{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "7c6ce8",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "# Modelowanie przestrzeni probabilistycznych w języku R cz. 2 "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "9bb7a3",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "Kontynuujemy temat generowania przestrzeni probabilistycznych w języku R. Przypominamy, że większość interesujących nas funkcji znajduje się w pakiecie `probs`. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d77bdb",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "## Prawdopodobieństwo warunkowe\n",
    "\n",
    "Przypomnijmy, że jeśli dane są dwa zdarzenia $A$ i $B$ określone w tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz $\\mathbb{P}(B)>0$, to możemy zdefiniować prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$ w następujący sposób:\n",
    "\n",
    "$$\\mathbb{P}(A|B)=\\frac{\\mathbb{P}(A\\cap B)}{\\mathbb{P}(B)}.$$\n",
    "\n",
    "Jeśli chcemy obliczyć takie prawdopodobieństwo w języku R, możemy użyć polecenia \n",
    "\n",
    "`Prob(x, event=A, given=B)`, \n",
    "\n",
    "gdzie w miejscu $A$ i $B$ należy podać odpowiednie podzbiory w formie ramek danych lub formuły logicznej opisującej to zdarzenie. Jeśli $A$ zostanie wcześniej zdefiniowane jako podzbiór odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej, to można też użyć polecenia `Prob(A, given=B)`."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d1c017",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "**Przykład 1**\n",
    "\n",
    "Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest większa od $7$, jeśli wiemy, że w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 0,
   "id": "ad9ab4",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
   ],
   "source": [
    "# Definiujemy przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu\n",
    "kostki2 = rolldie(2, makespace=TRUE)\n",
    "# Definiujemy zdarzenia A i B. Skorzystamy z operatora %% (x %% y zwraca resztę z dzielenia x przez y)\n",
    "A = subset(kostki2, X1 %% 2 == 0)\n",
    "B = subset(kostki2, X1 + X2 > 7)\n",
    "# Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B)\n",
    "p = Prob(A, given=B)\n",
    "print(p)\n",
    "# Możemy porównać to prawdopodobieństwo do prawdopodobieństwa zdarzenia A\n",
    "p2 = Prob(A)\n",
    "print(p2)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2b95c8",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "## Przestrzenie produktowe\n",
    "\n",
    "Przypomnijmy, że jeśli dane są dwie przestrzenie probabilistyczne $(\\Omega_1, \\mathcal{F}_1, \\mathbb{P}_1)$ oraz $(\\Omega_2, \\mathcal{F}_2, \\mathbb{P}_2)$, to możemy zdefiniować ich produkt jako przestrzeń probabilistyczną $(\\Omega,\\mathcal{F},\\mathcal{P})$, gdzie $\\Omega = \\Omega_1\\times\\Omega_2$, $\\mathcal{F}$ zawiera wszystkie zbiory postaci $A_1\\times A_2\\in \\mathcal{F}_1\\times\\mathcal{F}_2$, oraz funkcja prawdopodobieństwa $\\mathbb{P}$ spełnia warunek\n",
    "\n",
    "$$ \\mathbb{P}(A_1\\times A_2) = \\mathbb{P}_1(A_1)\\cdot\\mathbb{P}_2(A_2).$$\n",
    "\n",
    "W analogiczny sposób możemy definiować produkt dowolnej, skończonej liczby przestrzeni probabilistycznych. W języku R istnieje kilka sposobów modelowania tego typu przestrzeni.\n",
    "\n",
    "### Niezależne powtórzenia tego samego eksperymentu losowego\n",
    "\n",
    "Załóżmy najpierw, że wielokrotnie w sposób niezależny powtarzamy ten sam eksperyment losowy, np. rzucamy $n$-krotnie standardową kostką sześcienną. Wówczas możemy użyć polecenia \n",
    "\n",
    "`iidspace(x, ntrials, probs=NULL)`,\n",
    "\n",
    "gdzie `x` oznacza wektor możliwych wyników w pojedynczym powtórzeniu eksperymentu losowego, `ntrials` podaje liczbę powtórzeń, a `probs` to wektor prawopodobieństw odpowiadający wynikom `x`. Jeśli wszystkie wyniki pojedynczego powtórzenia eksperymentu losowego są równo prawdopodobne, to możemy nie podawać wektora `probs`.\n",
