26 KiB
- Języki i ich prawa
Języki i ich prawa
Jakim rozkładom statystycznym podlegają języki?
Język naturalny albo „Pan Tadeusz” w liczbach
Przygotujmy najpierw „infrastrukturę” do segmentacji tekstu na różnego rodzaju jednostki. Używać będziemy generatorów.
Pytanie Dlaczego generatory zamiast list?
import requests
url = 'https://wolnelektury.pl/media/book/txt/pan-tadeusz.txt'
pan_tadeusz = requests.get(url).content.decode('utf-8')
pan_tadeusz[100:150]Księga pierwsza
Gospodarstwo
Powrót pani
Znaki
from itertools import islice
def get_characters(t):
yield from t
list(islice(get_characters(pan_tadeusz), 100, 150))['K', 's', 'i', 'ę', 'g', 'a', ' ', 'p', 'i', 'e', 'r', 'w', 's', 'z', 'a', '\r', '\n', '\r', '\n', '\r', '\n', '\r', '\n', 'G', 'o', 's', 'p', 'o', 'd', 'a', 'r', 's', 't', 'w', 'o', '\r', '\n', '\r', '\n', 'P', 'o', 'w', 'r', 'ó', 't', ' ', 'p', 'a', 'n', 'i']
from collections import Counter
c = Counter(get_characters(pan_tadeusz))
cCounter({' ': 63444, 'a': 30979, 'i': 29353, 'e': 25343, 'o': 23050, 'z': 22741, 'n': 15505, 'r': 15328, 's': 15255, 'w': 14625, 'c': 14153, 'y': 13732, 'k': 12362, 'd': 11465, '\r': 10851, '\n': 10851, 't': 10757, 'm': 10269, 'ł': 10059, ',': 9130, 'p': 8031, 'u': 7699, 'l': 6677, 'j': 6586, 'b': 5753, 'ę': 5534, 'ą': 4794, 'g': 4775, 'h': 3915, 'ż': 3334, 'ó': 3097, 'ś': 2524, '.': 2380, 'ć': 1956, ';': 1445, 'P': 1265, 'W': 1258, ':': 1152, '!': 1083, 'S': 1045, 'T': 971, 'I': 795, 'N': 793, 'Z': 785, 'J': 729, '—': 720, 'A': 698, 'K': 683, 'ń': 651, 'M': 585, 'B': 567, 'O': 567, 'C': 556, 'D': 552, '«': 540, '»': 538, 'R': 489, '?': 441, 'ź': 414, 'f': 386, 'G': 358, 'L': 316, 'H': 309, 'Ż': 219, 'U': 184, '…': 157, '*': 150, '(': 76, ')': 76, 'Ś': 71, 'F': 47, 'é': 43, '-': 33, 'Ł': 24, 'E': 23, '/': 19, 'Ó': 13, '8': 10, '9': 8, '2': 6, 'v': 5, 'Ź': 4, '1': 4, '3': 3, 'x': 3, 'V': 3, '7': 2, '4': 2, '5': 2, 'q': 2, 'æ': 2, 'à': 1, 'Ć': 1, '6': 1, '0': 1})
Napiszmy pomocniczą funkcję, która zwraca listę frekwencyjną.
