zuma/wyk/3b_Przegląd_metod_uczenia_nadzorowanego.ipynb

AITech — Uczenie maszynowe

8. Przegląd metod uczenia nadzorowanego

8.1. Naiwny klasyfikator bayesowski

• Naiwny klasyfikator bayesowski jest algorytmem dla problemu klasyfikacji wieloklasowej.
• Naszym celem jest znalezienie funkcji uczącej $f \colon x \mapsto y$, gdzie $y$ oznacza jedną ze zdefiniowanych wcześniej klas.
• Klasyfikacja probabilistyczna polega na wskazaniu klasy o najwyższym prawdopodobieństwie: $$ \hat{y} = \mathop{\arg \max}_y P( y ,|, x ) $$
• Naiwny klasyfikator bayesowski należy do rodziny klasyfikatorów probabilistycznych

Thomas Bayes (wymowa: /beɪz/) (1702–1761) – angielski matematyk i duchowny

Twierdzenie Bayesa – wzór ogólny

$$ P( Y ,|, X ) = \frac{ P( X ,|, Y ) \cdot P( Y ) }{ P ( X ) } $$

Twierdzenie Bayesa opisuje związek między prawdopodobieństwami warunkowymi dwóch zdarzeń warunkujących się nawzajem.

Twierdzenie Bayesa

(po zastosowaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite)

$$ \underbrace{P( y_k ,|, x )}_\textrm{ prawd. a posteriori } = \frac{ \overbrace{ P( x ,|, y_k )}^\textrm{ model klasy } \cdot \overbrace{P( y_k )}^\textrm{ prawd. a priori } }{ \underbrace{\sum{i} P( x ,|, y_i ) , P( y_i )}_\textrm{wyrażenie normalizacyjne} } $$

• W tym przypadku „zdarzenie $x$” oznacza, że cechy wejściowe danej obserwacji przyjmują wartości opisane wektorem $x$.
• „Zdarzenie $y_k$” oznacza, że dana obserwacja należy do klasy $y_k$.
• Model klasy $y_k$ opisuje rozkład prawdopodobieństwa cech obserwacji należących do tej klasy.
• Prawdopodobieństwo _a priori to prawdopodobienstwo, że losowa obserwacja należy do klasy $y_k$.
• Prawdopodobieństwo _a posteriori to prawdopodobieństwo, którego szukamy: że obserwacja opisana wektorem cech $x$ należy do klasy $y_k$.

Rola wyrażenia normalizacyjnego w twierdzeniu Bayesa

• Wartość wyrażenia normalizacyjnego nie wpływa na wynik klasyfikacji.

Przykład: obserwacja nietypowa ma małe prawdopodobieństwo względem dowolnej klasy, wyrażenie normalizacyjne sprawia, że to prawdopodobieństwo staje się porównywalne z prawdopodobieństwami typowych obserwacji, ale nie wpływa na klasyfikację!

Klasyfikatory dyskryminatywne a generatywne

• Klasyfikatory generatywne tworzą model rozkładu prawdopodobieństwa dla każdej z klas.
• Klasyfikatory dyskryminatywne wyznaczają granicę klas (_decision boundary) bezpośrednio.
• Naiwny klasyfikator bayesowski jest klasyfikatorem generatywnym (ponieważ wyznacza $P( x ,|, y )$).
• Wszystkie klasyfikatory generatywne są probabilistyczne, ale nie na odwrót.
• Regresja logistyczna jest przykładem klasyfikatora dyskryminatywnego.

Założenie niezależności dla naiwnego klasyfikatora bayesowskiego

• Naiwny klasyfikator bayesowski jest _naiwny, ponieważ zakłada, że poszczególne cechy są niezależne od siebie: $$ P( x_1, \ldots, x_n ,|, y ) ,=, \prod_{i=1}^n P( x_i ,|, x_1, \ldots, x_{i-1}, y ) ,=, \prod_{i=1}^n P( x_i ,|, y ) $$
• To założenie jest bardzo przydatne ze względów obliczeniowych, ponieważ bardzo często mamy do czynienia z ogromną liczbą cech (bitmapy, słowniki itp.)

