Upload files to "Przewodnik_studenta_lab"

Przewodnik_studenta_lab/02LRAP_przewodnik.ipynb

@@ -0,0 +1,395 @@
+{
+ "cells": [
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "7c6ce8",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "# Modelowanie przestrzeni probabilistycznych w programie R cz. 2 "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "9bb7a3",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "Kontynuujemy temat generowania przestrzeni probabilistycznych w programie R. Przypominamy, że większość interesujących nas funkcji znajduje się w pakiecie `probs`. "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "d77bdb",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "## Prawdopodobieństwo warunkowe\n",
+    "\n",
+    "Przpomnijmy, że jeśli dane są dwa zdarzenia $A$ i $B$ określone w tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz $\\mathbb{P}(B)>0$, to możemy zdefiniować prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$ w następujący sposób:\n",
+    "\n",
+    "$$\\mathbb{P}(A|B)=\\frac{\\mathbb{P}(A\\cap B)}{\\mathbb{P}(B)}.$$\n",
+    "\n",
+    "Jeśli chcemy obliczyć takie prawdopodobieństwo w programie R, możemy użyć polecenia \n",
+    "\n",
+    "`Prob(x, event=A, given=B)`, \n",
+    "\n",
+    "gdzie w miejscu $A$ i $B$ należy podać odpowiednie podzbiory w formie ramek danych lub formuły logicznej opisującej to zdarzenie. Jeśłi $A$ zostanie wcześniej zdefiniowane jako podzbiór odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej, to można też użyć polecenia `Prob(A, given=B)`."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "d1c017",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "**Przykład 1**\n",
+    "\n",
+    "Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest większa od 7, jeśli wiemy, że w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek?"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 0,
+   "id": "ad9ab4",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "outputs": [
+   ],
+   "source": [
+    "# Definiujemy przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu\n",
+    "kostki2=rolldie(2,makespace=TRUE)\n",
+    "# Definiujemy zdarzenia A i B. Skorzystamy z operatora %% (x %% y zwraca resztę z dzielenia x przez y)\n",
+    "A=subset(kostki2,X1 %% 2 == 0)\n",
+    "B=subset(kostki2,X1+X2>7)\n",
+    "# Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B)\n",
+    "p=Prob(A,given=B)\n",
+    "print(p)\n",
+    "# Możemy porównać to prawdopodobieństwo do prawdopodobieństwa zdarzenia A\n",
+    "p2=Prob(A)\n",
+    "print(p2)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "2b95c8",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "## Przestrzenie produktowe\n",
+    "\n",
+    "Przypomnijmy, że jeśli dane są dwie przestrzenie probabilistyczne $(\\Omega_1, \\mathcal{F}_1, \\mathbb{P}_1)$ oraz $(\\Omega_2, \\mathcal{F}_2, \\mathbb{P}_2)$, to możemy zdefiniować ich produkt jako przestrzeń probabilistyczną $(\\Omega,\\mathcal{F},\\mathcal{P})$, gdzie $\\Omega = \\Omega_1\\times\\Omega_2$, $\\mathcal{F}$ zawiera wszystkie zbiory postaci $A_1\\times A_2\\in \\mathcal{F}_1\\times\\mathcal{F}_2$, oraz funkcja prawdopodobieństwa $\\mathbb{P}$ spełnia warunek\n",
+    "\n",
+    "$$ \\mathbb{P}(A_1\\times A_2) = \\mathbb{P}_1(A_1)\\cdot\\mathbb{P}_2(A_2).$$\n",
+    "\n",
+    "W analogiczny sposób możemy definiować produkt dowolnej, skończonej liczby przestrzeni probabilistycznych. W programie R istnieje kilka sposobów modelowania tego typu przestrzeni.\n",
+    "\n",
+    "### Niezależne powtórzenia tego samego eksperymentu losowego\n",
+    "\n",
+    "Załóżmy najpierw, że wielokrotnie w sposób niezależny powtarzamy ten sam eksperyment losowy, np. rzucamy $n$-krotnie standardową kostką sześcienną. Wówczas możemy użyć polecenia \n",
+    "\n",
+    "`iidspace(x, ntrials, probs=NULL)`,\n",
+    "\n",
