17 KiB
- Neuronowy n-gramowy model języka
Neuronowy n-gramowy model języka
Omówiony w poprzedniej części neuronowy bigramowy model języka warunkuje kolejny wyraz jedynie względem bezpośrednio poprzedzającego — jak w każdym bigramowym modelu przyjmujemy założenie, że $w_i$ zależy tylko od $w_{i-1}$. Rzecz jasna jest to bardzo duże ograniczenie, w rzeczywistości bardzo często prawdopodobieństwo kolejnego wyrazu zależy od wyrazu dwie, trzy, cztery itd. pozycje wstecz czy w ogólności od wszystkich wyrazów poprzedzających (bez względu na ich pozycje).
Pytanie: Wskaż zależności o zasięgu większym niż 1 wyraz w zdaniu /Zatopieni w kłębach dymu cygar i pochyleni nad butelkami z ciemnego szkła obywatele tej dzielnicy, jedni zakładali się o wygranę lub przegranę Anglii, drudzy o bankructwo Wokulskiego; jedni nazywali geniuszem Bismarcka, drudzy — awanturnikiem Wokulskiego; jedni krytykowali postępowanie prezydenta MacMahona, inni twierdzili, że Wokulski jest zdecydowanym wariatem, jeżeli nie czymś gorszym…/
Trigramowy neuronowy model języka
Spróbujmy najpierw rozszerzyć nasz model na trigramy, to znaczy będziemy przewidywać słowo $w_i$ na podstawie słów $w_{i-2}$ i $w_{i-1}$.
Najprostsze rozwiązanie polegałoby na zanurzeniu pary $(w_{i-2}, w_{i-1})$ w całości i postępowaniu jak w przypadku modelu bigramowego. Byłoby to jednak zupełnie niepraktyczne, jako że:
- liczba zanurzeń do wyuczenia byłaby olbrzymia ($|V|^2$ — byłoby to ewentualnie akceptowalne dla modeli operujących na krótszych jednostkach niż słowa, np. na znakach),
- w szczególności zanurzenia dla par $(v, u)$, $(u, v)$, $(u, u)$ i $(v, v)$ nie miałyby ze sobą nic wspólnego.
Konketanacja zanurzeń
Właściwsze rozwiązanie polega na zanurzeniu dalej pojedynczych słów i następnie ich konkatenowaniu.
Przypomnijmy, że konkatenacja wektorów $\vec{x_1}$ i $\vec{x_2}$ to wektor o rozmiarze $|\vec{x_1}| + |\vec{x_2}|$ powstały ze „sklejania” wektorów $\vec{x_1}$ i $\vec{x_2}$. Konkatenację wektorów $\vec{x_1}$ i $\vec{x_2}$ będziemy oznaczać za pomocą $[\vec{x_1}, \vec{x_2}]$.
Przykład: jeśli $\vec{x_1} = [-1, 2, 0]$ i $\vec{x_2} = [3, -3]$, wówczas $[\vec{x_1}, \vec{x_2}] = [-1, 2, 0, 3, -3]$
Oznacza to, że nasza macierz „kontekstowa” $C$ powinna mieć w modelu trigramowym rozmiar nie $|V| \times m$, lecz $|V| \times (m+m)$ = $|V| \times 2m$ i wyjście będzie zdefiniowane za pomocą wzoru:
$$\vec{y} = \operatorname{softmax}(C[E(w_{i-2}),E(w_{i-1})]),$$
co można przedstawić za pomocą następującego schematu:
Rozbicie macierzy $C$
Zamiast mnożyć macierz $C$ przez konkatenację dwóch wektorów, można rozbić macierz $C$ na dwie, powiedzmy $C_{-2}$ i $C_{-1}$, przemnażać je osobno przez odpowiadające im wektory i następnie dodać macierze, tak aby:
$$C[E(w_{i-2}),E(w_{i-1})] = C_{-2}E(w_{i-2}) + C_{-1}E(w_{i-1}).$$
Macierze $C_{-2}$ i $C_{-1}$ będą miały rozmiar $|V| \times m$.