Naiwny klasyfikator bayesowski – przykład

# Przydtne importy

import ipywidgets as widgets
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas

%matplotlib inline

# Wczytanie danych (gatunki kosaćców)

data_iris = pandas.read_csv('iris.csv')
data_iris_setosa = pandas.DataFrame()
data_iris_setosa['dł. płatka'] = data_iris['pl']  # "pl" oznacza "petal length"
data_iris_setosa['szer. płatka'] = data_iris['pw']  # "pw" oznacza "petal width"
data_iris_setosa['Iris setosa?'] = data_iris['Gatunek'].apply(lambda x: 1 if x=='Iris-setosa' else 0)

m, n_plus_1 = data_iris_setosa.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data_iris_setosa.values[:, 0:n].reshape(m, n)

X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y = np.matrix(data_iris_setosa.values[:, 2]).reshape(m, 1)

classes = [0, 1]
count = [sum(1 if y == c else 0 for y in Y.T.tolist()[0]) for c in classes]
prior_prob = [float(count[c]) / float(Y.shape[0]) for c in classes]

print('liczba przykładów: ', {c: count[c] for c in classes})
print('prior probability:', {c: prior_prob[c] for c in classes})

liczba przykładów:  {0: 100, 1: 50}
prior probability: {0: 0.6666666666666666, 1: 0.3333333333333333}

# Wykres danych (wersja macierzowa)
def plot_data_for_classification(X, Y, xlabel, ylabel):    
    fig = plt.figure(figsize=(16*.6, 9*.6))
    ax = fig.add_subplot(111)
    fig.subplots_adjust(left=0.1, right=0.9, bottom=0.1, top=0.9)
    X = X.tolist()
    Y = Y.tolist()
    X1n = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X1p = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    X2n = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X2p = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    ax.scatter(X1n, X2n, c='r', marker='x', s=50, label='Dane')
    ax.scatter(X1p, X2p, c='g', marker='o', s=50, label='Dane')
    
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_ylabel(ylabel)
    ax.margins(.05, .05)
    return fig

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')

XY = np.column_stack((X, Y))
XY_split = [XY[np.where(XY[:,3] == c)[0]] for c in classes]
X_split = [XY_split[c][:,0:3] for c in classes]
Y_split = [XY_split[c][:,3] for c in classes]

X_mean = [np.mean(X_split[c], axis=0) for c in classes]
X_std = [np.std(X_split[c], axis=0) for c in classes]
print('średnia: ', X_mean) 
print('odchylenie standardowe: ', X_std)

print(X_std[0].shape)

średnia:  [matrix([[1.   , 4.906, 1.676]]), matrix([[1.   , 1.464, 0.244]])]
odchylenie standardowe:  [matrix([[0.        , 0.8214402 , 0.42263933]]), matrix([[0.        , 0.17176728, 0.10613199]])]
(1, 3)

# Rysowanie średnich
def draw_means(fig, means, xmin=0.0, xmax=7.0, ymin=0.0, ymax=7.0):
    class_color = {0: 'r', 1: 'g'}
    classes = range(len(means))
    ax = fig.axes[0]
    mean_x1 = [means[c].item(0, 1) for c in classes]
    mean_x2 = [means[c].item(0, 2) for c in classes]
    for c in classes:
        ax.plot([mean_x1[c], mean_x1[c]], [xmin, xmax],
                color=class_color.get(c, 'c'), linestyle='dashed')
        ax.plot([ymin, ymax], [mean_x2[c], mean_x2[c]],
                color=class_color.get(c, 'c'), linestyle='dashed')    

from scipy.stats import norm

# Prawdopodobieństwo klasy dla pojedynczej cechy
# Uwaga: jeżeli odchylenie standardowe dla danej cechy jest równe 0, 
# to nie można określić prawdopodbieństwa klasy!
def prob(x, c, feature, mean, std):
    sd = std[c].item(0, feature)
    if sd == 0:
        print('Nie można określić prawdopodobieństwa klasy dla cechy {}.!'.format(feature))
    return norm(mean[c].item(0, feature), sd).pdf(x)

# Prawdopodobieństwo klasy
# Uwaga: tu bierzemy iloczyn dwóch cech (1. i 2.), w ogólności może być ich więcej
def class_prob(x, c, mean, std, features=[1, 2]):
    result = 1
    for feature in features:
        result *= prob(x[feature], c, feature, mean, std)
    return result

print(X_std[0].shape)
print(X_std)
print(X_mean)