+    "gdzie `x` oznacza wektor możliwych wyników w pojedynczym powtórzeniu eksperymentu losowego, `ntrials` podaje liczbę powtórzeń, a `probs` to wektor prawopodobieństw odpowiadający wynikom `x`. Jeśli wszystkie wyniki pojedynczego powtórzenia eksperymentu losowego są równo prawdopodobne, to możemy nie podawać wektora `probs`.\n",
+    "\n",
+    "**Przykład 2** \n",
+    "\n",
+    "Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą trzykrotnemu rzutowi czworościenną kostką przy założeniu, że:\n",
+    "\n",
+    "* kostka jest symetryczna (tzn. każdy wynik jest równo prawdopodobny),\n",
+    "* prawdopodobieństwo wypadnięcia 1 to 1/2, a prawdopodobieństwo wypadnięcia dowolnej innej liczby oczek to 1/6."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 0,
+   "id": "10630e",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "outputs": [
+   ],
+   "source": [
+    "# Generujemy przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą 3-krotnemu rzutowi symetryczną kostką\n",
+    "x=1:4\n",
+    "kostka_sym=iidspace(x,3)\n",
+    "print(kostka_sym)\n",
+    "# Zwróćmy uwagę, że równoważnie można było w tym przypadku użyć polecenia rolldie(3,nsides=4,makespace=TRUE)\n",
+    "# Generujemy przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą 3-krotnemu rzutowi ,,oszukaną'' kostką\n",
+    "kostka_osz=iidspace(x,3,probs=c(1/2,1/6,1/6,1/6))\n",
+    "print(kostka_osz)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "b518a1",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "Szczególnym przypadkiem niezależnych powtórzeń tego samego eksperymentu losowego jest sytuacja, gdy ten eksperyment losowy ma tylko dwa możliwe wyniki umownie nazywane ,,sukcesem'' i ,,porażką''. Jeśli liczba powtórzeń eksperymentu losowego jest ustalona i skończona, to mamy wówczas do czynienia z tzw. *schematem Bernoulliego*. Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w tego typu doświadczeniu losowym jest wtedy równe:\n",
+    "\n",
+    "$$\\tau_k = {n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ \\text{ dla } \\ k=0,1,\\ldots,n,$$\n",
+    "\n",
+    "gdzie $n$ to liczba powtórzeń, a $p$ to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W R prawdopodobieństwa tego typu można liczyć przy pomocy następującego polecenia z pakietu `stats`:\n",
+    "\n",
+    "`dbinom(x,size,prob)`,\n",
+    "\n",
+    "gdzie `x` oznacza wektor zawierający interesujące nas liczby sukcesów, `size` oznacza liczbę powtórzeń, a `prob` prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.\n",
+    "\n",
+    "**Przykład 3** \n",
+    "\n",
+    "Losujemy $10$ razy, ze zwracaniem jedną kartę z talii $52$ kart. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wylosujemy:\n",
+    "\n",
+    "* dokładnie 6 kierów,\n",
+    "* przynajmniej 6 kierów.\n",
+    "\n",
+    "**Uwaga:** Poniższy przykład wymaga zainstalowania i załadowania pakietu `stats`."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 3,
+   "id": "f55f0a",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] \"Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 6 kierów:  0.0162220001220703\"\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] 1.622200e-02 3.089905e-03 3.862381e-04 2.861023e-05 9.536743e-07\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] \"Prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej 6 kierów:  0.0197277069091797\"\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "# Zwróćmy uwagę, że ponieważ losujemy karty ze zwracaniem, to mamy do czynienia z niezależnymi powtórzeniami tego samego eksperymentu losowego\n",
+    "# Interesuje nas liczba kierów, więc jako sukces możemy przyjąć wylosowanie kiera\n",
+    "# Liczba powtórzeń wynosi n=10, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie to p=1/4 (bo w talii mamy 13 kierów)\n",
+    "p1=dbinom(6,10,1/4)\n",
+    "print(paste('Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 6 kierów: ', p1))\n",
+    "# W przypadku zdarzenia ,,wylosujemy przynajmniej 6 kierów'' jako x podamy wektor zawierający wszystkie interesujące nas liczby sukcesów\n",
+    "y=dbinom(6:10,10,1/4)\n",
+    "print(y)\n",