Counter({' ': 63444, 'a': 30979, 'i': 29353, 'e': 25343, 'o': 23050, 'z': 22741, 'n': 15505, 'r': 15328, 's': 15255, 'w': 14625, 'c': 14153, 'y': 13732, 'k': 12362, 'd': 11465, '\r': 10851, '\n': 10851, 't': 10757, 'm': 10269, 'ł': 10059, ',': 9130, 'p': 8031, 'u': 7699, 'l': 6677, 'j': 6586, 'b': 5753, 'ę': 5534, 'ą': 4794, 'g': 4775, 'h': 3915, 'ż': 3334, 'ó': 3097, 'ś': 2524, '.': 2380, 'ć': 1956, ';': 1445, 'P': 1265, 'W': 1258, ':': 1152, '!': 1083, 'S': 1045, 'T': 971, 'I': 795, 'N': 793, 'Z': 785, 'J': 729, '—': 720, 'A': 698, 'K': 683, 'ń': 651, 'M': 585, 'B': 567, 'O': 567, 'C': 556, 'D': 552, '«': 540, '»': 538, 'R': 489, '?': 441, 'ź': 414, 'f': 386, 'G': 358, 'L': 316, 'H': 309, 'Ż': 219, 'U': 184, '…': 157, '*': 150, '(': 76, ')': 76, 'Ś': 71, 'F': 47, 'é': 43, '-': 33, 'Ł': 24, 'E': 23, '/': 19, 'Ó': 13, '8': 10, '9': 8, '2': 6, 'v': 5, 'Ź': 4, '1': 4, '3': 3, 'x': 3, 'V': 3, '7': 2, '4': 2, '5': 2, 'q': 2, 'æ': 2, 'à': 1, 'Ć': 1, '6': 1, '0': 1})
from collections import Counter
from collections import OrderedDict
def freq_list(g, top=None):
c = Counter(g)
if top is None:
items = c.items()
else:
items = c.most_common(top)
return OrderedDict(sorted(items, key=lambda t: -t[1]))
freq_list(get_characters(pan_tadeusz), top=8)OrderedDict([(' ', 63444), ('a', 30979), ('i', 29353), ('e', 25343), ('o', 23050), ('z', 22741), ('n', 15505), ('r', 15328)])
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict
def rang_freq_with_labels(name, g, top=None):
freq = freq_list(g, top)
plt.figure(figsize=(12, 3))
plt.ylabel('liczba wystąpień')
plt.bar(freq.keys(), freq.values())
fname = f'{name}.png'
plt.savefig(fname)
return fname
rang_freq_with_labels('pt-chars', get_characters(pan_tadeusz))/filipg/aitech-moj/src/commit/96e96c56706448f1328cf8751bd1cfe7641b170d/wyk/
Słowa
Co rozumiemy pod pojęciem słowa czy wyrazu, nie jest oczywiste. W praktyce zależy to od wyboru tokenizatora.
Załóżmy, że przez wyraz rozumieć będziemy nieprzerwany ciąg liter bądź cyfr (oraz gwiazdek — to za chwilę ułatwi nam analizę pewnego tekstu…).
from itertools import islice
import regex as re
def get_words(t):
for m in re.finditer(r'[\p{L}0-9\*]+', t):
yield m.group(0)
list(islice(get_words(pan_tadeusz), 100, 130))['Ty', 'co', 'gród', 'zamkowy', 'Nowogródzki', 'ochraniasz', 'z', 'jego', 'wiernym', 'ludem', 'Jak', 'mnie', 'dziecko', 'do', 'zdrowia', 'powróciłaś', 'cudem', 'Gdy', 'od', 'płaczącej', 'matki', 'pod', 'Twoją', 'opiekę', 'Ofiarowany', 'martwą', 'podniosłem', 'powiekę', 'I', 'zaraz']
Zobaczmy 20 najczęstszych wyrazów.
rang_freq_with_labels('pt-words-20', get_words(pan_tadeusz), top=20)
Zobaczmy pełny obraz, już bez etykiet.
import matplotlib.pyplot as plt
from math import log
def rang_freq(name, g):
freq = freq_list(g)
plt.figure().clear()
plt.plot(range(1, len(freq.values())+1), freq.values())
fname = f'{name}.png'
plt.savefig(fname)
return fname
rang_freq('pt-words', get_words(pan_tadeusz))
Widać, jak różne skale obejmuje ten wykres. Zastosujemy logartm, najpierw tylko do współrzędnej y.
import matplotlib.pyplot as plt
from math import log
def rang_log_freq(name, g):
freq = freq_list(g)
plt.figure().clear()
plt.plot(range(1, len(freq.values())+1), [log(y) for y in freq.values()])
fname = f'{name}.png'
plt.savefig(fname)
return fname
rang_log_freq('pt-words-log', get_words(pan_tadeusz))
Pytanie Dlaczego widzimy coraz dłuższe „schodki”?
