moj-2024/wyk/04_Entropia.org

* Entropia

*Entropia* ($E$) to miara nieuporządkowania, niepewności, niewiedzy. Im
większa entropia, tym mniej wiemy. Pojęcie to pierwotnie wywodzi się z
termodynamiki, później znaleziono wiele zaskakujących analogii i zastosowań w
innych dyscyplinach nauki.

*** Entropia w fizyce

W termodynamice entropia jest miarą nieuporządkowania układów
fizycznych, na przykład pojemników z gazem. Przykładowo, wyobraźmy
sobie dwa pojemniki z gazem, w którym panuje różne temperatury.

[[./04_Entropia/gas-low-entropy.drawio.png]]

Jeśli usuniemy przegrodę między pojemnikami, temperatura się wyrówna,
a uporządkowanie się zmniejszy.

[[./04_Entropia/gas-high-entropy.drawio.png]]

Innymi słowy, zwiększy się stopień nieuporządkowania układu, czyli właśnie entropia.

*** II prawo termodynamiki

Jedno z najbardziej fundamentalnych praw fizyki, II prawo
termodynamiki głosi, że w układzie zamkniętym entropia nie spada.

**Pytanie**: Czy to, że napisałem te materiały do wykładu i
/uporządkowałem/ wiedzę odnośnie do statystycznych własności języka, nie
jest sprzeczne z II prawem termodynamiki?

Konsekwencją II prawa termodynamiki jest śmierć cieplna Wszechświata
(zob. [wizualizacja przyszłości Wszechświata](https://www.youtube.com/watch?v=uD4izuDMUQA)).

*** Entropia w teorii informacji

Pojęcie entropii zostało „odkryte” na nowo przez Claude'a Shannona,
gdy wypracował ogólną teorię informacji.

Teoria informacji zajmuje się między innymi zagadnieniem optymalnego kodowania komunikatów.

Wyobraźmy sobie pewne źródło (generator) losowych komunikatów z
zamkniętego zbioru symboli ($\Sigma$; nieprzypadkowo używamy oznaczeń
z poprzedniego wykładu). Nadawca $N$ chce przesłać komunikat o wyniku
losowania do odbiorcy $O$ używając zer i jedynek (bitów).
Teorioinformacyjną entropię można zdefiniować jako średnią liczbę
bitów wymaganych do przesłania komunikatu.

[[./04_Entropia/communication.drawio.png]]

*** Obliczanie entropii — proste przykłady

Załóżmy, że nadawca chce przekazać odbiorcy informację o wyniku rzutu monetą.
Entropia wynosi wówczas rzecz jasna 1 — na jedno losowanie wystarczy jeden bit
(informację o tym, że wypadł orzeł, możemy zakodować na przykład za pomocą zera,
zaś to, że wypadła reszka — za pomocą jedynki).

Rozpatrzmy przypadek, gdy nadawca rzuca ośmiościenną kością. Aby przekazać
wynik, potrzebuje wówczas 3 bity (a więc entropia ośmiościennej kości
wynosi 3 bity). Przykładowe kodowanie może mieć następującą postać:

| Wynik | Kodowanie |
|-------+-----------|
| 1     | 001       |
| 2     | 010       |
| 3     | 011       |
| 4     | 100       |
| 5     | 101       |
| 6     | 110       |
| 7     | 111       |
| 8     | 000       |

*** Obliczenie entropii — trudniejszy przykład

Załóżmy, że $\Sigma = \{A, B, C, D\}$, natomiast poszczególne komunikaty
są losowane zgodnie z następującym rozkładem prawdopodobieństwa:
$P(A)=1/2$, $P(B)=1/4$, $P(C)=1/8$, $P(D)=1/8$. Ile wynosi entropia w
takim przypadku? Można by sądzić, że 2, skoro wystarczą 2 bity do
przekazania wyniku losowania przy zastosowaniu następującego kodowania:

| Wynik | Kodowanie |
|-------+-----------|
| A     | 00        |
| B     | 01        |
| C     | 10        |
| D     | 11        |

Problem w tym, że w rzeczywistości nie jest to /optymalne/ kodowanie.
Możemy sprytnie zmniejszyć średnią liczbę bitów wymaganych do
przekazania losowego wyniku przypisując częstszym wynikom krótsze
kody, rzadszym zaś — dłuższe. Oto takie optymalne kodowanie:

| Wynik | Kodowanie |
|-------+-----------|
| A     | 0         |
| B     | 10        |
| C     | 110       |
| D     | 111       |


Używając takiego kodowanie średnio potrzebujemy:

$$\frac{1}{2}1 + \frac{1}{4}2 + \frac{1}{8}3 + \frac{1}{8}3 = 1,75$$

bita. Innymi słowy, entropia takiego źródła wynosi 1,75 bita.