+    "# Zwróćmy uwagę, że zostanie zwrócony wektor prawdopodobieństw odpowiadający wszystkim możliwym liczbom sukcesów. Aby uzyskać odpowiedź musimy je zsumować\n",
+    "p2=sum(y)\n",
+    "print(paste('Prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej 6 kierów: ', p2))"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "772bd6",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "Mogą nas też interesować doświadczenia losowe polegające na powtarzaniu eksperymentu losowego o dwóch wynikach (ponownie umownie nazywanymi \"sukcesem\" i \"porażką\") do momentu osiągnięcia pierwszego sukcesu. Mamy wówczas do czynienia z tzw. *rozkładem geometrycznym* i możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że będziemy potrzebowali dokładnie $k$ prób na osiągnięcie pierwszego sukcesu zgodnie ze wzorem:\n",
+    "\n",
+    "$$\\sigma_k=p(1-p)^{k-1} \\ \\text{ dla } \\ k=1,2,\\ldots,$$\n",
+    "\n",
+    "gdzie $p$ oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W R prawdopodobieństwa tego typu można liczyć przy pomocy następującego polecenia z pakietu `stats`:\n",
+    "\n",
+    "`dgeom(x,prob)`,\n",
+    "\n",
+    "gdzie `x` oznacza wektor zawierający interesujące nas liczby porażek przed osiągnięciem pierwszego sukcesu, a `prob` prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.\n",
+    "\n",
+    "**Przykład 4** \n",
+    "\n",
+    "Losujemy wielokrotnie ze zwracaniem jedną kartę z talii $52$ kart do momentu wylosowania pierwszego kiera. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wykonamy:\n",
+    "\n",
+    "* dokładnie 6 losowań,\n",
+    "* co najwyżej 6 losowań,\n",
+    "* co najmniej 7 losowań.\n",
+    "\n",
+    "**Uwaga:** Poniższy przykład wymaga zainstalowania i załadowania pakietu `stats`."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 5,
+   "id": "a50388",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] \"Prawdopodobieństwo dokładnie 6 losowań:  0.059326171875\"\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] 0.25000000 0.18750000 0.14062500 0.10546875 0.07910156 0.05932617\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] \"Prawdopodobieństwo co najwyżej 6 losowań:  0.822021484375\"\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[1] \"Prawdopodobieństwo co najmniej 7 losowań:  0.177978515625\"\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "# Podobnie, jak w poprzednim przykładzie mamy do czynienia z niezależnymi powtórzeniami tego samego eksperymentu losowego, a sukcesem jest wylosowanie kiera\n",
+    "# Zwróćmy uwagę, że w poleceniu dgeom podajemy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem\n",
+    "p1=dgeom(5,1/4)\n",
+    "print(paste('Prawdopodobieństwo dokładnie 6 losowań: ', p1))\n",
+    "# W przypadku zdarzenia ,,wykonamy co najwyżej 6 losowań'' jako x podamy wektor zawierający wszystkie interesujące nas liczby porażek\n",
+    "y=dgeom(0:5,1/4)\n",
+    "print(y)\n",
+    "# Zwróćmy uwagę, że zostanie zwrócony wektor prawdopodobieństw odpowiadający wszystkim możliwym liczbom wykonanych losowań. Aby uzyskać odpowiedź musimy je zsumować\n",
+    "p2=sum(y)\n",
+    "print(paste('Prawdopodobieństwo co najwyżej 6 losowań: ', p2))\n",
+    "# W przypadku zdarzenia ,,wykonamy co najmniej 7 losowań'' nie będziemy tego rozbijać na wszystkie możliwe przypadki (bo byłoby ich nieskończenie wiele). Zamiast tego skorzystamy ze zdarzenia przeciwnego\n",
+    "p3=1-p2\n",
+    "print(paste('Prawdopodobieństwo co najmniej 7 losowań: ', p3))"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "f09dac",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "### Ogólne przestrzenie produktowe\n",
+    "\n",
+    "Na koniec pokażemy, jak możemy modelować przestrzenie produktowe w przypadku, gdy łączymy wyniki kilku różnych eksperymentów losowych. Wiemy już, że w takim przypadku zbiór zdarzeń elementarnych $\\Omega$ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów zdarzeń elementarnych odpowiadających poszczególnym eksperymentom losowym. W programie R do generowania iloczynu kartezjańskiego wektorów możemy użyć polecenia `expand.grid`. Jako argumenty należy podać wektory, których iloczyn kartezjański chcemy wyznaczyć. Jeśli podamy je w formie `tag=v`, to kolumna odpowiadająca wektorowi `v` będzie miała nazwę `tag`.\n",
