{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4cc6c96f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Ćwiczenia 9"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "1276423e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "***TEMAT:*** funkcje dwóch  zmiennych - ekstrema lokalne"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bc2b4d7c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Ekstrema lokalne"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "9fdf1c56",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Funkcja $f$ (dwóch zmiennych) określona na obszarze otwartym $D$ ma w punkcie $(x_0,y_0)\\in D$ maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie $U$ tego punktu, takie że w każdym punkcie $(x,y)\\in U$ różnym od $(x_0,y_0)$, zachodzi nierówność $f(x_0,y_0)\\ge f(x,y)$ (dla minimum $\\le$). Jeśli nierówność jest ostra na pewnym otoczeniu różnym od $(x_0,y_0)$, to ekstremum nazywa się _ścisłe_."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "042d333c-ecb1-4b4d-b170-9343b7c8ddcb",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Warunek konieczny istnienia ekstremum"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "c430e78c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "__Twierdzenie__ (warunek konieczny istnienia ekstremum)\n",
    "\n",
    " Jeśli $f$ ma w $(x_0,y_0)$ ekstremum i ma tam obie pochodne cząstkowe, to obie są równe zeru. Inaczej mówiąc:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "\\frac {\\partial f}{\\partial x}(x_0,y_0)=0;\\\\\n",
    "\\frac {\\partial f}{\\partial y}(x_0,y_0)=0.\n",
    "\\end{cases}\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f21ec660",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Zadanie 1 (punkt siodłowy)\n",
    "\n",
    "W których punktach może mieć ekstremum funkcja $f(x,y)=x^2-y^2$?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ae83f501-f3f8-428d-a27e-ffec022316a8",
   "metadata": {},
   "source": [
    "##### Rozwiązanie:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ad2937e7-1541-4c36-b852-29b894489cf5",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Jedynym rozwiązaniem układu równań\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "2x=0;\\\\\n",
    "2y=0;\n",
    "\\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "jest punkt $A=(0,0)$.\n",
    "\n",
    "Ponieważ \n",
    "\n",
    "$$f(x,0)>0 \\text{ dla wszystkich }x\\not=0$$\n",
    "oraz \n",
    "$$f(0,y)<0 \\text{ dla wszystkich }y\\not=0,$$\n",
    "to punkt $(0,0)$ nie jest ekstremum lokalnym."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "74de856d-acb6-4495-93dc-4efc27aacd13",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Zadanie 2 \n",
    "Czy funkcja $f(x,y)=|x|+|y|$\n",
    "ma w punkcie $(0,0)$ pochodne cząstkowe? Czy ma w tym punkcie ekstremum lokalne?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "eedd4774-ceba-43bd-8dbe-5aa9e191a14d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#####  Rozwiązanie:\n",
    "\n",
    "Ponieważ $f(0,0)=0$ oraz $f(x,y)>0$ dla $(x,y)\\not=(0,0)$, to w punkcie $(0,0)$ \n",
    "funkcja $f$ ma silne minimum lokalne. \n",
    "Pochodne cząstkowe funkcji $f$ nie istnieją w $(0,0)$, bo granica\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{h\\to 0}\\frac{|h|}{h}\n",
    "$$\n",
    "nie istnieje."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "5177becf-f4cc-4564-bec0-43444a32e369",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Warunek dostateczny istnienia ekstremum"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3384c139",
   "metadata": {},
   "source": [
    " __Twierdzenie__  (warunek wystarczający istnienia ekstremum.)\n",
    "\n",
    " Niech funkcja $f$ ma ciągłe pochodne cząstkowe II rzędu na otoczeniu punktu $(x_0,y_0)$ oraz niech:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "\\frac {\\partial f}{\\partial x}(x_0,y_0)=0\\\\\n",
    "\\frac {\\partial f}{\\partial y}(x_0,y_0)=0\n",
    "\\end{cases}\n",