Hapax legomena
Z poprzedniego wykresu możemy odczytać, że ok. 2/3 wyrazów wystąpiło dokładnie 1 raz. Słowa występujące jeden raz w danym korpusie noszą nazwę hapax legomena (w liczbie pojedynczej hapax legomenon, ἅπαξ λεγόμενον, „raz powiedziane”, żargonowo: „hapaks”).
„Prawdziwe” hapax legomena, słowa, które wystąpiły tylko raz w całym korpusie tekstów danego języka (np. starożytnego) rzecz jasna sprawiają olbrzymie trudności w tłumaczeniu. Przykładem jest greckie słowo ἐπιούσιος, przydawka odnosząca się do chleba w modlitwie „Ojcze nasz”. Jest to jedyne poświadczenie tego słowa w całym znanym korpusie greki (nie tylko z Pisma Świętego). W języku polskim tłumaczymy je na „powszedni”, ale na przykład w rosyjskim przyjął się odpowiednik „насущный” — o przeciwstawnym do polskiego znaczeniu!
W sumie podobne problemy hapaksy mogą sprawiać metodom statystycznym przy przetwarzaniu jakiekolwiek korpusu.
Wykres log-log
Jeśli wspomniany wcześniej wykres narysujemy używając skali logarytmicznej dla obu osi, otrzymamy kształt zbliżony do linii prostej.
Tę własność tekstów nazywamy prawem Zipfa.
import matplotlib.pyplot as plt
from math import log
def log_rang_log_freq(name, g):
freq = freq_list(g)
plt.figure().clear()
plt.plot([log(x) for x in range(1, len(freq.values())+1)], [log(y) for y in freq.values()])
fname = f'{name}.png'
plt.savefig(fname)
return fname
log_rang_log_freq('pt-words-log-log', get_words(pan_tadeusz))
Związek między frekwencją a długością
Powiązane z prawem Zipfa prawo językowe opisuje zależność między częstością użycia słowa a jego długością. Generalnie im krótsze słowo, tym częstsze.
def freq_vs_length(name, g, top=None):
freq = freq_list(g)
plt.figure().clear()
plt.scatter([len(x) for x in freq.keys()], [log(y) for y in freq.values()],
facecolors='none', edgecolors='r')
fname = f'{name}.png'
plt.savefig(fname)
return fname
freq_vs_length('pt-lengths', get_words(pan_tadeusz))
N-gramy
W modelowaniu języka często rozpatruje się n-gramy, czyli podciągi o rozmiarze $n$.
Na przykład digramy (bigramy) to zbitki dwóch jednostek, np. liter albo wyrazów.
| $n$ | $n$-gram | nazwa |
|---|---|---|
| 1 | 1-gram | unigram |
| 2 | 2-gram | digram/bigram |
| 3 | 3-gram | trigram |
| 4 | 4-gram | tetragram |
| 5 | 5-gram | pentagram |
Pytanie: Jak nazywa się 6-gram?
Jak widać, dla symetrii mówimy czasami o unigramach, jeśli operujemy po prostu na jednostkach, nie na ich podciągach.
N-gramy z Pana Tadeusza
Statystyki, które policzyliśmy dla pojedynczych liter czy wyrazów możemy powtórzyć dla n-gramów.
def ngrams(iter, size):
ngram = []
for item in iter:
ngram.append(item)
if len(ngram) == size:
yield tuple(ngram)
ngram = ngram[1:]
list(ngrams("kotek", 3))[('k', 'o', 't'), ('o', 't', 'e'), ('t', 'e', 'k')]
Zauważmy, że policzyliśmy wszystkie n-gramy, również częściowo pokrywające się.