+    "\n",
+    "**Przykład 5**\n",
+    "\n",
+    "Rzucamy jednokrotnie sześcienną sześcienną kostką i symetryczną monetą. Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu.\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 6,
+   "id": "6ddb94",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "outputs": [
+    {
+     "ename": "ERROR",
+     "evalue": "Error in probspace(Omega): could not find function \"probspace\"\n",
+     "output_type": "error",
+     "traceback": [
+      "Error in probspace(Omega): could not find function \"probspace\"\nTraceback:\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "# Najpierw generujemy zbiór zdarzeń elementarnych\n",
+    "Omega=expand.grid(k=1:6,m=c('O','R'))\n",
+    "# Następnie na tej podstawie generujemy przestrzeń probabilistyczną. W tym przypadku możemy przyjąć, że mamy do czynienia z modelem klasycznym\n",
+    "X=probspace(Omega)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "556d72",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "source": [
+    "Należ zwrócić uwagę, że jeśli definiujemy w R produktową przestrzeń probabilistyczną opierając się na przestrzeniach probabilistycznych, w których prawdopodobieństwo nie jest definiowane w sposób klasyczny, to musimy dodatkowo zdefiniować w odpowiedni sposób wektor prawdopodobieństw.\n",
+    "\n",
+    "**Przykład 6** \n",
+    "\n",
+    "Rzucamy jednokrotnie sześciokrotną kostką i monetą. Zakładamy, że na kostce jedno oczko wypada z prawdopodobieństwem 1/2, a pozostałe liczby oczek wypadają z prawdopodobieństwem 1/10. Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu. Następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A \\- wypadł orzeł i nieparzysta liczba oczek.\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 0,
+   "id": "3054f9",
+   "metadata": {
+    "collapsed": false
+   },
+   "outputs": [
+   ],
+   "source": [
+    "# Możemy wykorzystać zbiór zdarzeń elementarnych Omega wygenerowany w poprzednim przykładzie\n",
+    "# Zgodnie z definicją przestrzeni produktowej aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego (x,y) należy pomnożyć prawdopodobieństwa tych zdarzeń w pierwotnych przestrzeniach probabilistycznych\n",
+    "\n",
+    "p=rep(0,12)\n",
+    "for (i in 1:12) {\n",
+    "  if (Omega[i,1]==1) {\n",
+    "  p[i]=0.5*0.5} else {p[i]=0.1*0.5\n",
+    "}}\n",
+    "# Generujemy przestrzeń probabilistyczną\n",
+    "X2=probspace(Omega,p)\n",
+    "print(X2)\n",
+    "# Możemy teraz obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenie A\n",
+    "A=subset(Omega,(k %in% seq(1,6,by=2)) & (m=='O'))\n",
+    "print(Prob(A))\n",
+    "# Alternatywnie, można by wyznaczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia nieparzystej liczby oczek w przestrzeni rzutu kostką i prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w przestrzeni rzutu monetą i pomnożyć przez siebie te dwa prawdopodobieństwa\n",
+    "kostka=probspace(1:6,c(0.5,rep(0.1,5))) # Definiujemy przestrzeń związaną z rzutem kostką\n",
+    "A1=subset(kostka,(x %in% seq(1,6,by=2)))\n",
+    "moneta=probspace(c('O','R')) # Definiujemy przestrzeń związaną z rzutem monetą\n",
+    "A2=subset(moneta,x=='O')\n",
+    "pA=Prob(A1)*Prob(A2)\n",
+    "print(pA)"
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "kernelspec": {
+   "argv": [
+    "/usr/bin/R",
+    "-e",
+    "IRkernel::main()",
+    "--args",
+    "{connection_file}"
+   ],
+   "display_name": "R (system-wide)",
+   "env": {
+   },
+   "language": "r",
+   "metadata": {
+    "cocalc": {
+     "description": "R statistical programming language",
+     "priority": 10,
+     "url": "https://www.r-project.org/"
+    }
+   },
+   "name": "ir",
+   "resource_dir": "/ext/jupyter/kernels/ir"
+  }
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 4
+}