    "\n",
    "**Przykład 2** \n",
    "\n",
    "Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą trzykrotnemu rzutowi czworościenną kostką przy założeniu, że:\n",
    "\n",
    "* kostka jest symetryczna (tzn. każdy wynik jest równo prawdopodobny),\n",
    "* prawdopodobieństwo wypadnięcia $1$ to $1/2$, a prawdopodobieństwo wypadnięcia dowolnej innej liczby oczek to $1/6$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 0,
   "id": "10630e",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
   ],
   "source": [
    "# Generujemy przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą 3-krotnemu rzutowi symetryczną kostką\n",
    "x = 1:4\n",
    "kostka_sym = iidspace(x, 3)\n",
    "print(kostka_sym)\n",
    "# Zwróćmy uwagę, że równoważnie można było w tym przypadku użyć polecenia rolldie(3, nsides=4, makespace=TRUE)\n",
    "# Generujemy przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą 3-krotnemu rzutowi ,,oszukaną'' kostką\n",
    "kostka_osz = iidspace(x, 3, probs = c(1/2, 1/6, 1/6, 1/6))\n",
    "print(kostka_osz)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b518a1",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "Szczególnym przypadkiem niezależnych powtórzeń tego samego eksperymentu losowego jest sytuacja, gdy ten eksperyment losowy ma tylko dwa możliwe wyniki umownie nazywane ,,sukcesem'' i ,,porażką''. Jeśli liczba powtórzeń eksperymentu losowego jest ustalona i skończona, to mamy wówczas do czynienia z tzw. **schematem Bernoulliego**. Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w tego typu doświadczeniu losowym jest wtedy równe:\n",
    "\n",
    "$$\\tau_k = {n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ \\text{ dla } \\ k=0,1,\\ldots,n,$$\n",
    "\n",
    "gdzie $n$ to liczba powtórzeń, a $p$ to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W R prawdopodobieństwa tego typu można liczyć przy pomocy następującego polecenia z pakietu `stats`:\n",
    "\n",
    "`dbinom(x, size, prob)`,\n",
    "\n",
    "gdzie `x` oznacza wektor zawierający interesujące nas liczby sukcesów, `size` oznacza liczbę powtórzeń, a `prob` prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.\n",
    "\n",
    "**Przykład 3** \n",
    "\n",
    "Losujemy $10$ razy, ze zwracaniem jedną kartę z talii $52$ kart. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wylosujemy:\n",
    "\n",
    "* dokładnie $6$ kierów,\n",
    "* przynajmniej $6$ kierów.\n",
    "\n",
    "**Uwaga:** Poniższy przykład wymaga zainstalowania i załadowania pakietu `stats`."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "f55f0a",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] \"Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 6 kierów:  0.0162220001220703\"\n"
     ]
    },
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] 1.622200e-02 3.089905e-03 3.862381e-04 2.861023e-05 9.536743e-07\n"
     ]
    },
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] \"Prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej 6 kierów:  0.0197277069091797\"\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "# Zwróćmy uwagę, że ponieważ losujemy karty ze zwracaniem, to mamy do czynienia z niezależnymi powtórzeniami tego samego eksperymentu losowego\n",
    "# Interesuje nas liczba kierów, więc jako sukces możemy przyjąć wylosowanie kiera\n",
    "# Liczba powtórzeń wynosi n=10, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie to p=1/4 (bo w talii mamy 13 kierów)\n",
    "p1 = dbinom(6, 10, 1/4)\n",
    "print(paste('Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 6 kierów: ', p1))\n",
    "# W przypadku zdarzenia ,,wylosujemy przynajmniej 6 kierów'' jako x podamy wektor zawierający wszystkie interesujące nas liczby sukcesów\n",
    "y = dbinom(6:10, 10, 1/4)\n",
    "print(y)\n",
    "# Zwróćmy uwagę, że zostanie zwrócony wektor prawdopodobieństw odpowiadający wszystkim możliwym liczbom sukcesów. Aby uzyskać odpowiedź musimy je zsumować\n",