Zawsze powinniśmy się upewnić, czy jest jasne, czy chodzi o n-gramy znakowe czy wyrazowe
3-gramy znakowe
log_rang_log_freq('pt-3-char-ngrams-log-log', ngrams(get_characters(pan_tadeusz), 3))
2-gramy wyrazowe
log_rang_log_freq('pt-2-word-ngrams-log-log', ngrams(get_words(pan_tadeusz), 3))
Tajemniczy język Manuskryptu Wojnicza
Manuskrypt Wojnicza to powstały w XV w. manuskrypt spisany w tajemniczym alfabecie, do dzisiaj nieodszyfrowanym. Rękopis stanowi jedną z największych zagadek historii (i lingwistyki).
Sami zbadajmy statystyczne własności tekstu manuskryptu. Użyjmy transkrypcji Vnow, gdzie poszczególne znaki tajemniczego alfabetu zamienione na litery alfabetu łacińskiego, cyfry i gwiazdkę. Jak transkrybować manuskrypt, pozostaje sprawą dyskusyjną, natomiast wybór takiego czy innego systemu transkrypcji nie powinien wpływać dramatycznie na analizę statystyczną.
import requests
voynich_url = 'http://www.voynich.net/reeds/gillogly/voynich.now'
voynich = requests.get(voynich_url).content.decode('utf-8')
voynich = re.sub(r'\{[^\}]+\}|^<[^>]+>|[-# ]+', '', voynich, flags=re.MULTILINE)
voynich = voynich.replace('\n\n', '#')
voynich = voynich.replace('\n', ' ')
voynich = voynich.replace('#', '\n')
voynich = voynich.replace('.', ' ')
voynich[100:150] rang_freq_with_labels('voy-chars', get_characters(voynich))
log_rang_log_freq('voy-log-log', get_words(voynich))
rang_freq_with_labels('voy-words-20', get_words(voynich), top=20)
log_rang_log_freq('voy-words-log-log', get_words(voynich))
Język DNA
Kod genetyczny przejawia własności zaskakująco podobne do języków naturalnych. Przede wszystkim ma charakter dyskretny, genotyp to ciąg symboli ze skończonego alfabetu. Podstawowe litery są tylko cztery, reprezentują one nukleotydy, z których zbudowana jest nić DNA: a, g, c, t.
import requests
dna_url = 'https://raw.githubusercontent.com/egreen18/NanO_GEM/master/rawGenome.txt'
dna = requests.get(dna_url).content.decode('utf-8')
dna = ''.join(dna.split('\n')[1:])
dna = dna.replace('N', 'A')
dna[0:100]TATAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTAACCCTA
rang_freq_with_labels('dna-chars', get_characters(dna))
Tryplety — znaczące cząstki genotypu
Nukleotydy rzeczywiście są jak litery, same w sobie nie niosą znaczenia. Dopiero ciągi trzech nukleotydów, tryplety, kodują jeden z dwudziestu aminokwasów.
genetic_code = {
'ATA':'I', 'ATC':'I', 'ATT':'I', 'ATG':'M',
'ACA':'T', 'ACC':'T', 'ACG':'T', 'ACT':'T',
'AAC':'N', 'AAT':'N', 'AAA':'K', 'AAG':'K',
'AGC':'S', 'AGT':'S', 'AGA':'R', 'AGG':'R',
'CTA':'L', 'CTC':'L', 'CTG':'L', 'CTT':'L',
'CCA':'P', 'CCC':'P', 'CCG':'P', 'CCT':'P',
'CAC':'H', 'CAT':'H', 'CAA':'Q', 'CAG':'Q',
'CGA':'R', 'CGC':'R', 'CGG':'R', 'CGT':'R',
'GTA':'V', 'GTC':'V', 'GTG':'V', 'GTT':'V',
'GCA':'A', 'GCC':'A', 'GCG':'A', 'GCT':'A',
'GAC':'D', 'GAT':'D', 'GAA':'E', 'GAG':'E',
'GGA':'G', 'GGC':'G', 'GGG':'G', 'GGT':'G',
'TCA':'S', 'TCC':'S', 'TCG':'S', 'TCT':'S',
'TTC':'F', 'TTT':'F', 'TTA':'L', 'TTG':'L',
'TAC':'Y', 'TAT':'Y', 'TAA':'_', 'TAG':'_',
'TGC':'C', 'TGT':'C', 'TGA':'_', 'TGG':'W',
}
def get_triplets(t):
for triplet in re.finditer(r'.{3}', t):
yield genetic_code[triplet.group(0)]
rang_freq_with_labels('dna-aminos', get_triplets(dna))
„Zdania” w języku DNA
Z aminokwasów zakodowanych przez tryplet budowane są białka. Maszyneria budująca białka czyta sekwencję aż do napotkania trypletu STOP (_ powyżej). Taka sekwencja to gen.
