{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "4cc6c96f", "metadata": {}, "source": [ "# Ćwiczenia 7" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1276423e", "metadata": {}, "source": [ "***TEMAT:*** funkcje wielu zmiennych - gradient, płaszczyzna styczna, reguła łańcucha, pochodne cząstkowe wyższych rzędów" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "adcbd788", "metadata": {}, "source": [ "## Gradient, płaszczyzna styczna i reguła łańcucha" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "da9cb4e5-acae-4d5b-85a9-f86d1ec751f8", "metadata": {}, "source": [ "### Gradient" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "516f7bfe-4937-4093-9d5a-69b53ba527df", "metadata": {}, "source": [ "Gradientem funkcji $f$ w punkcie $(x_1,x_2,...,x_n)$, w którym istnieją wszystkie pochodne cząstkowe funkcji $f$, nazywamy wektor\n", "\n", "$$\n", "\\nabla f(x_1,x_2,...,x_n) = \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_1}(x_1,x_2,...,x_n), ..., \\frac{\\partial f}{\\partial x_n}(x_1,x_2,...,x_n)\\right).\n", "$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "aefc1880-8ee7-4884-a7d9-833f27ad016b", "metadata": {}, "source": [ "#### Zadanie 1\n", "\n", "Wyznacz gradient następujących funkcji:\n", "1. $f(x,y)=x^2+3xy$\n", "2. $g(x,y,z)=ze^{xy}$\n", "\n", "Jaka jest interpretacja tego wektora?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d24ad98e-0737-437f-9e08-8e2a5e8a1d26", "metadata": {}, "source": [ "##### Rozwiązanie:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "62192ddd-704b-4754-8f86-3c3ffda39ad0", "metadata": {}, "source": [ "Mamy\n", "$$\n", "\\nabla f(x,y)=\\left(2x+3y,3x\\right)\n", "$$\n", "oraz\n", "$$\n", "\\nabla g(x,y,z)=\\left(yze^{xy},xze^{xy},e^{xy}\\right).\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "33d09d4f-c4af-40e3-bcbb-4f916dd5f611", "metadata": {}, "source": [ "___Interpretacja geometryczna gradientu___\n", "\n", ">1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje __kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.__\n", ">\n", ">2. Gradient funkcji w punkcie jest __prostopadły do poziomicy funkcji__ przechodzącej przez ten punkt." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "98578fbf-a1df-4d3b-b8d8-dc4d0009c722", "metadata": {}, "source": [ "### Płaszczyzna styczna do powierzchni" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "dd8b2261-a2a4-4394-bdaf-e07257516e62", "metadata": {}, "source": [ "Jeśli funkcja $f(x,y)$ posiada w punkcie $(x_0,y_0)$ pochodne cząstkowe, to płaszczyznę zadaną równaniem\n", "$$ \n", "\\frac{\\partial f}{\\partial x} (x_0, y_0)(x-x_0) + \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0)-(z-z_0)= 0 .\n", "$$\n", "nazywamy płaszczyzną styczną do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_0, y_0,f(x_0, y_0))$.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "06be3815-19e7-442e-b873-c0b190ebb60e", "metadata": {}, "source": [ "#### Zadanie 2\n", "\n", "Napisz wzór płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $f(x,y)=x^2+y^2$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "537b3a74-e291-4e66-97be-323f7ff344b2", "metadata": {}, "source": [ "##### Rozwiązanie:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f58c17e2-0d2b-4c07-9fa8-5165000dd0ed", "metadata": {}, "source": [ "Płaszczyzna styczna do wykresu naszej funkcji w punkcie $(x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)$ ma równanie\n", "$$\n", "2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)-(z-x_0^2-y_0^2)=0\n", "$$\n", "Dla $(x_0,y_0)=(0,0)$ daje to równanie\n", "$$\n", "z=0\n", "$$\n", "a dla $(x_0,y_0)=(1,1)$ daje to równanie\n", "$$\n", "2x+2y-z-2=0.