*** Kodowanie musi być jednoznaczne!

Można by sądzić, że da się stworzyć jeszcze krótsze kodowanie dla omawianego rozkładu nierównomiernego:

| Wynik | Kodowanie |
|-------+-----------|
| A     | 0         |
| B     | 1         |
| C     | 01        |
| D     | 11        |

Niestety, nie jest to właściwe rozwiązanie — kodowanie musi być
jednoznaczne nie tylko dla pojedynczego komunikatu, lecz dla całej sekwencji.
Na przykład ciąg 0111 nie jest jednoznaczny przy tym kodowaniu (ABBB czy CD?).
Podane wcześniej kodowanie spełnia warunek jednoznaczności, ciąg 0111 można odkodować tylko
jako AD.


*** Ogólny wzór na entropię.

Na podstawie poprzedniego przykładu można dojść do intuicyjnego wniosku, że
optymalny kod dla wyniku o prawdopodobieństwie $p$ ma długość $-\log_2(p)$, a zatem ogólnie
entropia źródła o rozkładzie prawdopodobieństwa $\{p_1,\ldots,p_|\Sigma|\}$ wynosi:

$$E = -\sum_{i=1}^{|\Sigma|} p_i\log_2(p_i)$$.

Zauważmy, że jest to jeden z nielicznych przypadków, gdy w nauce naturalną
podstawą logarytmu jest 2 zamiast… podstawy logarytmu naturalnego ($e$).

Teoretycznie można mierzyć entropię używając logarytmu naturalnego
($\ln$), jednostką entropii będzie wówczas *nat* zamiast bita,
niewiele to jednak zmienia i jest mniej poręczne i trudniejsze do interpretacji
(przynajmniej w kontekście informatyki) niż operowanie na bitach.

**Pytanie** Ile wynosi entropia zwykłej sześciennej kostki? Jak wygląda
optymalne kodowanie wyników rzutu taką kostką?

*** Entropia dla próby Bernoulliego

Wiemy już, że entropia dla rzutu monetą wynosi 1 bit. A jaki będzie wynik dla źle wyważonej monety?

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :results file
  import matplotlib.pyplot as plt
  from math import log
  import numpy as np

  def binomial_entropy(p):
    return -(p * log(p, 2) + (1-p) * log(1-p, 2))

  x = list(np.arange(0.001,1,0.001))
  y = [binomial_entropy(x) for x in x]
  plt.figure().clear()
  plt.xlabel('prawdopodobieństwo wylosowania orła')
  plt.ylabel('entropia')
  plt.plot(x, y)

  fname = f'04_Entropia/binomial-entropy.png'

  plt.savefig(fname)

  fname
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:04_Entropia/binomial-entropy.png]]

*Pytanie* Dla oszukańczej monety (np. dla której wypada zawsze orzeł) entropia
wynosi 0, czy to wynik zgodny z intuicją?

** Entropia a język

Tekst w danym języku możemy traktować jako ciąg symboli (komunikatów) losowanych według jakiegoś
rozkładu prawdopodobieństwa. W tym sensie możemy mówić o entropii języka.

Oczywiście, jak zawsze, musimy jasno stwierdzić, czym są symbole
języka: literami, wyrazami czy jeszcze jakimiś innymi jednostkami.

*** Pomiar entropii języka — pierwsze przybliżenie

Załóżmy, że chcemy zmierzyć entropię języka polskiego na przykładzie
„Pana Tadeusza” — na poziomie znaków. W pierwszym przybliżeniu można
by policzyć liczbę wszystkich znaków…

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import requests
  from itertools import islice

  url = 'https://wolnelektury.pl/media/book/txt/pan-tadeusz.txt'
  pan_tadeusz = requests.get(url).content.decode('utf-8')

  def get_characters(t):
      yield from t

  list(islice(get_characters(pan_tadeusz), 100, 150))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
['K', 's', 'i', 'ę', 'g', 'a', ' ', 'p', 'i', 'e', 'r', 'w', 's', 'z', 'a', '\r', '\n', '\r', '\n', '\r', '\n', '\r', '\n', 'G', 'o', 's', 'p', 'o', 'd', 'a', 'r', 's', 't', 'w', 'o', '\r', '\n', '\r', '\n', 'P', 'o', 'w', 'r', 'ó', 't', ' ', 'p', 'a', 'n', 'i']
:end:


#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  chars_in_pan_tadeusz = len(set(get_characters(pan_tadeusz)))
  chars_in_pan_tadeusz
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
95
:end:

… założyć jednostajny rozkład prawdopodobieństwa i w ten sposób policzyć entropię:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  from math import log

  95 * (1/95) * log(95, 2)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
6.569855608330948
:end:

*** Mniej rozrzutne kodowanie

Przypomnijmy sobie jednak, że rozkład jednostek języka jest zawsze
skrajnie nierównomierny! Jeśli uwzględnić ten nierównomierny rozkład
znaków, można opracować o wiele efektywniejszy sposób zakodowania znaków składających się na „Pana Tadeusza”
(częste litery, np. „a” i „e” powinny mieć krótkie kody, a rzadkie, np. „ź” — dłuższe).

Policzmy entropię przy takim założeniu:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  from collections import Counter
  from math import log

  def unigram_entropy(t):
    counter = Counter(t)

    total = counter.total()
    return -sum((p := count / total) * log(p, 2) for count in counter.values())

  unigram_entropy(get_characters(pan_tadeusz))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
4.938605272823633
:end:

(Jak dowiemy się na kolejnym wykładzie, zastosowaliśmy tutaj *unigramowy model języka*).

*** Ile wynosi entropia rękopisu Wojnicza?

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import requests
  import re

  voynich_url = 'http://www.voynich.net/reeds/gillogly/voynich.now'
  voynich = requests.get(voynich_url).content.decode('utf-8')

  voynich = re.sub(r'\{[^\}]+\}|^<[^>]+>|[-# ]+', '', voynich, flags=re.MULTILINE)

  voynich = voynich.replace('\n\n', '#')
  voynich = voynich.replace('\n', ' ')
  voynich = voynich.replace('#', '\n')

  voynich = voynich.replace('.', ' ')

  voynich[100:150]
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
9 OR 9FAM ZO8 QOAR9 Q*R 8ARAM 29 [O82*]OM OPCC9 OP
:end:


#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  unigram_entropy(get_characters(voynich))
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
3.902708104423842
:end:

*** Rzeczywista entropia?

W rzeczywistości entropia jest jeszcze mniejsza, tekst nie jest
generowany przecież według rozkładu wielomianowego. Istnieją rzecz
jasna pewne zależności między znakami, np. niemożliwe, żeby po „ń”
wystąpiły litera „a” czy „e”. Na poziomie wyrazów zależności mogę mieć
jeszcze bardziej skrajny charakter, np. po wyrazie „przede” prawie na
pewno wystąpi „wszystkim”, co oznacza, że w takiej sytuacji słowo
„wszystkim” może zostać zakodowane za pomocą 0 (!) bitów.

Można uwzględnić takie zależności i uzyskać jeszcze lepsze kodowanie,
a co za tym idzie lepsze oszacowanie entropii. (Jak wkrótce się
dowiemy, oznacza to użycie digramowego, trigramowego, etc. modelu języka).

*** Rozmiar skompresowanego pliku jako przybliżenie entropii

Celem algorytmów kompresji jest właściwie wyznaczanie efektywnych
sposobów kodowania danych. Możemy więc użyć rozmiaru skompresowanego pliku w bitach
(po podzieleniu przez oryginalną długość) jako dobrego przybliżenia entropii.

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  import zlib

  def entropy_by_compression(t):
    compressed = zlib.compress(t.encode('utf-8'))
    return 8 * len(compressed) / len(t)

  entropy_by_compression(pan_tadeusz)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
3.673019884633768
:end:

Dla porównania wynik dla rękopisu Wojnicza:

#+BEGIN_SRC ipython :session mysession :exports both :results raw drawer
  entropy_by_compression(voynich)
#+END_SRC

#+RESULTS:
:results:
2.942372881355932
:end:

*** Gra Shannona

Innym sposobem oszacowania entropii tekstu jest użycie… ludzi. Można poprosić rodzimych użytkowników
danego języka o przewidywanie kolejnych liter (bądź wyrazów) i w ten sposób oszacować entropię.

*Projekt* Zaimplementuj aplikację webową, która umożliwi „rozegranie” gry Shannona.