def get_genes(triplets):
gene = []
for ammino in triplets:
if ammino == '_':
yield gene
gene = []
else:
gene.append(ammino)
plt.figure().clear()
plt.hist([len(g) for g in get_genes(get_triplets(dna))], bins=100)
fname = 'dna_length.png'
plt.savefig(fname)
fname
Entropia
Entropia ($E$) to miara nieuporządkowania, niepewności, niewiedzy. Im większa entropia, tym mniej wiemy. Pojęcie to pierwotnie wywodzi się z termodynamiki, później znaleziono wiele zaskakujących analogii i zastosowań w innych dyscyplinach nauki.
Entropia w fizyce
W termodynamice entropia jest miarą nieuporządkowania układów fizycznych, na przykład pojemników z gazem. Przykładowo, wyobraźmy sobie dwa pojemniki z gazem, w którym panuje różne temperatury.
Jeśli usuniemy przegrodę między pojemnikami, temperatura się wyrówna, a uporządkowanie się zmniejszy.
Innymi słowy, zwiększy się stopień nieuporządkowania układu, czyli właśnie entropia.
II prawo termodynamiki
Jedno z najbardziej fundamentalnych praw fizyki, II prawo termodynamiki głosi, że w układzie zamkniętym entropia nie spada.
Pytanie: Czy to, że napisałem te materiały do wykładu i uporządkowałem wiedzę odnośnie do statystycznych własności języka, nie jest sprzeczne z II prawem termodynamiki?
Konsekwencją II prawa termodynamiki jest śmierć cieplna Wszechświata (zob. [wizualizacja przyszłości Wszechświata](https://www.youtube.com/watch?v=uD4izuDMUQA)).
Entropia w teorii informacji
Pojęcie entropii zostało „odkryte” na nowo przez Claude'a Shannona, gdy wypracował ogólną teorię informacji.
Teoria informacji zajmuje się między innymi zagadnieniem optymalnego kodowania komunikatów.
Wyobraźmy sobie pewne źródło (generator) losowych komunikatów z zamkniętego zbioru symboli ($\Sigma$; nieprzypadkowo używamy oznaczeń z poprzedniego wykładu). Nadawca $N$ chce przesłać komunikat o wyniku losowania do odbiorcy $O$ używając zer i jedynek (bitów). Teorioinformacyjną entropię można zdefiniować jako średnią liczbę bitów wymaganych do przesłania komunikatu.
Obliczanie entropii — proste przykłady
Załóżmy, że nadawca chce przekazać odbiorcy informację o wyniku rzutu monetą. Entropia wynosi wówczas rzecz jasna 1 — na jedno losowanie wystarczy jeden bit (informację o tym, że wypadł orzeł, możemy zakodować na przykład za pomocą zera, zaś to, że wypadła reszka — za pomocą jedynki).