    "\\quad \\text{oraz}\\quad \n",
    "H(x_0,y_0)=\\begin{vmatrix}\n",
    "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x_0,y_0)& \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x\\partial y}(x_0,y_0)\\\\\n",
    "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y\\partial x}(x_0,y_0)& \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x_0,y_0)\n",
    "\\end{vmatrix} > 0.\n",
    "$$\n",
    "Wtedy w punkcie $(x_0,y_0)$ funkcja ma ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum, gdy którakolwiek pochodna cząstkowa II rzędu nie-mieszana jest ujemna, minimum - gdy dodatnia. \n",
    "\n",
    "Jeżeli $H(x_0,y_0)<0$, to ekstremum nie ma, a jeżeli $H(x_0,y_0)=0$, to nie wiadomo."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "88e2c6b0-148a-4a39-b5a7-af63a40aa871",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Zadanie 3\n",
    "\n",
    "Wyznaczymy ekstrema lokalne dla funkcji \n",
    "$$ \n",
    "f(x,y)=x^3+3xy^2-15 x-12y.\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "08eecc86-a7fa-4869-9e7f-4900c2d9abfc",
   "metadata": {},
   "source": [
    "##### Rozwiązanie:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "491f88ce-f8bb-45f0-a02f-6a017355b097",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Mamy\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)=3x^2+3y^2-15 \\quad\\text{ oraz }\\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)=6xy-12.\n",
    "$$\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4c01d0ae-38dc-46f8-a9d1-903d3c7147b1",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Rozwiązaniami układu równań (wystarczy wyznaczyć $y$ z drugiego równanania i wstawić do pierwszego)\n",
    "$$\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "3x^2+3y^2-15=0\\\\\n",
    "6xy-12=0\n",
    "\\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "są punkty $A_1=(1,2)$, $A_2=(-1,-2)$, $A_3=(2,1)$, $A_4=(-2,-1)$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b9462877-8cce-4540-808a-43dfbece08b7",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Mamy\n",
    "$$\n",
    "H(x_0,y_0)=\\begin{vmatrix}\n",
    "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x_0,y_0)& \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x\\partial y}(x_0,y_0)\\\\\n",
    "\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y\\partial x}(x_0,y_0)& \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x_0,y_0)\n",
    "\\end{vmatrix} =\n",
    "\\begin{vmatrix}\n",
    "6x_0& 6y_0\\\\\n",
    "6y_0& 6x_0\n",
    "\\end{vmatrix}=36(x_0^2-y_0^2).\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2d193dcb-2a40-4a26-b125-257145bcdadf",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Stąd:\n",
    "1. $H(1,2)<0$ zatem punkt $(1,2)$ nie jest ekstremum lokalnym.\n",
    "2. $H(-1,-2)<0$ zatem punkt $(-1,-2)$ nie jest ekstremum lokalnym.\n",
    "3. $H(2,1)>0$ i  $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(2,1)>0$ - zatem punkt $(2,1)$ jest minimum lokalnym.\n",
    "4.  $H(-2,-1)>0$ i  $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(-2,-1)<0$ - zatem punkt $(2,1)$ jest maksimum lokalnym."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "10ebfae1-7161-496e-bd6e-0afcaef5e403",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### More...\n",
    "\n",
    "Wiecej przykładów można znaleźć [tutaj](https://alfa.im.pwr.edu.pl/~kajetano/AM2/fun2var/fun2var-6.html)."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4df5a853-c8f8-4fb9-92ef-b9bed7f81f2e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Przykładowe zadanie optymalizacyjne"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3e27d431-15e7-428d-8ec3-6367237b119f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Zadanie 4 \n",
    "Jakie powinny być wymiary prostopadłościennego otwartego od góry zbiornika o objętości \n",
    "1000  litrów, aby na jego wykonanie zużyć jak najmniej materiału?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "07b00b11-8c1c-473a-9e71-63f782b9ce23",