X_prob_0=class_prob(X, 0, X_mean, X_std)
print(X_prob_0)

(1, 3)
[matrix([[0.        , 0.8214402 , 0.42263933]]), matrix([[0.        , 0.17176728, 0.10613199]])]
[matrix([[1.   , 4.906, 1.676]]), matrix([[1.   , 1.464, 0.244]])]
[[1.57003335e-06 1.61965173e-23 3.09005273e-08]]

# Wykres prawdopodobieństw klas
def plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes, xmin=0.0, xmax=7.0, ymin=0.0, ymax=7.0):
    class_color = {0: 'r', 1: 'g'}
    ax = fig.axes[0]
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(xmin, xmax, 0.02),
                         np.arange(xmin, xmax, 0.02))
    for c in classes:
        fun1 = lambda x: prob(x, c, 1, X_mean, X_std)
        fun2 = lambda x: prob(x, c, 2, X_mean, X_std)
        p = fun1(x1) * fun2(x2)
        plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),
                    colors=class_color.get(c, 'c'), lw=3)

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
draw_means(fig, X_mean)
plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes)

<ipython-input-10-793ac8294852>:11: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),

# Prawdopodobieństwo a posteriori
def posterior_prob(x, c):
    normalizer = sum(class_prob(x, c, X_mean, X_std)
                     * prior_prob[c]
                    for c in classes)
    return (class_prob(x, c, X_mean, X_std) 
            * prior_prob[c]
            / normalizer)

Aby teraz przewidzieć klasę $y$ dla dowolnego zestawu cech $x$, wystarczy sprawdzić, dla której klasy prawdopodobieństwo _a posteriori jest większe:

# Funkcja klasyfikująca (funkcja predykcji)
def predict_class(x):
    p = [posterior_prob(x, c) for c in classes]
    if p[1] > p[0]:
        return 1
    else:
        return 0

x = [1, 2.0, 0.5]  # długość płatka: 2.0, szerokość płatka: 0.5
y = predict_class(x)
print(y)  # 1 – To prawdopodobnie jest Iris setosa

x = [1, 2.5, 1.0]  # długość płatka: 2.5, szerokość płatka: 1.0
y = predict_class(x)
print(y)  # 0 – To prawdopodobnie nie jest Iris setosa

1
0

Zobaczmy, jak to wygląda na wykresie. Narysujemy w tym celu granicę między klasą 1 a 0:

# Wykres granicy klas dla naiwnego Bayesa
def plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std, xmin=0.0, xmax=7.0, ymin=0.0, ymax=7.0):
    ax = fig.axes[0]
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(xmin, xmax, 0.02),
                         np.arange(ymin, ymax, 0.02))
    p = [posterior_prob([1, x1, x2], c) for c in classes]
    p_diff = p[1] - p[0]
    plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)

<ipython-input-15-da039958d168>:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

Dla porównania: regresja logistyczna na tych samych danych

def powerme(x1,x2,n):
    X = []
    for m in range(n+1):
        for i in range(m+1):
            X.append(np.multiply(np.power(x1,i),np.power(x2,(m-i))))
    return np.hstack(X)

# Funkcja logistyczna
def safeSigmoid(x, eps=0):
    y = 1.0/(1.0 + np.exp(-x))
    if eps > 0:
        y[y < eps] = eps
        y[y > 1 - eps] = 1 - eps
    return y

# Funkcja hipotezy dla regresji logistycznej
def h(theta, X, eps=0.0):
    return safeSigmoid(X*theta, eps)

# Funkcja kosztu dla regresji logistycznej
def J(h,theta,X,y, lamb=0):
    m = len(y)
    f = h(theta, X, eps=10**-7)
    j = -np.sum(np.multiply(y, np.log(f)) + 
                np.multiply(1 - y, np.log(1 - f)), axis=0)/m
    if lamb > 0:
        j += lamb/(2*m) * np.sum(np.power(theta[1:],2))
    return j

# Gradient funkcji kosztu
def dJ(h,theta,X,y,lamb=0):
    g = 1.0/y.shape[0]*(X.T*(h(theta,X)-y))
    if lamb > 0:
        g[1:] += lamb/float(y.shape[0]) * theta[1:] 
    return g