Rozpatrzmy przypadek, gdy nadawca rzuca ośmiościenną kością. Aby przekazać wynik, potrzebuje wówczas 3 bity (a więc entropia ośmiościennej kości wynosi 3 bity). Przykładowe kodowanie może mieć następującą postać:
| Wynik | Kodowanie |
|---|---|
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
| 8 | 000 |
Obliczenie entropii — trudniejszy przykład
Załóżmy, że $\Sigma = \{A, B, C, D\}$, natomiast poszczególne komunikaty są losowane zgodnie z następującym rozkładem prawdopodobieństwa: $P(A)=1/2$, $P(B)=1/4$, $P(C)=1/8$, $P(D)=1/8$. Ile wynosi entropia w takim przypadku? Można by sądzić, że 2, skoro wystarczą 2 bity do przekazania wyniku losowania przy zastosowaniu następującego kodowania:
| Wynik | Kodowanie |
|---|---|
| A | 00 |
| B | 01 |
| C | 10 |
| D | 11 |
Problem w tym, że w rzeczywistości nie jest to optymalne kodowanie. Możemy sprytnie zmniejszyć średnią liczbę bitów wymaganych do przekazania losowego wyniku przypisując częstszym wynikom krótsze kody, rzadszym zaś — dłuższe. Oto takie optymalne kodowanie:
| Wynik | Kodowanie |
|---|---|
| A | 0 |
| B | 10 |
| C | 110 |
| D | 111 |
Używając takiego kodowanie średnio potrzebujemy:
$$\frac{1}{2}1 + \frac{1}{4}2 + \frac{1}{8}3 + \frac{1}{8}3 = 1,75$$
bita. Innymi słowy, entropia takiego źródła wynosi 1,75 bita.
Kodowanie musi być jednoznaczne!
Można by sądzić, że da się stworzyć jeszcze krótsze kodowanie dla omawianego rozkładu nierównomiernego:
| Wynik | Kodowanie |
|---|---|
| A | 0 |
| B | 1 |
| C | 01 |
| D | 11 |
Niestety, nie jest to właściwe rozwiązanie — kodowanie musi być jednoznaczne nie tylko dla pojedynczego komunikatu, lecz dla całej sekwencji. Na przykład ciąg 0111 nie jest jednoznaczny przy tym kodowaniu (ABBB czy CD?). Podane wcześniej kodowanie spełnia warunek jednoznaczności, ciąg 0111 można odkodować tylko jako AD.
Ogólny wzór na entropię.
Na podstawie poprzedniego przykładu można dojść do intuicyjnego wniosku, że optymalny kod dla wyniku o prawdopodobieństwie $p$ ma długość $-\log_2(p)$, a zatem ogólnie entropia źródła o rozkładzie prawdopodobieństwa $\{p_1,\ldots,p_|\Sigma|\}$ wynosi:
$$E = -\sum_{i=1}^{|\Sigma|} p_i\log_2(p_i)$$.
Zauważmy, że jest to jeden z nielicznych przypadków, gdy w nauce naturalną podstawą logarytmu jest 2 zamiast… podstawy logarytmu naturalnego ($e$).
Teoretycznie można mierzyć entropię używając logarytmu naturalnego ($\ln$), jednostką entropii będzie wówczas nat zamiast bita, niewiele to jednak zmienia i jest mniej poręczne i trudniejsze do interpretacji (przynajmniej w kontekście informatyki) niż operowanie na bitach.
Pytanie Ile wynosi entropia zwykłej sześciennej kostki? Jak wygląda optymalne kodowanie wyników rzutu taką kostką?
Entropia dla próby Bernoulliego
Wiemy już, że entropia dla rzutu monetą wynosi 1 bit. A jaki będzie wynik dla źle wyważonej monety?
import matplotlib.pyplot as plt
from math import log
import numpy as np
def binomial_entropy(p):
return -(p * log(p, 2) + (1-p) * log(1-p, 2))
x = list(np.arange(0.001,1,0.001))
y = [binomial_entropy(x) for x in x]
plt.figure().clear()
plt.xlabel('prawdopodobieństwo wylosowania orła')
plt.ylabel('entropia')
plt.plot(x, y)
fname = f'binomial-entropy.png'
plt.savefig(fname)
fname
Pytanie Dla oszukańczej monety (np. dla której wypada zawsze orzeł) entropia wynosi 0, czy to wynik zgodny z intuicją?