Przy tym podejściu możemy powiedzieć, że ostatni i przedostatni wyraz mają swoje osobne macierze o potencjalnie różnych wagach — co ma sens, jako że na inne aspekty zwracamy uwagę przewidując kolejne słowo na podstawie wyrazu bezpośrednio poprzedzającego, a na inne — na podstawie słowa występującego dwie pozycje wcześniej.
Uogólnienie na $n$-gramowy model języka dla dowolnego $n$
Łatwo uogólnić opisany wyżej trigramowy model języka dla dowolnego $n$. Uogólniony model można przedstawić za pomocą wzoru:
$$\vec{y} = \operatorname{softmax}(C[E(w_{i-n+1}),\dots,E(w_{i-1})]),$$
gdzie macierz $C$ ma rozmiar $|V| \times nm$ lub za pomocą wzoru:
$$\vec{y} = \operatorname{softmax}(C_{-(n-1)}E(w_{i-n+1}) + \dots + C_{-1}E(w_{i-1}),$$
gdzie macierze $C_{-(n-1)}$, …, $C_{-1}$ mają rozmiary $|V| \times m$.
Por. diagram:
Dodanie kolejnej warstwy
W wypadku trigramowego czy — ogólniej — n-gramowego modelu języka dla $n \geq 3$ warto dodać kolejną (ukrytą) warstwę, na którą będziemy rzutować skonkatenowane embeddingi, zanim zrzutujemy je do długiego wektora prawdopodobieństw.
Zakładamy, że warstwa ukryta zawiera $h$ neuronów. Wartość $h$ powinna być mniejsza niż $nm$ (a może nawet od $m$).
Pytanie: Dlaczego wartość $h > nm$ nie jest racjonalnym wyborem?
Pytanie: Dlaczego dodanie kolejnej warstwy nie ma sensu dla modelu bigramowego?
Funkcja aktywacji
Aby warstwa ukryta wnosiła coś nowego, na wyjściu z tej funkcji musimy (dlaczego?) zastosować nieliniową funkcji aktywacji. Zazwyczaj jako funkcji aktywacji w sieciach neuronowych używa się funkcji ReLU albo funkcji sigmoidalnej. W prostych neuronowych modelach języka sprawdza się też tangens hiperboliczny (tgh, w literaturze anglojęzycznej tanh):
$$\operatorname{tgh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
import torch.nn as nn
x = torch.linspace(-5,5,100)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
a = torch.Tensor(x.size()[0]).fill_(2.)
m = torch.stack([x, a])
plt.plot(x, nn.functional.tanh(m)[0])
fname = '08_Neuronowy_ngramowy_model/tanh.png'
plt.savefig(fname)
fname
Tangens hiperboliczny zastosowany dla wektora
Tangens hiperboliczny wektora będzie po prostu wektorem tangensów hiperbolicznych poszczególnych wartości.
import torch
import torch.nn as nn
v = torch.Tensor([-100, -2.0, 0.0, 0.5, 1000.0])
nn.functional.tanh(v)Wzór i schemat dwuwarstwowego n-gramowego neuronowego modelu języka
Dwuwarstwowy model języka będzie określony następującym wzorem:
$$\vec{y} = \operatorname{softmax}(C\operatorname{tgh}(W[E(w_{i-n+1}),\dots,E(w_{i-1})])),$$
gdzie:
- $W$ jest wyuczalną macierzą wag o rozmiarze $h \times nm$,
- $C$ będzie macierzą o rozmiarze $|V| \times h$.
Zmodyfikowaną sieć można przedstawić za pomocą następującego schematu:
Liczba wag w modelu dwuwarstwowym
Na wagi w modelu dwuwarstwowym składają się:
- zanurzenia: $m|V|$,
- wagi warstwy ukrytej: $hnm$,
- wagi warstwy wyjściowej: $|V|h$,
a zatem łącznie:
$$m|V| + hnm + |V|h$$
Jeśli $h \approx m$ (co jest realistyczną opcją), wówczas otrzymamy oszacowanie:
$$O(m|V| + nm^2).$$
Zauważmy, że względem $n$ oznacza to bardzo korzystną złożoność $O(n)$! Oznacza to, że nasz model może działać dla dużo większych wartości $n$ niż tradycyjny, statystyczny n-gramowy model języka (dla którego wartości $n > 5$ zazwyczaj nie mają sensu).