# Funkcja klasyfikująca
def classifyBi(theta, X):
    prob = h(theta, X)
    return prob

# Przygotowanie danych dla wielomianowej regresji logistycznej

data = np.matrix(data_iris_setosa)

Xpl = powerme(data[:, 1], data[:, 0], n)
Ypl = np.matrix(data[:, 2]).reshape(m, 1)

# Metoda gradientu prostego dla regresji logistycznej
def GD(h, fJ, fdJ, theta, X, y, alpha=0.01, eps=10**-3, maxSteps=10000):
    errorCurr = fJ(h, theta, X, y)
    errors = [[errorCurr, theta]]
    while True:
        # oblicz nowe theta
        theta = theta - alpha * fdJ(h, theta, X, y)
        # raportuj poziom błędu
        errorCurr, errorPrev = fJ(h, theta, X, y), errorCurr
        # kryteria stopu
        if abs(errorPrev - errorCurr) <= eps:
            break
        if len(errors) > maxSteps:
            break
        errors.append([errorCurr, theta]) 
    return theta, errors

# Uruchomienie metody gradientu prostego dla regresji logistycznej
theta_start = np.matrix(np.zeros(Xpl.shape[1])).reshape(Xpl.shape[1], 1)
theta, errors = GD(h, J, dJ, theta_start, Xpl, Ypl, 
                       alpha=0.1, eps=10**-7, maxSteps=100000)
print(r'theta = {}'.format(theta))

theta = [[ 4.01960795]
 [ 3.89499137]
 [ 0.18747599]
 [-1.3524039 ]
 [-2.00123783]
 [-0.87625505]]

# Wykres granicy klas
def plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl, xmin=0.0, xmax=7.0):
    ax = fig.axes[0]
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(xmin, xmax, 0.02),
                         np.arange(xmin, xmax, 0.02))
    l = len(xx.ravel())
    C = powerme(yy.reshape(l, 1), xx.reshape(l, 1), n)
    z = classifyBi(theta, C).reshape(int(np.sqrt(l)), int(np.sqrt(l)))

    plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)

<ipython-input-21-f44dd646c57d>:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)

<ipython-input-21-f44dd646c57d>:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);
<ipython-input-15-da039958d168>:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

Inny przykład

# Wczytanie danych (gatunki kosaćców)

data_iris = pandas.read_csv('iris.csv')
data_iris_versicolor = pandas.DataFrame()
data_iris_versicolor['dł. płatka'] = data_iris['pl']  # "pl" oznacza "petal length"
data_iris_versicolor['szer. płatka'] = data_iris['pw']  # "pw" oznacza "petal width"
data_iris_versicolor['Iris versicolor?'] = data_iris['Gatunek'].apply(lambda x: 1 if x=='Iris-versicolor' else 0)

m, n_plus_1 = data_iris_versicolor.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data_iris_versicolor.values[:, 0:n].reshape(m, n)

X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y = np.matrix(data_iris_setosa.values[:, 2]).reshape(m, 1)

classes = [0, 1]
count = [sum(1 if y == c else 0 for y in Y.T.tolist()[0]) for c in classes]
prior_prob = [float(count[c]) / float(Y.shape[0]) for c in classes]

print('liczba przykładów: ', {c: count[c] for c in classes})
print('prior probability:', {c: prior_prob[c] for c in classes})

liczba przykładów:  {0: 100, 1: 50}
prior probability: {0: 0.6666666666666666, 1: 0.3333333333333333}

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')

XY = np.column_stack((X, Y))
XY_split = [XY[np.where(XY[:,3] == c)[0]] for c in classes]
X_split = [XY_split[c][:,0:3] for c in classes]
Y_split = [XY_split[c][:,3] for c in classes]

X_mean = [np.mean(X_split[c], axis=0) for c in classes]
X_std = [np.std(X_split[c], axis=0) for c in classes]
print('średnia: ', X_mean) 
print('odchylenie standardowe: ', X_std)

średnia:  [matrix([[1.   , 4.906, 1.676]]), matrix([[1.   , 1.464, 0.244]])]
odchylenie standardowe:  [matrix([[0.        , 0.8214402 , 0.42263933]]), matrix([[0.        , 0.17176728, 0.10613199]])]