    "p2 = sum(y)\n",
    "print(paste('Prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej 6 kierów: ', p2))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "772bd6",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "Mogą nas też interesować doświadczenia losowe polegające na powtarzaniu eksperymentu losowego o dwóch wynikach (ponownie umownie nazywanymi \"sukcesem\" i \"porażką\") do momentu osiągnięcia pierwszego sukcesu. Mamy wówczas do czynienia z tzw. **rozkładem geometrycznym** i możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że będziemy potrzebowali dokładnie $k$ prób na osiągnięcie pierwszego sukcesu zgodnie ze wzorem:\n",
    "\n",
    "$$\\sigma_k=p(1-p)^{k-1} \\ \\text{ dla } \\ k=1,2,\\ldots,$$\n",
    "\n",
    "gdzie $p$ oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W R prawdopodobieństwa tego typu można liczyć przy pomocy następującego polecenia z pakietu `stats`:\n",
    "\n",
    "`dgeom(x, prob)`,\n",
    "\n",
    "gdzie `x` oznacza wektor zawierający interesujące nas liczby porażek przed osiągnięciem pierwszego sukcesu, a `prob` prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.\n",
    "\n",
    "**Przykład 4** \n",
    "\n",
    "Losujemy wielokrotnie ze zwracaniem jedną kartę z talii $52$ kart do momentu wylosowania pierwszego kiera. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wykonamy:\n",
    "\n",
    "* dokładnie $6$ losowań,\n",
    "* co najwyżej $6$ losowań,\n",
    "* co najmniej $7$ losowań.\n",
    "\n",
    "**Uwaga:** Poniższy przykład wymaga zainstalowania i załadowania pakietu `stats`."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "id": "a50388",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] \"Prawdopodobieństwo dokładnie 6 losowań:  0.059326171875\"\n"
     ]
    },
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] 0.25000000 0.18750000 0.14062500 0.10546875 0.07910156 0.05932617\n"
     ]
    },
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] \"Prawdopodobieństwo co najwyżej 6 losowań:  0.822021484375\"\n"
     ]
    },
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1] \"Prawdopodobieństwo co najmniej 7 losowań:  0.177978515625\"\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "# Podobnie, jak w poprzednim przykładzie mamy do czynienia z niezależnymi powtórzeniami tego samego eksperymentu losowego, a sukcesem jest wylosowanie kiera\n",
    "# Zwróćmy uwagę, że w poleceniu dgeom podajemy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem\n",
    "p1 = dgeom(5, 1/4)\n",
    "print(paste('Prawdopodobieństwo dokładnie 6 losowań: ', p1))\n",
    "# W przypadku zdarzenia ,,wykonamy co najwyżej 6 losowań'' jako x podamy wektor zawierający wszystkie interesujące nas liczby porażek\n",
    "y = dgeom(0:5, 1/4)\n",
    "print(y)\n",
    "# Zwróćmy uwagę, że zostanie zwrócony wektor prawdopodobieństw odpowiadający wszystkim możliwym liczbom wykonanych losowań. Aby uzyskać odpowiedź musimy je zsumować\n",
    "p2 = sum(y)\n",
    "print(paste('Prawdopodobieństwo co najwyżej 6 losowań: ', p2))\n",
    "# W przypadku zdarzenia ,,wykonamy co najmniej 7 losowań'' nie będziemy tego rozbijać na wszystkie możliwe przypadki (bo byłoby ich nieskończenie wiele). Zamiast tego skorzystamy ze zdarzenia przeciwnego\n",
    "p3 = 1-p2\n",
    "print(paste('Prawdopodobieństwo co najmniej 7 losowań: ', p3))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f09dac",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "### Ogólne przestrzenie produktowe\n",
    "\n",
    "Na koniec pokażemy, jak możemy modelować przestrzenie produktowe w przypadku, gdy łączymy wyniki kilku różnych eksperymentów losowych. Wiemy już, że w takim przypadku zbiór zdarzeń elementarnych $\\Omega$ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów zdarzeń elementarnych odpowiadających poszczególnym eksperymentom losowym. W języku R do generowania iloczynu kartezjańskiego wektorów możemy użyć polecenia `expand.grid`. Jako argumenty należy podać wektory, których iloczyn kartezjański chcemy wyznaczyć. Jeśli podamy je w formie `tag=v`, to kolumna odpowiadająca wektorowi `v` będzie miała nazwę `tag`.\n",
