeX
\documentclass{article}
|
||
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage{amsfonts}
|
||
\usepackage{mathtools}
|
||
\usepackage{polski}
|
||
|
||
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
|
||
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\section{Iloczyn tensorowy macierzy}
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
A = [ a_{i,j} ] \in M_{r x s}(\CC) \\
|
||
B = [ b_{i,j} ] \in M_{t x u}(\CC)
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
|
||
iloczynem tensorowym macierzy $A$ i $B$ nazywamy macierz $ A \otimes B = M_{rt \times su}(\CC) $
|
||
|
||
|
||
$$
|
||
A \otimes B = \begin{bmatrix}
|
||
a_{11} B & a_{12} B & a_{13} B & \dots & a_{1s} B \\
|
||
a_{21} B & a_{22} B & a_{23} B & \dots & a_{2s} B \\
|
||
\vdots & \\
|
||
a_{r1} B & a_{r2} B & a_{r3} B & \dots & a_{rs} B \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Przykład:
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
\subsection{Własności iloczynu tensorowego}
|
||
|
||
Iloczyn tensorowy tworzy półgrupę.
|
||
|
||
\begin{description}
|
||
\item $ A \otimes (B + C) = A \otimes B + A \otimes C $
|
||
\item $ (B+C) \otimes A = B \otimes A + C \otimes A $
|
||
\item $ A \otimes (B \otimes C) = (A \otimes B) \otimes C $
|
||
\item $ (\alpha A) \otimes B = A \otimes (\alpha B) = \alpha (A \otimes B) $
|
||
\item $ (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD $
|
||
\end{description}
|
||
|
||
\section{Postulaty mechaniki kwantowej}
|
||
|
||
|
||
\subsection{Postulat 1, postulat układu}
|
||
Każdemu układowi kwantowemu można przypisać skończenie wymiarową $\CC^n$ przestrzeń Hilberta, w której określa się kwantowo-mechaniczną teorię tego układu. Układ ten jest opisywany przez unormowany wektor stanu. (Jeden stan wyrażony jest przez jeden konkretny wektor).
|
||
|
||
$$ |Y\rangle = \alpha |0\rangle + \beta| 1\rangle \in \CC^2 $$ dla $ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $
|
||
|
||
\subsection{Postulat 2, postulat ewolucji układu} \label{postulat2}
|
||
Ewolucja układu kwantowego $|\psi\rangle$ jest opisywana przez przekształcenia unitarne przestrzenii $\CC^2$. To znaczy, że wektor $|\psi\rangle$ w czasie $t_1$ jest związany z wektorem |Y'> w czasie $t_2$ operatorem unitarnym $U$.
|
||
|
||
$$ |\psi'\rangle = U|\psi\rangle $$
|
||
|
||
Algorytm kwantowy to sekwencja przekształceń unitarnych.
|
||
|
||
\subsection{Postulat 3, postulat iloczynu tensorowego} Jeżeli $\CC^n$ i $\CC^m$ są przestrzeniami stanów dwóch niezależnych i nierozróżnialnych układów kwantowych, to przestrzeń stanów obu tych układów branych jako całość jest iloczynem tensorowym tych przestrzeni.
|
||
|
||
$$
|
||
|00\rangle = |0\rangle|0\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Dla kubitu $ |\psi\rangle \in \CC^4 $ mamy:
|
||
$$ |\psi\rangle = \alpha_1|00\rangle + \alpha_2|01\rangle + \alpha_3|10\rangle + \alpha_4|11\rangle $$ gdzie $ \sum_\alpha |\alpha|^2 = 1 $
|
||
|
||
Nie każdy stan można przedstawić jako iloczyn tensorowy np. $ \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |11\rangle \in \CC^4 $. (jest to układ nierozkładalny, splątanie kwantowe)
|
||
|
||
$$
|
||
(\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes (\alpha_2|0\rangle + \beta_2|1\rangle) =
|
||
(\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \alpha_2|0\rangle + (\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \beta_2|1\rangle = \alpha_1\alpha_2|00\rangle + \beta_1\alpha_2|10\rangle + \alpha_1\beta_2|01\rangle + \beta_1\beta_2|11\rangle
|
||
$$ wynika z tego układ równań (sprzeczny).
|
||
$$
|
||
\left\{
|
||
\begin{aligned}
|
||
\alpha_1\alpha_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
\beta_1\beta_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
\beta_1\alpha_2 & = 0 \\
|
||
\alpha_2\beta_2 & = 0
|
||
\end{aligned}
|
||
\right.
|
||
$$
|
||
|
||
\subsection{Postulat 4, postulat pomiaru} Pomiar kwantowy w bazie obliczeniowej jest opisywany przez zbiór $\{ M_m \}$ (macierzy) (hermitowskie operatory projekcji). Operatory te działają w przypisanej przestrzenii stanów mierzonego układu. Indeks $m$ jest wynikiem pomiaru.
|
||
|
||
Jeśli $|\psi\rangle$ jest mierzonym stanem, to $p(m)$ - prawdopodobieństwo, że wynikiem pomiaru będzie $m$ wynosi $p(m) = \langle\psi M_m |\psi\rangle $, a stan $|\psi\rangle$ po pomiarze znajdzie się w stanie $$ |\psi'\rangle = \frac{M_m|\psi\rangle}{\sqrt{p(m)}} $$.
|
||
|
||
Przykład: Dla $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ mamy
|
||
$$ M_0 = |0\rangle \langle0| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$
|
||
$$ M_1 = |1\rangle \langle1| = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
|
||
|
||
Pomiar to $ \{ M_0, M_1 \} $
|
||
|
||
$$ p(0) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}$$
|
||
|
||
$$ p(1) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} $$
|
||
|
||
$$ |\psi'\rangle = \frac{M_0|\psi\rangle}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = 1|0\rangle $$
|
||
|
||
Dla kubitu: \begin{description}
|
||
\item[Pomiar $ p(0) = |\alpha|^2 $] tworzy $ |\psi'\rangle = \frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle $
|
||
\item[Pomiar $ p(1) = |\beta|^2 $] tworzy $ |\psi'\rangle = \frac{\beta}{|\beta|}|1\rangle $
|
||
\end{description}
|
||
|
||
\section{Bramki kwantowe}
|
||
|
||
Przekształcenia unitarne z \ref{postulat2} to bramki algorytmów kwantowych.
|
||
|
||
\subsection{Bramka Hadamarda}
|
||
|
||
Dla $ n \in \NN $:
|
||
|
||
$$
|
||
H^{\otimes n} = \underbrace{\left( H \otimes \cdots \otimes H \right)}_{\text{n razy}} = 2^{-n} \sum_{i=0}^{n} |\text{bin}_n(i)\rangle
|
||
$$ gdzie $\text{bin}_n(i)$ to $n$ bitowa reprezentacja dwójkowa liczby $i$
|
||
|
||
\end{document}
|