Model worka słów
Jak stwierdziliśmy przed chwilą, dwuwarstwowy n-gramowy model języka może działać dla stosunkowo dużego $n$. Zauważmy jednak, że istnieje pewna słabość tego modelu. Otóż o ile intuicyjnie ma sens odróżniać słowo poprzedzające, słowo występujące dwie pozycje wstecz i zapewne trzy pozycje wstecz, a zatem uczyć się osobnych macierzy $C_{-1}$, $C_{-2}$, $C_{-3}$ to różnica między wpływem słowa występującego cztery pozycje wstecz i pięć pozycji wstecz jest już raczej nieistotna; innymi słowy różnica między macierzami $C_{-4}$ i $C_{-5}$ będzie raczej niewielka i sieć niepotrzebnie będzie uczyła się dwukrotnie podobnych wag. Im dalej wstecz, tym różnica wpływu będzie jeszcze mniej istotna, można np. przypuszczać, że różnica między $C_{-10}$ i $C_{-13}$ nie powinna być duża.
Spróbujmy najpierw zaproponować radykalne podejście, w którym nie będziemy w ogóle uwzględniać pozycji słów (lub będziemy je uwzględniać w niewielkim stopniu), później połączymy to z omówionym wcześniej modelem $n$-gramowym.
Agregacja wektorów
Zamiast patrzeć na kilka poprzedzających słów, można przewidywać na podstawie całego ciągu słów poprzedzających odgadywane słowo. Zauważmy jednak, że sieć neuronowa musi mieć ustaloną strukturę, nie możemy zmieniać jej rozmiaru. Musimy zatem najpierw zagregować cały ciąg do wektora o stałej długości. Potrzebujemy zatem pewnej funkcji agregującej $A$, takiej by $A(w_1,\dots,w_{i-1})$ było wektorem o stałej długości, niezależnie od $i$.
Worek słów
Najprostszą funkcją agregującą jest po prostu… suma. Dodajemy po prostu zanurzenia słów:
$$A(w_1,\dots,w_{i-1}) = E(w_1) + \dots + E(w_{i-1}) = \sum_{j=1}^{i-1} E(w_j).$$
Uwaga: zanurzenia słów nie zależą od pozycji słowa (podobnie było w wypadku n-gramowego modelu!).
Jeśli rozmiar zanurzenia (embeddingu) wynosi $m$, wówczas rozmiar wektora uzyskanego dla całego poprzedzającego tekstu wynosi również $m$.
Proste dodawanie wydaje się bardzo „prostacką” metodą, a jednak suma wektorów słów jest zaskakująco skuteczną metodą zanurzenia (embedowania) całych tekstów (doc2vec). Prostym wariantem dodawania jest obliczanie średniej wektorów:
$$A(w_1,\dots,w_{i-1}) = \frac{E(w_1) + \dots + E(w_{i-1})}{i-1} = \frac{\sum_{j=1}^{i-1} E(w_j)}{i-1}.$$
Tak czy siak uzyskany wektor nie zależy od kolejności słów (dodawanie jest przemienne i łączne!). Mówimy więc o worku słów (bag of words, BoW) — co ma symbolizować fakt, że słowa są przemieszane, niczym produkty w torbie na zakupy.
Schemat graficzny modelu typu worek słów
Po zanurzeniu całego poprzedzającego tekstu postępujemy podobnie jak w modelu bigramowym — rzutujemy embedding na długi wektor wartości, na którym stosujemy funkcję softmax:
Odpowiada to wzorowi:
$$y = \operatorname{softmax}(C\sum_{j=1}^{i-1} E(w_j)).$$
Jak traktować powtarzające się słowa?
Według wzoru podanego wyżej, jeśli słowo w poprzedzającym tekście pojawia się więcej niż raz, jego embedding zostanie zsumowany odpowiednią liczbę razy. Na przykład embedding tekstu to be or not to be będzie wynosił:
$$E(\mathrm{to}) + E(\mathrm{be}) + E(\mathrm{or}) + E(\mathrm{not}) + E(\mathrm{to}) + E(\mathrm{be}) = 2E(\mathrm{to}) + 2E(\mathrm{be}) + E(\mathrm{or}) + E(\mathrm{not}).$$
Innymi słowy, choć w worku słów nie uwzględniamy kolejności słów, to liczba wystąpień ma dla nas ciągle znaczenie. Można powiedzieć, że traktujemy poprzedzający tekst jako multizbiór (struktura matematyczna, w której nie uwzględnia się kolejności, choć zachowana jest informacja o liczbie wystąpień).