    "\n",
    "**Przykład 5**\n",
    "\n",
    "Rzucamy jednokrotnie sześcienną kostką i symetryczną monetą. Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "id": "6ddb94",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
    {
     "ename": "ERROR",
     "evalue": "Error in probspace(Omega): could not find function \"probspace\"\n",
     "output_type": "error",
     "traceback": [
      "Error in probspace(Omega): could not find function \"probspace\"\nTraceback:\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "# Najpierw generujemy zbiór zdarzeń elementarnych\n",
    "Omega = expand.grid(k = 1:6, m = c('O', 'R'))\n",
    "# Następnie na tej podstawie generujemy przestrzeń probabilistyczną. W tym przypadku możemy przyjąć, że mamy do czynienia z modelem klasycznym\n",
    "X = probspace(Omega)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "556d72",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "source": [
    "Należy zwrócić uwagę, że jeśli definiujemy w R produktową przestrzeń probabilistyczną opierając się na przestrzeniach probabilistycznych, w których prawdopodobieństwo nie jest definiowane w sposób klasyczny, to musimy dodatkowo zdefiniować w odpowiedni sposób wektor prawdopodobieństw.\n",
    "\n",
    "**Przykład 6** \n",
    "\n",
    "Rzucamy jednokrotnie kostką i monetą. Zakładamy, że na kostce jedno oczko wypada z prawdopodobieństwem $1/2$, a pozostałe liczby oczek wypadają z prawdopodobieństwem $1/10$. Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu. Następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ \\- wypadł orzeł i nieparzysta liczba oczek.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 0,
   "id": "3054f9",
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
   ],
   "source": [
    "# Możemy wykorzystać zbiór zdarzeń elementarnych Omega wygenerowany w poprzednim przykładzie\n",
    "# Zgodnie z definicją przestrzeni produktowej aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego (x,y) należy pomnożyć prawdopodobieństwa tych zdarzeń w pierwotnych przestrzeniach probabilistycznych\n",
    "\n",
    "p = rep(0, 12)\n",
    "for (i in 1:12) {\n",
    "  if (Omega[i,1] == 1) {p[i] = 0.5*0.5} else {p[i] = 0.1*0.5}\n",
    "}\n", 
    "# Generujemy przestrzeń probabilistyczną\n",
    "X2 = probspace(Omega, p)\n",
    "print(X2)\n",
    "# Możemy teraz obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenie A\n",
    "A = subset(Omega, (k %in% seq(1, 6, by=2)) & (m == 'O'))\n",
    "print(Prob(A))\n",
    "# Alternatywnie, można by wyznaczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia nieparzystej liczby oczek w przestrzeni rzutu kostką i prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w przestrzeni rzutu monetą i pomnożyć przez siebie te dwa prawdopodobieństwa\n",
    "kostka = probspace(1:6, c(0.5, rep(0.1,5))) # Definiujemy przestrzeń związaną z rzutem kostką\n",
    "A1 = subset(kostka, (x %in% seq(1, 6, by=2)))\n",
    "moneta = probspace(c('O', 'R')) # Definiujemy przestrzeń związaną z rzutem monetą\n",
    "A2 = subset(moneta, x == 'O')\n",
    "pA = Prob(A1) * Prob(A2)\n",
    "print(pA)"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "argv": [
    "/usr/bin/R",
    "-e",
    "IRkernel::main()",
    "--args",
    "{connection_file}"
   ],
   "display_name": "R (system-wide)",
   "env": {
   },
   "language": "r",
   "metadata": {
    "cocalc": {
     "description": "R statistical programming language",
     "priority": 10,
     "url": "https://www.r-project.org/"
    }
   },
   "name": "ir",
   "resource_dir": "/ext/jupyter/kernels/ir"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}