\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "id": "a9133cb6-005c-4701-a26a-b9d6bf47c0ca", "metadata": { "scrolled": true }, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "\n", " \n", " " ], "text/plain": [ "" ] }, "execution_count": 1, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "import IPython.display as display\n", "from IPython.display import IFrame\n", "IFrame('https://www.geogebra.org/calculator/ahx8sscp', width=800, height=600, style=\"border: 1px solid black\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "cc16702b-af19-47cf-bda1-57473eb84a1e", "metadata": {}, "source": [ "### Reguła łańcucha " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e2eb1c13-3ce9-46e3-9cb7-21cf7d74c8d2", "metadata": {}, "source": [ "Niech $f,g,h\\colon \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$ będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:\n", "\n", "1. $g,h$ mają w punkcie $(x_0,y_0)$ pochodne cząstkowe, oraz\n", "\n", "2. $f(u,v)$ ma w punkcie $(u_0,v_0)$ pochodne cząstkowe, gdzie $u=g(x_0,y_0),v=h(x_0,y_0)$, \n", "\n", "to funkcja złożona $F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ ma w punkcie $(x_0,y_0)$ pochodne cząstkowe równe:\n", "$$\n", "\\frac{\\partial F}{\\partial x}(x_0,y_0)=\\frac{\\partial f}{\\partial u}(u_0,v_0)\n", "\\cdot \\frac{\\partial g}{\\partial x}(x_0,y_0)+\\frac{\\partial f}{\\partial v}(u_0,v_0)\n", "\\cdot \\frac{\\partial h}{\\partial x}(x_0,y_0)\n", "$$\n", "\n", "$$\n", "\\frac{\\partial F}{\\partial y}(x_0,y_0)=\\frac{\\partial f}{\\partial u}(u_0,v_0)\n", "\\cdot \\frac{\\partial g}{\\partial y}(x_0,y_0)+\\frac{\\partial f}{\\partial v}(u_0,v_0)\n", "\\cdot \\frac{\\partial h}{\\partial y}(x_0,y_0)\n", "$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d7587290-fc47-469a-b378-c79a372f4157", "metadata": {}, "source": [ "#### Zadanie 3\n", "Niech \n", "$$\n", "f(x,y)=\\sin(x^2+y),\\quad g(x,y)=x^2+y\\quad \\text{ oraz } \\quad h(x,y)=xe^y.\n", "$$\n", "Obliczymy pochodne cząstkowe funkcji \n", "$$ \n", "F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)).\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6447f860-e4ec-400b-8d71-b7582ba6530b", "metadata": {}, "source": [ "##### Rozwiązanie:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2ea9e169-4457-4d4c-8804-ff50ade4f495", "metadata": {}, "source": [ "__I sposób__\n", "\n", "Ze wzorów wynika, że\n", "$$\n", "F(x,y)=\\sin(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y}).\n", "$$\n", "Zatem \n", "$$\n", "\\frac{\\partial F}{\\partial x}(x,y)=\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot(4x^3+4xy+e^y)\n", "$$\n", "oraz\n", "$$\n", "\\frac{\\partial F}{\\partial y}(x,y)=\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot(2x^2+2y+xe^y).\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ebd66e96-50fd-44ce-8afe-375b26fc0e7d", "metadata": {}, "source": [ "__II sposób__\n", "\n", "Skorzystamy tym razem z reguły łańcucha.\n", "\n", "Mamy\n", "\n", "$$\\frac{\\partial f}{\\partial u}(u,v)= 2u\\cos(u^2+v)\\quad{ oraz }\\quad \n", "\\frac{\\partial f}{\\partial v}(u,v)=\\cos(u^2+v).$$\n", "\n", "Zatem \n", "$$\n", "\\frac{\\partial F}{\\partial x}(x,y)=2(x^2+y)\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot 2x+\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot e^y=\n", "\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot(4x^3+4xy+e^y).