398 lines
53 KiB
Plaintext
398 lines
53 KiB
Plaintext
|
{
|
||
|
|
"cells": [
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "39d126",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"# Prawdopodobieństwo geometryczne. Niezależność zdarzeń"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "dfccc8",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Treści kształcenia**: Prawdopodobieństwo geometryczne. Niezależność zdarzeń. Prawdopodobieństwo na iloczynach kartezjańskich.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Efekty kształcenia**: Student/ka potrafi konstruować przestrzenie probabilistyczne dla zadanych problemów rachunku prawdopodobieństwa; potrafi wyrazić podstawowe problemy w języku zdarzeń losowych; umie zastosować poznane twierdzenia i własności przestrzeni probabilistycznych do rozwiązywania prostych zagadnień rachunku prawdopodobieństwa."
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "93e6ba",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"## Prawdopodobieństwo geometryczne\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Do tej pory rozważaliśmy eksperymenty losowe o skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych. Nietrudno jednak wymyślić eksperyment, w którym potencjalnych wyników jest nieskończenie wiele, czy wręcz **nieprzeliczalnie wiele**. \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Przykład 1 (gra w rzutki)**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Rozważmy eksperyment losowy, w którym gracz strzela do tarczy rzutką. Załóżmy idealistycznie, że gracz zawsze trafia w tarczę i że każdy z punktów tej tarczy jest równo prawdopodobny. Jako wynik tego eksperymentu możemy przyjąć punkt, w który trafi rzutka. Zatem sensownym założeniem jest przyjęcie jako $\\Omega$ zbioru wszystkich punktów tarczy, skąd oczywiście otrzymujemy $|\\Omega| = \\infty$. Gdybyśmy teraz chcieli policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na trafienie w górną połowę tarczy, to w pierwszej kolejności powinniśmy zauważyć, że $|A| = \\infty$, zatem porównanie $|A|$ do $|\\Omega$ nie ma sensu \\(otrzymujemy symbol nieoznaczony $\\frac{\\infty}{\\infty}$\\).\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Powyższy przykład pokazuje, że w pewnych doświadczeniach losowych model klasyczny niekoniecznie dobrze odzwierciedla rzeczywistość, a raczej po prostu się nie przydaje. Jaki model w takim razie przyjąć? Intuicja podpowiada nam, że prawdopodobieństwo trafienia w górną połowę tarczy powinno wynosić $1/2$, ponieważ górna połowa tarczy stanowi połowę całej tarczy. Zamiast porównywać liczbę punktów odpowiadających obydwu zdarzeniom, możemy w tym przypadku porównać pola obszarów, które im odpowiadają, tzn. możemy porównać pola dwóch obiektów geometrycznych (tarczy, którą utożsamiamy z kołem i górnej połowy tarczy, która odpowiadać będzie połówce koła). Taki model nazywać będziemy **modelem prawdopodobieństwa geometrycznego**, ponieważ rozważane w nim zdarzenia odpowiadają pewnym obiektom geometrycznym.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Zanim przejdziemy do formalnego zdefiniowania modelu prawdopodobieństwa geometrycznego, zatrzymajmy się na chwilę przy sposobie mierzenia wielkości różnych obiektów geometrycznych. Dla uproszczenia skupimy się tylko na obiektach jednowymiarowych, dwuwymiarowych i trójwymiarowych. Przez **miarę** zbioru $A$, oznaczaną jako $\\lambda(A)$, rozumieć będziemy odpowiednio:\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"- w przypadku **jednowymiarowym: długość** odcinka $A$ lub sumę długości odcinków, które stanowią zbiór $A$,\n",
|
||
|
|
"- w przypadku **dwuwymiarowym: pole powierzchni** obszaru $A$ lub sumę pól powierzchni obszarów stanowiących zbiór $A$,\n",
|
||
|
|
"- w przypadku **trójwymiarowym: objętość** bryły $A$ lub sumę brył stanowiących zbiór $A$.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, żebyśmy rozważali również przypadki wyżej wymiarowe. My natomiast skupimy się tylko na tych trzech. Co więcej, w naszych rozważaniach będziemy zawsze przyjmować, że rodzina wszystkich zdarzeń $\\mathcal{F} \\subset \\mathcal{P}(\\Omega)$, gdzie $\\mathcal{P}(\\Omega)$ to zbiór potęgowy zbioru $\\Omega$, obejmuje dokładnie te zbiory, dla których istnieje ich miara \\(czyli odpowiednio długość, pole lub objętość\\). Są to tzw. **zbiory mierzalne**. Jest to założenie konieczne ze względów formalnych \\- okazuje się bowiem, że istnieją zbiory wymykające się pojęciu miary. W tym miejscu odsyłamy zainteresowane osoby do kursu z Teorii miary, gdzie znajdziecie formalną definicję pojęcia miary, zbiorów mierzalnych oraz zbiorów niemierzalnych.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Definicja (prawdopodobieństwo geometryczne)**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Dla zbioru $\\Omega\\subset \\mathbb{R}^n$ o skończonej mierze, czyli spełniającego $\\lambda(\\Omega) < \\infty$, prawdopodobieństwo zdarzenia $A\\subseteq \\Omega$ nazywamy **prawdopodobieństwem geometrycznym** i definiujemy jako\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A) = \\frac{\\lambda(A)}{\\lambda(\\Omega)}. $$\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Uwaga:** Warto podkreślić, że podzbiór $A\\subset \\Omega$, który jest wymiaru niższego niż $\\Omega$, ma zawsze miarę $\\lambda(A)=0$, np.:\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"- jeśli $\\Omega$ jest odcinkiem, a $A$ jest punktem, to $\\lambda(A)=0$,\n",
|
||
|
|
"- jeśli $\\Omega$ jest zbiorem dwuwymiarowym, np. kwadratem jednostkowym, a $A$ jest odcinkiem, np. przekątną kwadratu lub bokiem kwadratu, to $\\lambda(A)=0$,\n",
|
||
|
|
"- jeśli $\\Omega$ jest bryłą, np. walcem, a $A$ jest obiektem dwuwymiarowym, np. podstawą walca, albo częścią wspólną pewnej płaszczyzny i walca, to $\\lambda(A)=0$.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
" Co więcej w zależności od kontekstu miara $\\lambda$ będzie zawsze dobierana względem wymiaru zbioru $\\Omega$.\n",
|
||
|
|
"\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "f4765b",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Przykład 2**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Losujemy punkt $x$ z odcinka jednostkowego. Punkt $x$ dzieli odcinek jednostkowy na dwa krótsze odcinki o długościach odpowiednio $a$ i $b$. Następnie konstruujemy prostokąt o bokach długości $a$ i $b$. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pole otrzymanego prostokąta jest większe niż $\\frac29$?\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Jako zbiór zdarzeń elementarnych przyjmijmy odcinek jednostkowy $\\Omega = [0,1]$. Następnie niech $A$ oznacza zdarzenie, prawdopodobieństwo którego chcemy wyznaczyć. Zauważmy, że dwa uzyskane odcinki mają długość odpowiednio\n",
|
||
|
|
"$$a=x \\quad \\text{oraz} \\quad b=1-x.$$\n",
|
||
|
|
"Zatem interesuje nas, dla jakich punktów $x$ zachodzi nierówność\n",
|
||
|
|
"$$x(1-x) > \\frac29.$$\n",
|
||
|
|
"Powyższa nierówność po przekształceniu daje nam\n",
|
||
|
|
"$$\\left(x - \\frac13\\right)\\left(x - \\frac23\\right) < 0.$$\n",
|
||
|
|
"\\(Oczywiście możemy też wyznaczyć pierwiastki odpowiedniego równania kwadratowego obliczając najpierw $\\Delta$\\). Po rozwiązaniu powyższej nierówności otrzymujemy $x\\in \\left(\\frac13, \\frac23\\right)$. Zatem $A = \\left(\\frac13, \\frac23\\right)$ i szukane prawdopodobieństwo wynosi\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A) = \\frac{\\lambda(A)}{\\lambda(\\Omega)} = \\frac{\\frac23-\\frac13}{1-0} = \\frac13.$$\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "0b549b",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Przykład 3**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Losujemy punkt z kwadratu o wierzchołkach $(0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wylosowany punkt znajduje się na brzegu kwadratu? Ile wynosi prawdopodobieństwo, że współrzędne wylosowanego punktu różnią się o co najwyżej $0{,}5$?\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Tym razem przyjmujemy $\\Omega = [0,2]\\times [0,2]$, z kolei miarą $\\lambda$ jest pole figury. Zatem mamy $\\lambda(\\Omega)=4$. Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na trafieniu w brzeg kwadratu. Wówczas $A$ składa się ze wszystkich punktów leżących na brzegu kwadratu i możemy ten zbiór potraktować jako sumę czterech odcinków. Ponieważ miara odcinka w zbiorze dwuwymiarowym wynosi zero, otrzymujemy $\\lambda(A) = 0$ oraz\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A) = \\frac{\\lambda(A)}{\\lambda(\\Omega)} = \\frac{0}{4} = 0.$$\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Rozważmy teraz zdarzenie $B$ polegające na wylosowaniu punktu, którego współrzędne różnią się o co najwyżej $0{,}5$. Jak wygląda zbiór $B$? Jest to zbiór punktów $(x,y)\\in\\Omega$ spełniających nierówność\n",
|
||
|
|
"$$|x-y| \\leq 0{,}5.$$\n",
|
||
|
|
"Nierówność ta sprowadza się z kolei do\n",
|
||
|
|
"$$x-y \\leq 0{,}5 \\quad \\land \\quad x-y \\geq -0{,}5,$$\n",
|
||
|
|
"czyli\n",
|
||
|
|
"$$ y \\geq x - 0{,}5 \\quad \\land \\quad y \\leq x + 0{,}5.$$\n",
|
||
|
|
"Na poniższym rysunku kolorem czerwonym zaznaczono obszar odpowiadający zdarzeniu $B$. Jest to część wspólna kwadratu $\\Omega$ oraz pasa znajdującego się pomiędzy prostymi $y = x - 0{,}5$ i $y = x + 0{,}5$.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Teraz wystarczy policzyć jego pole. Zauważmy, że po usunięciu czerwonego sześciokąta z wyjściowego kwadratu otrzymamy dwa trójkąty prostokątne, równoramienne, o przyprostokątnych długości $1{,}5$. Dadzą nam one łącznie kwadrat o boku $1{,}5$, skąd otrzymujemy $\\lambda(B) = 1{,}5 \\cdot 1{,}5 = 2{,}25$ oraz\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(B) = \\frac{\\lambda(B)}{\\lambda(\\Omega)} = \\frac{2{,}25}{4} = 0{,}5625.$$\n",
|
||
|
|
"\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "f4b76a",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Przykład 4 \\(R\\)** \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Mamy do dyspozycji prostokątną deskę o wymiarach $5m\\times 2m$. Wybieramy losowo dwa punkty: punkt $x$ na dolnym i punkt $y$ na lewym boku deski. Następnie przycinamy deskę w wybranych punktach \\(prostopadle do boku deski\\), otrzymując mniejszą deseczkę o wymiarach $x\\times y$. Jakie są szanse na to, że otrzymana deseczka ma pole mniejsze niż $4 m^2$?\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Zauważmy, że w tym przypadku jako zbiór zdarzeń elementarnych możemy przyjąć prostokąt $\\Omega=[0,5]\\times [0,2]$. Aby pole otrzymanej deseczki było mniejsze niż $4 m^2$ musi zachodzić nierówność $xy<4$, czyli $y<\\frac4x$. Zobaczymy, jak możemy rozwiązać to zadanie, wspomagając się językiem R.\n",
|
||
|
|
"\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "code",
|
||
|
|
"execution_count": 9,
|
||
|
|
"id": "4d59bf",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"outputs": [
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"data": {
|
||
|
|
"text/html": [
|
||
|
|
"'Prawdopodobieństwo otrzymania deseczki o polu mniejszym niż 4 to 0.766516292749662'"
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"text/latex": [
|
||
|
|
"'Prawdopodobieństwo otrzymania deseczki o polu mniejszym niż 4 to 0.766516292749662'"
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"text/markdown": [
|
||
|
|
"'Prawdopodobieństwo otrzymania deseczki o polu mniejszym niż 4 to 0.766516292749662'"
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"text/plain": [
|
||
|
|
"[1] \"Prawdopodobieństwo otrzymania deseczki o polu mniejszym niż 4 to 0.766516292749662\""
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"execution_count": 9,
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"output_type": "execute_result"
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"data": {
|
||
|
|
"image/png": "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
|
||
|
|
"text/plain": [
|
||
|
|
"plot without title"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"execution_count": 9,
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"image/png": {
|
||
|
|
"height": 420,
|
||
|
|
"width": 420
|
||
|
|
}
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"output_type": "execute_result"
|
||
|
|
}
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"# Zaczniemy od wykonania rysunku pomocniczego\n",
|
||
|
|
"# Rysujemy funkcję y=4/x\n",
|
||
|
|
"f<-function(x) 4/x\n",
|
||
|
|
"curve(f, from=0, to=5.5, ylim=c(0,2.2)) \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Dorysowujemy odcinki, które ograniczają zbiór zdarzeń elementarnych Omega\n",
|
||
|
|
"segments(0, 0, 0, 2) # polecenie segments(x0, y0, x1, y1) rysuje odcinek o końcach w punktach (x0, y0) i (x1, y1)\n",
|
||
|
|
"segments(0, 0, 5, 0)\n",
|
||
|
|
"segments(5, 0, 5, 2)\n",
|
||
|
|
"segments(0, 2, 5, 2)\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Możemy teraz obliczyć miarę zbioru Omega\n",
|
||
|
|
"pole_omega = 2*5\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Zauważmy, że interesujące nas zdarzenie odpowiada obszarowi, który jest częścią prostokąta znajdującą się poniżej krzywej y=4/x\n",
|
||
|
|
"# Można łatwo zauważyć, że ten obszar warto podzielić na dwie części: na lewo od prostej x=2 i na prawo od tej prostej\n",
|
||
|
|
"segments(2, 0, 2, 2, lty=2)\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Miara lewej części tego obszaru odpowiada polu prostokąta o wymiarach 2x2\n",
|
||
|
|
"pole1 = 2*2\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Natomiast aby wyznaczyć miarę prawej części obszaru, warto sobie przypomnieć, że do obliczania pól powierzchni pod wykresem funkcji możemy używać całek oznaczonych\n",
|
||
|
|
"pole2 = integrate(f, 2, 5) # polecenie integrate(f, a, b) w sposób numeryczny szacuje wartość całki oznaczonej z funkcji f na przedziale [a,b] - w odpowiedzi dostaniemy listę. Interesująca nas wartość to pierwszy element tej listy\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Możemy teraz obliczyć prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia\n",
|
||
|
|
"p = (pole1 + pole2[[1]])/pole_omega\n",
|
||
|
|
"paste('Prawdopodobieństwo otrzymania deseczki o polu mniejszym niż 4 to', p)"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "902615",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"## Niezależność zdarzeń\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Jednym z kluczowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa jest pojęcie niezależności zdarzeń. Intuicyjnie zdarzenia niezależne to takie, które na siebie nie wpływają, to znaczy fakt, że jedno z nich zajdzie nie wpływa na prawdopodobieństwo tego, czy zajdzie drugie z nich. Natomiast formalna definicja niezależności przedstawia się następująco.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Definicja (niezależność zdarzeń)**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Zbiór zdarzeń $\\{A_i:i\\in I\\}$ jest **niezależny,** jeśli dla każdego \\(skończonego\\) podzbioru $J\\subseteq I$ mamy\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}\\left(\\bigcap_{j\\in J} A_j\\right) = \\prod_{j\\in J}\\mathbb{P}(A_j). $$\n",
|
||
|
|
"W szczególności zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne jeśli $\\mathbb{P}(A\\cap B) = \\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(B)$. Z kolei zdarzenia $A$, $B$ i $C$ są niezależne, jeśli **jednocześnie** zachodzą poniższe cztery równania\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A\\cap B) = \\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(B),$$\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A\\cap C) = \\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(C),$$\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(B\\cap C) = \\mathbb{P}(B)\\cdot \\mathbb{P}(C),$$\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A\\cap B\\cap C) = \\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(B) \\cdot \\mathbb{P}(C).$$\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Definicja (niezależność parami)**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Zbiór zdarzeń $\\{A_i:i\\in I\\}$ jest **parami niezależny** jeśli dla każdych $i, j\\in I$ zachodzi $\\mathbb{P}(A_i)\\cdot\\mathbb{P}(A_j) = \\mathbb{P}(A_i\\cap A_j)$. \n",
|
||
|
|
"\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "60a5a5",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Przykład 5**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Rzucamy cztery razy monetą. Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu parzystej liczby orłów, a $B$ zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu co najmniej trzech reszek. Czy zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne?\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Przyjmijmy model klasyczny ze zbiorem zdarzeń elementarnych $\\Omega$ składającym się ze wszystkich ciągów długości cztery o wyrazach ze zbioru $\\{O, R\\}$. Zatem $|\\Omega| = 2^4 = 16$. Następnie zauważmy, że \n",
|
||
|
|
"$$|A| = {4\\choose 0} + {4\\choose 2} + {4\\choose 4} = 8,$$\n",
|
||
|
|
"$$|B| = {4\\choose 3} + {4\\choose 4} = 5$$\n",
|
||
|
|
"oraz\n",
|
||
|
|
"$$|A\\cap B| = {4\\choose 4} = 1.$$\n",
|
||
|
|
"Zatem otrzymujemy\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A) \\cdot \\mathbb{P}(B) = \\frac{8}{16}\\cdot \\frac{5}{16} = \\frac{5}{32} \\neq \\frac{1}{16} = \\mathbb{P}(A\\cap B),$$\n",
|
||
|
|
"czyli zdarzenia $A$ i $B$ nie są niezależne.\n",
|
||
|
|
"\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "978ca8",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Przykład 6 \\(R\\)** \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Rzucamy $n$\\-krotnie symetryczną monetą. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że wypadnie co najwyżej jeden orzeł, a $B$ zdarzenie, że moneta nie będzie upadać zawsze na tę samą stronę. Czy zdarzenia te są niezależne?\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Rozwiążemy to zadanie przy pomocy języka R i pakietu `probs` dla $n\\in\\{2,3,4,5\\}$. \n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "markdown",
|
||
|
|
"id": "f92231",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"**Przykład 7**\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Rzucamy trzy razy sześcienną kostką. Rozważmy trzy zdarzenia:\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
" - $A$ - w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek,\n",
|
||
|
|
" - $B$ - w drugim rzucie wypadły co najwyżej dwa oczka,\n",
|
||
|
|
" - $C$ - suma trzech wyników jest parzysta.\n",
|
||
|
|
" \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
" Czy te zdarzenia są niezależne? Czy są parami niezależne?\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
" Intuicja podpowiada nam, że pierwsze dwa zdarzenia powinny być niezależne, bo dotyczą innego rzutu kostką. Z kolei trzecie zdarzenie wydaje się być niezależne od pierwszych dwóch, bo bez względu na to co wypadło w pierwszych dwóch rzutach, mamy $50\\%$ szans aby wynik trzeciego rzutu dopełnił sumę dwóch pierwszych do liczby parzystej. Co możemy natomiast powiedzieć o niezależności wszystkich trzech zdarzeń? \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"Sprawdzimy niezależność zdarzeń zgodnie z definicją. W tym celu zaczynamy od ustalenia modelu. Możemy przyjąć jako zbiór zdarzeń elementarnych $\\Omega$ zbiór wszystkich ciągów długości trzy o wyrazach ze zbioru $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$. Mamy zatem do czynienia z modelem klasycznym, bo każde takie zdarzenie elementarne ma równe szanse pojawić się w wyniku naszego eksperymentu. Ponadto mamy\n",
|
||
|
|
"$$ |\\Omega| = 6^3 = 216, \\quad |A| = 3\\cdot6\\cdot 6 = 108, \\quad |B| = 6\\cdot 2\\cdot 6 = 72,\\quad |C| = 6\\cdot 6\\cdot 3 = 108,$$\n",
|
||
|
|
"gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że dla dowolnego wyniku pierwszych dwóch rzutów mamy dokładnie trzy możliwości w trzecim rzucie, które dadzą nam parzystą sumę wszystkich trzech \\(jeśli suma dwóch pierwszych rzutów jest nieparzysta, to w ostatnim rzucie musi wypaść nieparzysta liczba oczek, a jeśli jest parzysta, to w ostatnim musi wypaść parzysta liczba oczek\\). Dalej\n",
|
||
|
|
"$$|A\\cap B| = 3\\cdot 2 \\cdot 6 = 36, \\quad |A\\cap C| = 3\\cdot 6\\cdot 3 = 54, \\quad |B\\cap C| = 6\\cdot 2\\cdot 3 = 36,\\quad |A\\cap B\\cap C| = 3\\cdot 2\\cdot 3 = 18.$$\n",
|
||
|
|
"Zatem\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(B) = \\frac{108}{216}\\cdot \\frac{72}{216} = \\frac16 = \\frac{36}{216} = \\mathbb{P}(A\\cap B),$$\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(C) = \\frac{108}{216}\\cdot \\frac{108}{216} = \\frac14 = \\frac{54}{216} = \\mathbb{P}(A\\cap C),$$\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(B)\\cdot \\mathbb{P}(C) = \\frac{72}{216}\\cdot \\frac{108}{216} = \\frac16 = \\frac{36}{216} = \\mathbb{P}(B\\cap C),$$\n",
|
||
|
|
"z czego wynika, że zdarzenia $A$, $B$ i $C$ są parami niezależne. Ponadto mamy\n",
|
||
|
|
"$$\\mathbb{P}(A)\\cdot \\mathbb{P}(B)\\cdot \\mathbb{P}(C) = \\frac{108}{216} \\cdot \\frac{72}{216} \\cdot \\frac{108}{216} = \\frac{1}{12} = \\frac{18}{216} = \\mathbb{P}(A\\cap B\\cap C),$$\n",
|
||
|
|
"zatem zdarzenia $A$, $B$ i $C$ są też niezależne.\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"**Uwaga:** Nawet mając dobrą intuicję musimy i tak formalnie uzasadnić, czy definicja niezależności jest spełniona! \n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
" **Uwaga:** Proszę pamiętać, że aby pokazać niezależność trzech zdarzeń ($A$, $B$, $C$ w powyższym przykładzie), musimy sprawdzić cztery różne warunki. Wystarczy, żeby choć jeden z nich nie zachodził, a niezależności nie będzie.\n",
|
||
|
|
"\n"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "code",
|
||
|
|
"execution_count": 3,
|
||
|
|
"id": "650445",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"outputs": [
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"ename": "ERROR",
|
||
|
|
"evalue": "Error in tosscoin(n, makespace = TRUE): could not find function \"tosscoin\"\n",
|
||
|
|
"output_type": "error",
|
||
|
|
"traceback": [
|
||
|
|
"Error in tosscoin(n, makespace = TRUE): could not find function \"tosscoin\"\nTraceback:\n",
|
||
|
|
"1. niezaleznosc(n)"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
}
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
"# Napiszemy funkcję argumentu n, która będzie sprawdzać niezależność zdarzeń A i B\n",
|
||
|
|
"niezaleznosc <- function(n) {moneta = tosscoin(n, makespace=TRUE) # generujemy przestrzeń probabilistyczną związaną z n-krotnym rzutem monetą (interpretujemy T jako reszki, a H jako orły)\n",
|
||
|
|
" xA = c()\n",
|
||
|
|
" xB = c()\n",
|
||
|
|
" for (i in 1:nrow(moneta)) {x = length(which(moneta[i,]=='H')) # Zliczamy liczbę orłów w danym zdarzeniu elementarnym\n",
|
||
|
|
" if (x<=1) {xA = c(xA, i)}\n",
|
||
|
|
" if (x==0 | x==n) {xB = c(xB, i)}}\n",
|
||
|
|
" A = moneta[xA,] # Generujemy zdarzenie A\n",
|
||
|
|
" B = moneta[xB,] # Generujemy zdarzenie B\n",
|
||
|
|
" AB = intersect(A, B) # Generujemy część wspólną zdarzeń A i B\n",
|
||
|
|
" pA = Prob(A) # Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A\n",
|
||
|
|
" pB = Prob(B) # Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B\n",
|
||
|
|
" pAB = Prob(AB) # Obliczamy prawdopodobieństwo części wspólnej zdarzeń A i B\n",
|
||
|
|
" y = (pA*pB==pAB) # Sprawdzamy warunek na niezależność\n",
|
||
|
|
" p = c(pA, pB, pAB, y)}\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"# Następnie sprawdzamy niezależność zdarzeń A i B dla różnych wartości n\n",
|
||
|
|
"\n",
|
||
|
|
"for (n in 2:5) {\n",
|
||
|
|
" x = niezaleznosc(n)\n",
|
||
|
|
" print(paste('P(A)=', x[1]))\n",
|
||
|
|
" print(paste('P(B)=', x[2]))\n",
|
||
|
|
" print(paste('Prawdopodobieństwo części wspólnej zdarzeń A i B:', x[3]))\n",
|
||
|
|
" if (x[4]) {print('Zdarzenia A i B są niezależne')\n",
|
||
|
|
" } else {print('Zdarzenia A i B nie są niezależne')}\n",
|
||
|
|
"}"
|
||
|
|
]
|
||
|
|
},
|
||
|
|
{
|
||
|
|
"cell_type": "code",
|
||
|
|
"execution_count": 0,
|
||
|
|
"id": "a893e7",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"collapsed": false
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"outputs": [
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"source": [
|
||
|
|
]
|
||
|
|
}
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"kernelspec": {
|
||
|
|
"argv": [
|
||
|
|
"/usr/bin/R",
|
||
|
|
"-e",
|
||
|
|
"IRkernel::main()",
|
||
|
|
"--args",
|
||
|
|
"{connection_file}"
|
||
|
|
],
|
||
|
|
"display_name": "R (system-wide)",
|
||
|
|
"env": {
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"language": "r",
|
||
|
|
"metadata": {
|
||
|
|
"cocalc": {
|
||
|
|
"description": "R statistical programming language",
|
||
|
|
"priority": 10,
|
||
|
|
"url": "https://www.r-project.org/"
|
||
|
|
}
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"name": "ir",
|
||
|
|
"resource_dir": "/ext/jupyter/kernels/ir"
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"language_info": {
|
||
|
|
"codemirror_mode": "r",
|
||
|
|
"file_extension": ".r",
|
||
|
|
"mimetype": "text/x-r-source",
|
||
|
|
"name": "R",
|
||
|
|
"pygments_lexer": "r",
|
||
|
|
"version": "4.4.1"
|
||
|
|
}
|
||
|
|
},
|
||
|
|
"nbformat": 4,
|
||
|
|
"nbformat_minor": 4
|
||
|
|
}
|