Zbiór słów
Oczywiście moglibyśmy przy agregowaniu zanurzeń pomijać powtarzające się słowa, a zatem zamiast multizbioru słów rozpatrywać po prostu ich zbiór:
$$A(w_1,\dots,w_{i-1}) = \sum_{w \in \{w_1,\dots,w_{i-1}\}} E(w).$$
Jest kwestią dyskusyjną, czy to lepsze czy gorsze podejście — w końcu liczba wystąpień np. słów Ukraina czy Polska może wpływać w jakimś stopniu na prawdopodobieństwo kolejnego słowa (Kijów czy Warszawa?).
Worek słów a wektoryzacja tf
Wzór na sumę zanurzeń słów można przekształcić w taki sposób, by sumować po wszystkich słowach ze słownika, zamiast po słowach rzeczywiście występujących w tekście:
$$A(w_1,\dots,w_{i-1}) = \sum_{j=1}^{i-1} E(w_j) = \sum_{w \in V} \#wE(w)$$
gdzie $\#w$ to liczba wystąpień słowa $w$ w ciagu $w_1,\dots,w_{i-1}$ (w wielu przypadkach równa zero!).
Jeśli teraz zanurzenia będziemy reprezentować jako macierz $E$ (por. poprzedni wykład), wówczas sumę można przedstawić jako iloczyn macierzy $E$ i pewnego wektora:
$$A(w_1,\dots,w_{i-1}) = E(w) [\#w^1,\dots,\#w^{|V|}]^T.$$
(Odróżniamy $w^i$ jako $i$-ty wyraz w słowniku $V$ od $w_i$ jako $i$-tego wyraz w rozpatrywanym ciągu).
Zwróćmy uwagę, że wektor $[\#w_1,\dots,\#w_{|V|}]$ to po prostu reprezentacja wektora poprzedzającego tekstu (tj. ciągu $(w_1,\dots,w_{i-1})$) przy użyciu schematu wektoryzacji tf (term frequency). Przypomnijmy, że tf to reprezentacja tekstu przy użyciu wektorów o rozmiarze $|V|$ — na każdej pozycji odnotowujemy liczbę wystąpień. Wektory tf są rzadkie, tj. na wielu pozycjach zawierają zera.
Innymi słowy, nasz model języka bag of words można przedstawić za pomocą wzoru:
$$y = \operatorname{softmax}(C\operatorname{tf}(w_1,\dots,w_{i-1})),$$
co można zilustrować w następujący sposób:
Można stwierdzić, że zanurzenie tekstu przekształca rzadki, długi wektor tf w gęsty, krótki wektor.
Ważenie słów
Czy wszystkie słowa są tak samo istotne? Rzecz jasna, nie:
- jak już wiemy z naszych rozważań dotyczących n-gramowych modeli języka, słowa bezpośrednio poprzedzające odgadywany wyraz mają większy wpływ niż słowa wcześniejsze; intuicyjnie, wpływ słów stopniowo spada — tym bardziej, im bardziej słowo jest oddalone od słowa odgadywanego;
- jak wiemy z wyszukiwania informacji, słowa, które występują w wielu tekstach czy dokumentach, powinny mieć mniejsze znaczenie, w skrajnym przypadku słowa występujące w prawie każdym tekście (że, w, i itd.) powinny być praktycznie pomijane jako stop words (jeśli rozpatrywać je w „masie” worka słów — oczywiście to, czy słowo poprzedzające odgadywane słowo to że, w czy i ma olbrzymie znaczenie!).
Zamiast po prostu dodawać zanurzenia, można operować na sumie (bądź średniej) ważonej:
$$\sum_{j=1}^{i-1} \omega(j, w_j)E(w_j),$$
gdzie $\omega(j, w_j)$ jest pewną wagą, która może zależeć od pozycji $j$ lub samego słowa $w_j$.