Entropia a język
Tekst w danym języku możemy traktować jako ciąg symboli (komunikatów) losowanych według jakiegoś rozkładu prawdopodobieństwa. W tym sensie możemy mówić o entropii języka.
Oczywiście, jak zawsze, musimy jasno stwierdzić, czym są symbole języka: literami, wyrazami czy jeszcze jakimiś innymi jednostkami.
Pomiar entropii języka — pierwsze przybliżenie
Załóżmy, że chcemy zmierzyć entropię języka polskiego na przykładzie „Pana Tadeusza” — na poziomie znaków. W pierwszym przybliżeniu można by policzyć liczbę wszystkich znaków…
chars_in_pan_tadeusz = len(set(get_characters(pan_tadeusz)))
chars_in_pan_tadeusz95
… założyć jednostajny rozkład prawdopodobieństwa i w ten sposób policzyć entropię:
from math import log
95 * (1/95) * log(95, 2)6.569855608330948
Mniej rozrzutne kodowanie
Przypomnijmy sobie jednak, że rozkład jednostek języka jest zawsze skrajnie nierównomierny! Jeśli uwzględnić ten nierównomierny rozkład znaków, można opracować o wiele efektywniejszy sposób zakodowania znaków składających się na „Pana Tadeusza” (częste litery, np. „a” i „e” powinny mieć krótkie kody, a rzadkie, np. „ź” — dłuższe).
Policzmy entropię przy takim założeniu:
from collections import Counter
from math import log
def unigram_entropy(t):
counter = Counter(t)
total = counter.total()
return -sum((p := count / total) * log(p, 2) for count in counter.values())
unigram_entropy(get_characters(pan_tadeusz))4.938605272823633
(Jak dowiemy się na kolejnym wykładzie, zastosowaliśmy tutaj unigramowy model języka).
Ile wynosi entropia rękopisu Wojnicza?
unigram_entropy(get_characters(voynich))4.973808176335181
Wartość zaskakująco zbliżona do „Pana Tadeusza”!
Rzeczywista entropia?
W rzeczywistości entropia jest jeszcze mniejsza, tekst nie jest generowany przecież według rozkładu wielomianowego. Istnieją rzecz jasna pewne zależności między znakami, np. niemożliwe, żeby po „ń” wystąpiły litera „a” czy „e”. Na poziomie wyrazów zależności mogę mieć jeszcze bardziej skrajny charakter, np. po wyrazie „przede” prawie na pewno wystąpi „wszystkim”, co oznacza, że w takiej sytuacji słowo „wszystkim” może zostać zakodowane za pomocą 0 (!) bitów.
Można uwzględnić takie zależności i uzyskać jeszcze lepsze kodowanie, a co za tym idzie lepsze oszacowanie entropii. (Jak wkrótce się dowiemy, oznacza to użycie digramowego, trigramowego, etc. modelu języka).
Rozmiar skompresowanego pliku jako przybliżenie entropii
Celem algorytmów kompresji jest właściwie wyznaczanie efektywnych sposobów kodowania danych. Możemy więc użyć rozmiaru skompresowanego pliku w bitach (po podzieleniu przez oryginalną długość) jako dobrego przybliżenia entropii.
import zlib
def entropy_by_compression(t):
compressed = zlib.compress(t.encode('utf-8'))
return 8 * len(compressed) / len(t)
entropy_by_compression(pan_tadeusz)3.673019884633768
Dla porównania wynik dla rękopisu Wojnicza:
entropy_by_compression(voynich)2.90721912311904
Gra Shannona
Innym sposobem oszacowania entropii tekstu jest użycie… ludzi. Można poprosić rodzimych użytkowników danego języka o przewidywanie kolejnych liter (bądź wyrazów) i w ten sposób oszacować entropię.
Projekt Zaimplementuj aplikację webową, która umożliwi „rozegranie” gry Shannona.