   "metadata": {},
   "source": [
    "##### Rozwiązanie:\n",
    "Trzeba znaleźć prostopadłościan o objętośći $ 1000 $ litrów tak, aby suma pól powierzchni ścian bocznych oraz jego podstawy była jak najmniejsza.\n",
    "\n",
    "Oznaczmy przez $ x $, $ y $ długości krawędzi podstawy naszego prostopadłościanu oraz przez $ h $ jego wysokość. Ponieważ objętość prostopadłościanu ma być równa $1000$, to\n",
    "$$\n",
    "x \\cdot y \\cdot h = 1000.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Suma pola podstawy i powierzchni bocznej naszego prostopadłościanu jest równa\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "p(x,y,h)= x \\cdot y + 2 \\cdot (x + y) \\cdot h.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Z warunku $ x \\cdot y \\cdot h = 1000 $ dostajemy, że  $ h = \\frac{1000}{x \\cdot y} $. Zatem\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "p(x,y,h)= x \\cdot y + 2 \\cdot (x + y) \\cdot \\frac{1000}{x \\cdot y} = x \\cdot y + \\frac{2000}{x} + \\frac{2000}{y}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Stąd funkcja $p$ jest w istocie funkcją dwóch zmiennych, oznaczmy ją przez $f(x,y)$.\n",
    "Mamy\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "f(x, y) = x \\cdot y + \\frac{2000}{x} + \\frac{2000}{y}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Za dziedzinę naszej funkcji przyjmujemy zbiór:\n",
    "$$\n",
    "D = \\{(x, y) : x > 0, y > 0\\}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Pochodne cząstkowe funkcji $ f $ są równe:\n",
    "$$\n",
    "\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = y - \\frac{2000}{x^2},\n",
    "\\quad\n",
    "\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = x - \\frac{2000}{y^2}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Musimy rozwiązać układ równań:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "y - \\frac{2000}{x^2} = 0, \\\\\n",
    "x - \\frac{2000}{y^2} = 0.\n",
    "\\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Wyznaczamy $ y $ z pierwszego równania i podstawiając do  drugiego dostajemy, że :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y = \\frac{2000}{x^2}\n",
    "\\quad\\text{oraz}\\quad\n",
    "x - \\frac{2000}{\\left(\\frac{2000}{x^2}\\right)^2} = 0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Przekształcając  drugie  równanie, otrzymujemy:\n",
    "$$\n",
    "x - \\frac{x^4}{2000} = 0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Jedynym dodatnim rozwiązaniem tego równania jest\n",
    "$$\n",
    "x = \\sqrt[3]{2000}.\n",
    "$$\n",
    "Proste rachunki dają, że \n",
    "$$\n",
    "y = \\frac{2000}{x^2} = \\frac{2000}{\\left(\\sqrt[3]{2000}\\right)^2} = \\sqrt[3]{2000}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Nie jest trudno  zauważyc, że w punkcie $( \\sqrt[3]{2000},  \\sqrt[3]{2000})$ funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą na zbiorze $D$, wynika to  z następujących obserwacji:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x\\to 0}f(x,y)=\\infty, \\quad \\lim_{y\\to 0}f(x,y)=\\infty, \\quad \\lim_{x\\to \\infty}f(x,y)=\\infty\\quad \\lim_{y\\to \\infty}f(x,y)=\\infty.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Ostatecznie wymiary zbiornika to: \n",
    "$$\n",
    "x=\\sqrt[3]{2000},\\quad y=\\sqrt[3]{2000},\\quad h=\\frac{\\sqrt[3]{2000}}{2}.\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "id": "86e171af-0c9c-4d1f-97e6-544b49b70a5e",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.9.2"
  },
  "toc": {
   "base_numbering": 1,
   "nav_menu": {},
   "number_sections": false,
   "sideBar": true,
   "skip_h1_title": false,
   "title_cell": "Table of Contents",
   "title_sidebar": "Contents",
   "toc_cell": false,
   "toc_position": {
    "height": "calc(100% - 180px)",
    "left": "10px",
    "top": "150px",
    "width": "165px"
   },
   "toc_section_display": true,
   "toc_window_display": true
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}