\n", "$$\n", "oraz\n", "$$\n", "\\frac{\\partial F}{\\partial y}(x,y)=2(x^2+y)\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot 1+\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot xe^y=\n", "\\cos(x^4+2x^2y+y^2+xe^{y})\\cdot(2x^2+2y+xe^y).\n", "$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d6e27613-9dc9-44f5-80ae-9d5730e75baf", "metadata": {}, "source": [ "## Pochodne cząstkowe wyższych rzędów" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9edc2c8f-97d8-4052-b231-5c5a718e9af8", "metadata": {}, "source": [ "#### Zadanie 4\n", "Wyznacz wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla funkcji \n", "$$f(x,y)=e^{x^2+y}.$$\n", "Co ciekawego zauważasz?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ab762d49-d4fb-4cb1-9109-93f99d2a0482", "metadata": {}, "source": [ "##### Rozwiązanie:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fef2342f-e315-41c3-afb3-f7029dc9b2d3", "metadata": {}, "source": [ "Mamy\n", "$$\n", "\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 2x e^{x^2 + y}\n", "$$\n", "oraz\n", "$$\n", "\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =e^{x^2 + y}.\n", "$$\n", "Stąd\n", "$$\n", "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) = 2 e^{x^2 + y} + 4x^2 e^{x^2 + y},\\quad\n", "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} (x,y)= e^{x^2 + y}, \\quad\n", "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) = 2x e^{x^2 + y}\n", "\\quad\\text{ oraz }\\quad \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) = 2x e^{x^2 + y}.\n", "$$\n", "\n", "Zauważamy, że pochodne cząstkowe $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y)$ oraz $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)$ są sobie równe.\n", "To nie jest przypadek: patrz twierdzenie Schwarza na wykładzie." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b08b0f21-1684-4afc-9a26-3d72e5d8d7c6", "metadata": {}, "source": [ "#### Zadanie 5 \n", "Dla funkcji \n", "$$f(x,y,z)=x^3y^2z$$\n", "oblicz\n", "$$\n", "\\frac{\\partial^4 f}{\\partial x^4}(x,y,z),\\quad \\frac{\\partial^4 f}{\\partial x^3\\partial z}(x,y,z)\\quad\\text{ oraz }\\quad \\frac{\\partial^4 f}{\\partial z\\partial y \\partial x^2}(x,y,z)\n", "$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "415fe031-6d7e-413a-b3a1-88f9b970b92b", "metadata": {}, "source": [ "##### Rozwiązanie:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a323a470-c82b-4598-bb78-a69d6e9e09b0", "metadata": {}, "source": [ "Mamy kolejno:\n", "\n", "$$ \n", "\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y,z)=3x^2y^2z, \\quad \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y,z)=6xy^2z, \\quad \\frac{\\partial^3 f}{\\partial x^3}(x,y,z)=6y^2z.\n", "$$\n", "Stąd\n", "\n", "$$\n", "\\quad \\frac{\\partial^4 f}{\\partial x^4}(x,y,z)=0.\n", "$$\n", "Ponadto \n", "$$\n", "\\frac{\\partial^4 f}{\\partial x^3\\partial z}(x,y,z)=\\frac{\\partial^4 f}{\\partial z\\partial x^3}(x,y,z)=6y^2\n", "$$\n", "i \n", "$$\n", "\\frac{\\partial^4 f}{\\partial z\\partial y \\partial x^2}(x,y,z)=12xy.\n", "$$" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.2" }, "toc": { "base_numbering": 1, "nav_menu": {}, "number_sections": false, "sideBar": true, "skip_h1_title": false, "title_cell": "Table of Contents", "title_sidebar": "Contents", "toc_cell": false, "toc_position": {}, "toc_section_display": true, "toc_window_display": true } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }