Upload files to "Przewodnik_studenta_cwiczenia"
This commit is contained in:
parent
be30791ded
commit
83b36dbf60
@ -0,0 +1,362 @@
|
||||
{
|
||||
"cells": [
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "4c5e42",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"# Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Przestrzenie produktowe i warunkowe"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "97f826",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"**Treści kształcenia** : Eksperymenty losowe. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Aksjomatyczna definicja przestrzeni probabilistycznej. Podstawowe własności prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo na iloczynach kartezjańskich. Prawdopodobieństwo warunkowe. \n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Efekty kształcenia**: Student/ka potrafi konstruować przestrzenie probabilistyczne dla zadanych problemów rachunku prawdopodobieństwa; potrafi wyrazić podstawowe problemy w języku zdarzeń losowych; umie zastosować poznane twierdzenia i własności przestrzeni probabilistycznych do rozwiązywania prostych zagadnień rachunku prawdopodobieństwa."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "95867b",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"## Wstęp\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Nasze rozważania dotyczące rachunku prawdopodobieństwa zaczęliśmy od modelu klasycznego, w którym zakładaliśmy, że w danym doświadczeniu losowym mamy skończoną liczbę możliwych wyników i wszystkie te wyniki są równo prawdopodobne. Nietrudno podać przykład eksperymentu losowego, którego nie da się opisać za pomocą modelu klasycznego. Weźmy chociażby eksperyment, w którym rzucamy monetą tak długo, aż wypadnie orzeł. W tej sytuacji możliwych wyników eksperymentu jest nieskończenie wiele, bo potencjalnie możemy nigdy nie wyrzucić orła (choć jest to bardzo mało prawdopodobne). Na tej lekcji dowiemy się, w jaki sposób konstruować modele dla eksperymentów losowych w ogólnym przypadku."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "edc28c",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"## Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Zanim podamy sposób, w jaki konstruujemy modele dla eksperymentów losowych, musimy zbudować formalne podstawy dla naszego modelu matematycznego. Będziemy bazować na pojęciach z teorii miary i przytoczymy tylko te definicje, które są dla nas niezbędne. Pierwszą z nich jest definicja $\\sigma$-algebry.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Definicja ($\\sigma$-algebra)**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Niech $\\mathcal{P}(\\Omega)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $\\Omega$. Rodzinę $\\mathcal{F}\\subseteq \\mathcal{P}(\\Omega)$ podzbiorów zbioru $\\Omega$ nazywamy **$\\sigma$-algebrą** jeśli spełnia poniższe warunki:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - $\\Omega\\in\\mathcal{F}$;\n",
|
||||
" - Jeśli $A\\in\\mathcal{F}$, to $A'\\in\\mathcal{F}$ ($\\mathcal{F}$ jest zamknięta na dopełnienia);\n",
|
||||
" - Jeśli $A_1, A_2, \\ldots \\in \\mathcal{F}$, to $\\bigcup_{i=1}^{\\infty} A_i \\in \\mathcal{F}$ ($\\mathcal{F}$ jest zamknięta na przeliczalne sumy).\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"\n",
|
||||
" **Ćwiczenie 1**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Dwa najprostsze przykłady $\\sigma$-algebr zbioru $\\Omega$ to:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - tzw. **trywialna** $\\sigma$-algebra $\\{\\emptyset, \\Omega\\}$,\n",
|
||||
" - oraz $\\sigma$-algebra zawierająca wszystkie podzbiory należące do $\\mathcal{P}(\\Omega)$. \n",
|
||||
" \n",
|
||||
"\n",
|
||||
" W ramach ćwiczenia proszę sprawdzić, że obie te rodziny są $\\sigma$-algebrami.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" **Definicja (przestrzeń probabilistyczna)**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" **Przestrzenią probabilistyczną** nazywamy trójkę $(\\Omega, \\mathcal{F}, \\mathbb{P})$, gdzie $\\Omega$ jest **zbiorem zdarzeń elementarnych**, $\\mathcal{F}$ jest pewną $\\sigma$-algebrą podzbiorów zbioru $\\Omega$, której elementy nazywamy **zdarzeniami**, natomiast $\\mathbb{P}:\\mathcal{F} \\rightarrow [0,1]$ jest **funkcją prawdopodobieństwa** spełniającą następujące aksjomaty:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - $0\\leq \\mathbb{P}(A) \\leq 1$ dla każdego zdarzenia $A\\in\\mathcal{F}$;\n",
|
||||
" - $\\mathbb{P}(\\Omega) = 1$;\n",
|
||||
" - Dla dowolnego ciągu parami rozłącznych zdarzeń $A_1, A_2, \\ldots$ zachodzi $\\mathbb{P}(\\bigcup_{i=1}^{\\infty} A_i) = \\sum_{i=1}^{\\infty} \\mathbb{P}(A_i)$ (przeliczalna addytywność).\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Uwaga:** W przypadku eksperymentów losowych o skończonym lub przeliczalnym zbiorze zdarzeń elementarnych $\\Omega$ będziemy zawsze przyjmować, że $\\mathcal{F}=\\mathcal{P}(\\Omega)$, a zatem wszsytkie podzbiory zbioru $\\Omega$ są sensownymi zdarzeniami. Ponadto w takiej sytuacji wystarczy zdefiniować funkcję $\\mathbb{P}$ na zdarzeniach elementarnych tak, aby zachodziło\n",
|
||||
"$$\\sum_{\\omega\\in\\Omega} \\mathbb{P}(\\omega) = 1.$$\n",
|
||||
"Warunek ten jest konieczny aby spełnić aksjomat mówiący, że $\\mathbb{P}(\\Omega) = 1$. Następnie tę definicję możemy rozszerzyć na wszystkie zdarzenia $A\\in\\mathcal{F}$ przyjmując, że\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(A) = \\sum_{\\omega\\in A}\\mathbb{P}(\\omega).$$\n",
|
||||
"\n"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "671105",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"**Przykład 1**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"W urnie znajdują się cztery kule czerwone i dwie kule niebieskie. Losujemy z urny po jednej kuli bez zwracania do momentu, aż wylosujemy kulę w kolorze niebieskim. Zbudujmy model przestrzeni probabilistycznej $(\\Omega,\\mathcal{F},\\mathbb{P})$ dla tego eksperymentu. Możemy przyjąć, że \n",
|
||||
"$$\\Omega = \\{\\omega_1 = N, \\omega_2 = CN, \\omega_3 = CCN, \\omega_4 = CCCN, \\omega_5 = CCCCN\\}$$\n",
|
||||
"oraz $\\mathcal{F} = \\mathcal{P}(\\Omega)$. Następnie definiujemy funkcję prawdopodobieństwa dla zdarzeń elementarnych przyjmując, że\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(\\omega_1) = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3},\\quad \\mathbb{P}(\\omega_2) = \\frac{4}{6}\\cdot\\frac{2}{5} = \\frac{4}{15},\\quad \\mathbb{P}(\\omega_3) = \\frac{4}{6}\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4} = \\frac{1}{5},\\quad \\mathbb{P}(\\omega_4) = \\frac{4}{6}\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{2}{4}\\cdot\\frac{2}{3} = \\frac{2}{15},\\quad \\mathbb{P}(\\omega_5) = \\frac{4}{6}\\cdot \\frac{3}{5}\\cdot \\frac{2}{4}\\cdot \\frac{1}{3}\\cdot \\frac{2}{2} = \\frac{1}{15}.$$\n",
|
||||
"Proszę zwrócić uwagę, że\n",
|
||||
"$$ \\frac{1}{3} + \\frac{4}{15} + \\frac{1}{5} + \\frac{2}{15} + \\frac{1}{15} = 1.$$\n",
|
||||
"Rozważmy teraz zdarzenie $A$ polegające na tym, że wykonaliśmy nieparzystą liczbę losowań. Wówczas $A = \\{\\omega_1, \\omega_3,\\omega_5\\}$ i prawdopodobieństwo tego zdarzenia liczy się w następujący sposób\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(A) = \\mathbb{P}(\\omega_1) + \\mathbb{P}(\\omega_3) + \\mathbb{P}(\\omega_5) = \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} + \\frac{1}{15} = \\frac{3}{5}.$$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Przykład 2**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Rozważmy eksperyment, w którym z urny zawierającej 3 kule białe, 2 kule czerwone i 1 kulę niebieską losujemy równocześnie dwie kule. Jeśli przyjmiemy jako zbiór zdarzeń elementarnych\n",
|
||||
"$$\\Omega = \\{BB, BC, BN, CC, CN\\},$$\n",
|
||||
"to na pewno nie będziemy mieli do czynienia z modelem klasycznym, bo np. zdarzenie $BB$ jest bardziej prawdopodobne niż zdarzenie $CC$ \\(w końcu w urnie mamy więcej kul białych niż czarnych\\). Musimy zatem zbudować inny model. Jak zwykle przyjmujemy $\\mathcal{F} = \\mathcal{P}(\\Omega)$ i definiujemy funkcję prawdopodobieństwa na zdarzeniach elementarnych\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(BB) = \\frac{{3\\choose 2}}{{6\\choose 2}}=\\frac{1}{5}, \\quad \\mathbb{P}(BC) = \\frac{3\\cdot 2}{{6\\choose 2}}=\\frac{2}{5}, \\quad \\mathbb{P}(BN) = \\frac{3\\cdot 1}{{6\\choose 2}}=\\frac{1}{5}, \\quad \\mathbb{P}(CC) = \\frac{{2\\choose 2}}{{6\\choose 2}}=\\frac{1}{15},\\quad \\mathbb{P}(CN) = \\frac{2\\cdot 1}{{6\\choose 2}}=\\frac{2}{15}.$$\n",
|
||||
"Sprawdźmy jeszcze, czy powyższe prawdopodobieństwa sumują się do $1$. Mamy\n",
|
||||
"$$ \\frac15 + \\frac 25 + \\frac15 + \\frac2{15} + \\frac1{15} = 1.$$\n",
|
||||
"Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu kul w tym samym kolorze. Wówcza $A = \\{BB, CC\\}$ i dostajemy\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(A) = \\mathbb{P}(BB) + \\mathbb{P}(CC) = \\frac15 + \\frac1{15} = \\frac4{15}.$$\n"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "fd107c",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"## Własności funkcji prawdopodobieństwa\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Podamy teraz podstawowe własności funkcji prawdopodobieństwa, z których będziemy często korzystać na tym kursie. Proszę pamiętać, że zdarzenia są po prostu zbiorami, natomiast funkcja prawdopodobieństwa $\\mathbb{P}$ przypisuje tym zbiorom pewną miarę (zwaną **miarą probabilistyczną**), czyli wartość liczbową z przedziału $[0,1]$. Okazuje się, że wiele z własności funkcji prawdopodobieństwa w pewnym sensie dziedziczy się z odpowiednich własności zbiorów w teorii zbiorów.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Twierdzenie (własności funkcji prawdopodobieństwa)**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Dla dowolnej przestrzeni probabilistycznej $(\\Omega, \\mathcal{F}, \\mathbb{P})$ oraz dowolnych zdarzeń $A, B, C\\in\\mathcal{F}$ zachodzi:\n",
|
||||
" - **(W1)** $\\mathbb{P}(\\emptyset) = 0$;\n",
|
||||
" - **(W2)** Jeśli zdarzenia $A_1, A_2, \\ldots, A_n\\in\\mathcal{F}$ są parami rozłączne, to $\\mathbb{P}(\\bigcup_{i=1}^n A_i) = \\sum_{i=1}^n \\mathbb{P}(A_i)$ (skończona addytywność);\n",
|
||||
" - **(W3)** $\\mathbb{P}(A') = 1 - \\mathbb{P}(A)$ (prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego);\n",
|
||||
" - **(W4)** Jeśli $A\\subset B$, to $\\mathbb{P}(B\\setminus A) = \\mathbb{P}(B) - \\mathbb{P}(A)$;\n",
|
||||
" - **(W5)** Jeśli $A\\subset B$, to $\\mathbb{P}(A) \\leq \\mathbb{P}(B)$ (monotoniczność prawdopodobieństwa);\n",
|
||||
" - **(W6)** $\\mathbb{P}(A\\cup B) = \\mathbb{P}(A) + \\mathbb{P}(B) - \\mathbb{P}(A\\cap B)$ (odpowiednik zasady włączania i wyłączania dla dwóch zbiorów);\n",
|
||||
" - **(W7)** $\\mathbb{P}(B\\setminus A) = \\mathbb{P}(B) - \\mathbb{P}(A\\cap B)$;\n",
|
||||
" - **(W8)** $\\mathbb{P}(A\\cup B\\cup C) = \\mathbb{P}(A) + \\mathbb{P}(B) + \\mathbb{P}(C) - \\mathbb{P}(A\\cap B) - \\mathbb{P}(A\\cap C) - \\mathbb{P}(B\\cap C) + \\mathbb{P}(A\\cap B\\cap C)$ (odpowiednik zasady włączania i wyłączania dla trzech zbiorów).\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Przykład 3**\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"Powtarzamy eksperyment polegający na rzucie czworościenną kostką, zatem możliwe wyniki pojedynczego rzutu to $1$, $2$, $3$ lub cztery $4$. \n",
|
||||
" \n",
|
||||
" - Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia czwórki dokładnie jeden raz w pierwszych trzech rzutach?\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"Skorzystamy z modelu klasycznego z $\\Omega = \\{1,2,3,4\\}^3$. Niech $A_i$ oznacza wyrzucenie czwórki tylko w $i$-tym rzucie, $i=1,2,3$. Wówczas chcemy policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia $A_1\\cup A_2\\cup A_3$. Zauważmy, że zdarzenia $A_1$, $A_2$ i $A_3$ **są parami rozłączne** i z symetrii każde z nich ma takie samo prawdopodobieństwo. Zatem korzystając z własności (W2) mamy\n",
|
||||
" $$\\mathbb(A_1\\cup A_2\\cup A_3) = \\mathbb{P}(A_1) + \\mathbb{P}(A_2) + \\mathbb{P}(A_3) = 3 \\cdot \\frac{1 \\cdot 3 \\cdot 3}{4 \\cdot 4 \\cdot 4} = \\frac{27}{64}.$$\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" - Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia czwórki co najmniej jeden raz w pierwszych dwóch rzutach?\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"Teraz przyjmiemy, że $\\Omega = \\{1,2,3,4\\}^2$. Niech $B_i$ oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu czwórki w $i$-tym rzucie, $i=1,2$. Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia $B_1\\cup B_2$, ale tym razem zdarzenia $B_1$ i $B_2$ **nie są rozłączne**, zatem musimy posłużyć się własnością (W6), z której otrzymujemy\n",
|
||||
"$$ \\mathbb{P}(B_1\\cup B_2) = \\mathbb{P}(B_1) + \\mathbb{P}(B_2) - \\mathbb{P}(B_1\\cap B_2) = 2\\cdot \\frac{1\\cdot 4}{4\\cdot 4} - \\frac{1\\cdot 1}{4\\cdot 4} = \\frac{7}{16}.$$\n",
|
||||
"Oczywiście moglibyśmy też policzyć to prawdopodobieństwo inaczej, korzystając ze zdarzenia przeciwnego. Niech zatem $B$ będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu czwórki co najmniej jeden raz w dwóch rzutach czworościenną kostką. Korzystając z własności (W3) dostajemy\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(B) = 1 - \\mathbb{P}(B') = 1 - \\frac{3\\cdot 3}{4\\cdot 4} = \\frac{7}{16}.$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "c76859",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"## Przestrzenie produktowe\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"W wielu przypadkach będziemy konstruować przestrzenie probabilistyczne dla rozbudowanych eksperymentów korzystając z przestrzeni probabilistycznych dla prostszych doświadczeń. Jako przykład rozważmy $100$-krotny rzut kostką. Liczba wyników tego eksperymentu wynosi $6^{100}$, czyli bardzo dużo. Zatem pracując w takiej przestrzeni będziemy operować na ogromnych liczbach, co wydaje się być problematyczne. A jednak nasz eksperyment można potraktować jako doświadczenie losowe składające się ze $100$ mniejszych eksperymentów (pojedyncze rzuty kostką), których naturę doskonale rozumiemy. W tym miejscu z pomocą przychodzi nam przestrzeń produktowa, która jest w pewnym sensie uogólnieniem pojęcia iloczynu kartezjańskiego zbiorów, rozszerzonego na nasze trójki postaci $(\\Omega, \\mathcal{F},\\mathbb{P})$.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Definicja (przestrzeń produktowa)**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Niech $(\\Omega_1, \\mathcal{F}_1, \\mathbb{P}_1)$ oraz $(\\Omega_2, \\mathcal{F}_2, \\mathbb{P}_2)$ będą dwoma przestrzeniami probabilistycznymi. **Iloczynem (produktem)** tych przestrzeni nazywamy przestrzeń probabilistyczną $(\\Omega,\\mathcal{F},\\mathbb{P})$, gdzie $\\Omega = \\Omega_1\\times\\Omega_2$, $\\mathcal{F}$ zawiera wszystkie zbiory postaci $A_1\\times A_2\\in \\mathcal{F}_1\\times\\mathcal{F}_2$, oraz funkcja prawdopodobieństwa $\\mathbb{P}$ spełnia warunek\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(A_1\\times A_2) = \\mathbb{P}_1(A_1)\\cdot\\mathbb{P}_2(A_2).$$\n",
|
||||
"Definicję tę można uogólnić na dowolną skończoną lub przeliczalną rodzinę przestrzeni probabilistycznych.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Uwaga:** W powyższej definicji $\\mathcal{F}$ jest $\\sigma$-algebrą generowaną przez zbiory postaci $A_1\\times A_2$, czyli najmniejszą $\\sigma$-algebrą, która zawiera wszystkie takie zbiory."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "a6627f",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"\n",
|
||||
"## Schemat Bernoulliego\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Klasycznym przykładem zastosowania przestrzeni produktowych, który będzie się przewijał przez cały kurs, jest **schemat Bernoulliego**. Niech $p\\in(0,1)$ oraz $n\\in\\mathbb{N}_+$. Przypuśćmy, że powtarzamy $n$ razy eksperyment losowy, w którym prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $p$ (a porażki $1-p$) oraz wyniki poszczególnych prób nie mają na siebie nawzajem wpływu. Jeśli $\\tau_k$ oznacza prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach, to\n",
|
||||
"$$\\tau_k = {n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ \\text{ dla } \\ k=0,1,\\ldots,n.$$\n",
|
||||
"Zatem w schemacie Bernoulliego powtarzamy ten sam eksperyment, tzw. **próbę Bernoulliego**, ustaloną liczbę razy $n$ przy założeniu, że poszczególne próby są niezależne. W tym wypadku korzystamy z przestrzeni probabilistycznej, która jest produktem $n$ przestrzeni odpowiadających pojedynczym próbom Bernoulliego.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Przykład 4**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Losujemy z potasowanej talii jedną kartę, po czym wkładamy ją na miejsce i tasujemy talię jeszcze raz. Powtarzamy ten eksperyment $20$ razy. \n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - Ile wynosi szansa wylosowania karty w kolorze pik dokładnie $5$ razy? \n",
|
||||
" \n",
|
||||
"Posłużymy się tutaj schematem Bernoulliego o liczbie prób $n=20$ oraz prawdopodobieństwie sukcesu $p=\\frac{13}{52}=\\frac14$. Interesuje nas prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie pięciu sukcesów, które wynosi\n",
|
||||
" $$ \\tau_5 = {20\\choose 5}\\left(\\frac14\\right)^5\\left(\\frac34\\right)^{15} \\approx 0{,}2023312.$$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - Ile wynosi szansa wylosowania asa co najwyżej 2 razy?\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"Tym razem zastosujemy schemat Bernoulliego o liczbie prób $n=20$ i prawdopodobieństwie sukcesu $p=\\frac{4}{52} = \\frac{1}{13}$. Szukane prawdopodobieństwo to\n",
|
||||
"$$ \\tau_0 + \\tau_1 + \\tau_2 = {20\\choose 0}\\left(\\frac1{13}\\right)^0\\left(\\frac{12}{13}\\right)^{20} + {20\\choose 1}\\left(\\frac1{13}\\right)^1\\left(\\frac{12}{13}\\right)^{19} + {20\\choose 2}\\left(\\frac1{13}\\right)^2\\left(\\frac{12}{13}\\right)^{18} \\approx 0{,}8040948.$$ \n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Oczywiście aby podać przybliżoną wartość powyższego prawdopodobieństwa w obu przypadkach musimy posłużyć się komputerem (np. możemy do tego wykorzystać R). Poniżej znajduje się kod, który pozwoli nam to zrobić."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 4,
|
||||
"id": "4cdb71",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"name": "stdout",
|
||||
"output_type": "stream",
|
||||
"text": [
|
||||
"[1] 0.2023312\n"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"name": "stdout",
|
||||
"output_type": "stream",
|
||||
"text": [
|
||||
"[1] 0.8040948\n"
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"# Liczymy prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 5 sukcesów w 20 próbach Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu równym 0.25\n",
|
||||
"binom_prob <- dbinom(5, size = 20, prob = 0.25)\n",
|
||||
"print(binom_prob)\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"# Liczymy prawdopodobieństwo uzyskania co najwyżej 2 sukcesów w 20 próbach Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu równym 1/13\n",
|
||||
"binom_prob <- dbinom(0, size = 20, prob = 1/13) + dbinom(1, size = 20, prob = 1/13) + dbinom(2, size = 20, prob = 1/13)\n",
|
||||
"print(binom_prob)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "bc4ddb",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"## Rozkład geometryczny\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Kolejnym klasycznym przykładem wykorzystania przestrzeni produktowych jest eksperyment, w którym powtarzamy niezależne próby Bernoulliego do momentu uzyskania pierwszego sukcesu. Tym razem mamy do czynienia z przestrzenią, która powstaje w wyniki wzięcia iloczynu kartezjańskiego nieskończonej liczby przestrzeni odpowiadających poszczególnym próbom. Zatem powtarzamy eksperyment losowy, w którym prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $p\\in(0,1)$, do momentu osiągnięcia pierwszego sukcesu. Jeśli przez $\\sigma_k$ oznaczymy prawdopodobieństwo, że potrzebujemy na to $k$ prób, to\n",
|
||||
"$$\\sigma_k=p(1-p)^{k-1} \\ \\text{ dla } \\ k=1,2,\\ldots$$\n",
|
||||
"Powyższy model nazywamy **rozkładem geometrycznym**.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Przykład 5**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Rzucamy czworościenną kostką tak długo, aż wyrzucimy jedynkę. Zatem mamy do czynienia z prawdopodobieństwem geometrycznym o prawdopodobieństwe sukcesu $p=\\frac14$.\n",
|
||||
" - Ile wynosi prawdopodobieństwo, że do wyrzucenia jedynki po raz pierwszy wykonamy łącznie 5 rzutów?\n",
|
||||
" $$ \\sigma_5 = \\frac14\\cdot \\left(\\frac34\\right)^4 \\approx 0{,}07910156.$$\n",
|
||||
" - Ile wynosi prawdopodobieństwo, że do wyrzucenia jedynki po raz pierwszy wykonamy łącznie co najwyżej 4 rzuty?\n",
|
||||
" $$ \\sigma_1 + \\sigma_2 + \\sigma_3 + \\sigma_4 = \\frac14\\cdot \\left(\\frac34\\right)^0 + \\frac14\\cdot \\left(\\frac34\\right)^1 + \\frac14\\cdot \\left(\\frac34\\right)^2 + \\frac14\\cdot \\left(\\frac34\\right)^3 \\approx 0{,}6835938$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 8,
|
||||
"id": "470e68",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"name": "stdout",
|
||||
"output_type": "stream",
|
||||
"text": [
|
||||
"[1] 0.07910156\n"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"name": "stdout",
|
||||
"output_type": "stream",
|
||||
"text": [
|
||||
"[1] 0.6835938\n"
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"# Liczymy prawdopodobieństwo, że w rozkładzie geometrycznym z prawdop. sukcesu p=0.25 będziemy porzebować dokładnie 5 prób do uzyskania pierwszego sukcesu\n",
|
||||
"# Proszę zwrócić uwagę, na przesunięcie o 1 czyli dgeom(x, prob=p) zwraca p(1-p)^x\n",
|
||||
"geom_prob <- dgeom(4, prob=0.25)\n",
|
||||
"print(geom_prob)\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"# Liczymy prawdopodobieństwo, że w rozkładzie geometrycznym z prawdop. sukcesu p=0.25 będziemy porzebować co najwyżej 4 próby do uzyskania pierwszego sukcesu\n",
|
||||
"geom_prob <- dgeom(0, prob=0.25) + dgeom(1, prob=0.25) + dgeom(2, prob=0.25) + dgeom(3, prob=0.25)\n",
|
||||
"print(geom_prob)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"id": "1e4749",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"source": [
|
||||
"## Przestrzenie warunkowe\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Definicja (przestrzenie warunkowe)**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Jeśli $(\\Omega, \\mathcal{F}, \\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną, a $B\\in \\mathcal{F}$ jest zdarzeniem, **dla którego $\\mathbb{P}(B)>0$**, wtedy możemy skonstruować **przestrzeń warunkową** $(B, \\mathcal{F}_B, \\mathbb{P}_B)$ przyjmując\n",
|
||||
"$$\\mathcal{F}_B=\\{A\\cap B: A\\in \\mathcal{F}\\},$$\n",
|
||||
"a dla każdego $A\\in \\mathcal{F}$\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}_B(A\\cap B)=\\frac{\\mathbb{P}(A\\cap B)}{\\mathbb{P}(B)}.$$\n",
|
||||
"Prawdopodobieństwo $\\mathbb{P}_B(A)$ zwykle zapisujemy jako $\\mathbb{P}(A|B)$ i czytamy jako **prawdopodobieństwo (warunkowe) zdarzenia $A$ pod warunkiem (zajścia) zdarzenia $B$**. \n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Uwaga:** Jeśli zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, to \n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(A|B)=\\mathbb{P}(A)\\quad\\textrm{i}\\quad \\mathbb{P}(B|A)=\\mathbb{P}(B)\\,, $$\n",
|
||||
"zakładając, że $\\mathbb{P}(A), \\mathbb{P}(B)>0$ (bez tego założenia prawdopodobieństwa warunkowe nie są dobrze zdefiniowane).\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"**Przykład 6**\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"W grze w pokera gracz dostaje $5$ kart z talii $24$ kart. Jaka jest szansa na uzyskanie pokera (pięć kolejnych kart w tym samym kolorze), jeśli wiemy, że gracz nie dostał żadnego asa?\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Niech $B$ będzie zdarzeniem mówiącym, że gracz ma pokera, natomiast $A$ zdarzeniem polegającym na tym, że gracz nie dostał żadnego asa. Wówczas interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $B$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $A$, czyli\n",
|
||||
"$$\\mathbb{P}(B|A)= \\frac{\\mathbb{P}(A\\cap B)}{\\mathbb{P}(A)} = \\frac{\\frac{4}{{24\\choose 5}}}{\\frac{{20\\choose 5}}{{24\\choose 5}}} = \\frac{4}{{20\\choose 5}} = \\frac{1}{3876}.$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 0,
|
||||
"id": "585f5e",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"collapsed": false
|
||||
},
|
||||
"outputs": [
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"metadata": {
|
||||
"kernelspec": {
|
||||
"argv": [
|
||||
"/usr/bin/R",
|
||||
"-e",
|
||||
"IRkernel::main()",
|
||||
"--args",
|
||||
"{connection_file}"
|
||||
],
|
||||
"display_name": "R (system-wide)",
|
||||
"env": {
|
||||
},
|
||||
"language": "r",
|
||||
"metadata": {
|
||||
"cocalc": {
|
||||
"description": "R statistical programming language",
|
||||
"priority": 10,
|
||||
"url": "https://www.r-project.org/"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"name": "ir",
|
||||
"resource_dir": "/ext/jupyter/kernels/ir"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"nbformat": 4,
|
||||
"nbformat_minor": 4
|
||||
}
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user