Uwzględnienie pozycji
Można w pewnym stopniu złamać „workowatość” naszej sieci przez proste uwzględnienie pozycji słowa, np. w taki sposób:
$$\omega(j, w_j) = \beta^{i-j-1},$$
dla pewnego hiperparametru $\beta$. Na przykład jeśli $\beta=0,9$, wówczas słowo bezpośrednio poprzedzające dane słowo ma $1 / 0,9^9 \approx 2,58$ większy wpływ niż słowo występujące 10 pozycji wstecz.
Odwrócona częstość dokumentowa
Aby większą wagę przykładać do słów występujących w mniejszej liczbie dokumentów, możemy użyć, znanej z wyszukiwania informacji, odwrotnej częstości dokumentowej (inverted document frequency, idf):
$$\omega(j, w_j) = \operatorname{idf}_S(w_j) = \operatorname{log}\frac{|S|}{\operatorname{df}_S(w_j)},$$
gdzie:
- $S$ jest pewną kolekcją dokumentów czy tekstów, z którego pochodzi przedmiotowy ciąg słów,
- $\operatorname{df}_S(w)$ to częstość dokumentowa słowa $w$ w kolekcji $S$, tzn. odpowiedź na pytanie, w ilu dokumentach występuje $w$.
Rzecz jasna, ten sposób ważenia oznacza tak naprawdę zastosowanie wektoryzacji tf-idf zamiast tf, nasza sieć będzie dana zatem wzorem:
$$y = \operatorname{softmax}(C\operatorname{tfidf}(w_1,\dots,w_{i-1})).$$
Bardziej skomplikowane sposoby ważenia słów
Można oczywiście połączyć odwrotną częstość dokumentową z uwzględnieniem pozycji słowa:
$$\omega(j, w_j) = \beta^{i-j-1}\operatorname{idf}_S(w_j).$$
Uwaga: „wagi” $\omega(j, w_j)$ nie są tak naprawdę wyuczalnymi wagami (parametrami) naszej sieci neuronowej, terminologia może być tutaj myląca. Z punktu widzenia sieci neuronowej $\omega(j, w_j)$ są stałe i nie są optymalizowane w procesie propagacji wstecznej. Innymi słowy, tak zdefiniowane $\omega(j, w_j)$ zależą tylko od:
- hiperparametru $\beta$, który może być optymalizowany już poza siecią (w procesie hiperoptymalizacji),
- wartości $\operatorname{idf}_S(w_j)$ wyliczanych wcześniej na podstawie kolekcji $S$.
Pytanie: czy wagi $\omega(j, w_j)$ mogłyby sensownie uwzględniać jakieś parametry wyuczalne z całą siecią?
Modelowanie języka przy użyciu bardziej złożonych neuronowych sieci feed-forward
Można połączyć zalety obu ogólnych podejść (n-gramowego modelu i worka słów) — można równocześnie traktować w specjalny sposób (na przykład) dwa poprzedzające wyrazy, wszystkie zaś inne wyrazy reprezentować jako „tło” modelowane za pomocą worka słów lub podobnej reprezentacji. Osiągamy to poprzez konkatenację wektora poprzedzającego słowa, słowa występującego dwie pozycje wstecz oraz zagregowanego zanurzenia całego wcześniejszego tekstu:
$$y = \operatorname{softmax}(C[E(w_{i-1}),E(w_{i-2}),A(w_1,\dots,w_{i-3})]),$$
czy lepiej z dodatkową warstwą ukrytą:
$$y = \operatorname{softmax}(C\operatorname{tgh}(W[E(w_{i-1}),E(w_{i-2}),A(w_1,\dots,w_{i-3})])),$$
W tak uzyskanym dwuwarstwowym neuronowym modelu języka, łączącym model trigramowy z workiem słów, macierz $W$ ma rozmiar $h \times 3m$.
Pytanie: jakie mamy możliwości, jeśli zamiast przewidywać kolejne słowo, mamy za zadanie odgadywać słowo w luce (jak w wyzwaniach typu word gap)?
Literatura
Skuteczny n-gramowy neuronowy model języka opisano po raz pierwszy w pracy A Neural Probabilistic Language Model autorstwa Yoshua Bengio i in.