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
draw_means(fig, X_mean)
plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes)

<ipython-input-10-793ac8294852>:11: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)

<ipython-input-15-da039958d168>:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

# Przygotowanie danych dla wielomianowej regresji logistycznej

data = np.matrix(data_iris_versicolor)

Xpl = powerme(data[:, 1], data[:, 0], n)
Ypl = np.matrix(data[:, 2]).reshape(m, 1)

# Uruchomienie metody gradientu prostego dla regresji logistycznej
theta_start = np.matrix(np.zeros(Xpl.shape[1])).reshape(Xpl.shape[1], 1)
theta, errors = GD(h, J, dJ, theta_start, Xpl, Ypl, 
                       alpha=0.05, eps=10**-7, maxSteps=100000)
print(r'theta = {}'.format(theta))

theta = [[-10.68923095]
 [  5.52649967]
 [  5.83316957]
 [ -0.60707243]
 [ -0.46353729]
 [ -2.82974456]]

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)

<ipython-input-21-f44dd646c57d>:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)

<ipython-input-21-f44dd646c57d>:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);
<ipython-input-15-da039958d168>:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

Kiedy naiwny Bayes nie działa?

# Wczytanie danych
import pandas
import numpy as np

alldata = pandas.read_csv('bayes_nasty.tsv', sep='\t')
data = np.matrix(alldata)

m, n_plus_1 = data.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data[:, 1:]

Xbn = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Xbnp = powerme(data[:, 1], data[:, 2], n)
Ybn = np.matrix(data[:, 0]).reshape(m, 1)

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')

classes = [0, 1]
count = [sum(1 if y == c else 0 for y in Ybn.T.tolist()[0]) for c in classes]
prior_prob = [float(count[c]) / float(Ybn.shape[0]) for c in classes]

print('liczba przykładów: ', {c: count[c] for c in classes})
print('prior probability:', {c: prior_prob[c] for c in classes})

liczba przykładów:  {0: 69, 1: 30}
prior probability: {0: 0.696969696969697, 1: 0.30303030303030304}

XY = np.column_stack((Xbn, Ybn))
XY_split = [XY[np.where(XY[:,3] == c)[0]] for c in classes]
X_split = [XY_split[c][:,0:3] for c in classes]
Y_split = [XY_split[c][:,3] for c in classes]

X_mean = [np.mean(X_split[c], axis=0) for c in classes]
X_std = [np.std(X_split[c], axis=0) for c in classes]
print('średnia: ', X_mean) 
print('odchylenie standardowe: ', X_std)

średnia:  [matrix([[1.        , 0.03949835, 0.02825019]]), matrix([[1.        , 0.09929617, 0.06206227]])]
odchylenie standardowe:  [matrix([[0.        , 0.52318432, 0.60106092]]), matrix([[0.        , 0.61370281, 0.6081128 ]])]

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
draw_means(fig, X_mean, xmin=-1.0, xmax=1.0, ymin=-1.0, ymax=1.0)
plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes, xmin=-1.0, xmax=1.0, ymin=-1.0, ymax=1.0)

<ipython-input-10-793ac8294852>:11: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std, xmin=-4.0, xmax=4.0, ymin=-4.0, ymax=4.0)

<ipython-input-15-da039958d168>:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

# Uruchomienie metody gradientu prostego dla regresji logistycznej
theta_start = np.matrix(np.zeros(Xbnp.shape[1])).reshape(Xbnp.shape[1], 1)
theta, errors = GD(h, J, dJ, theta_start, Xbnp, Ybn, 
                       alpha=0.05, eps=10**-7, maxSteps=100000)
print(r'theta = {}'.format(theta))

theta = [[-0.31582268]
 [ 0.43496774]
 [-0.21840373]
 [-7.88802319]
 [22.73897346]
 [-4.43682364]]

fig = plot_data_for_classification(Xbnp, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xbnp, xmin=-4.0, xmax=4.0)

<ipython-input-21-f44dd646c57d>:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std, xmin=-4.0, xmax=4.0, ymin=-4.0, ymax=4.0)
plot_decision_boundary(fig, theta, Xbnp, xmin=-4.0, xmax=4.0)

<ipython-input-15-da039958d168>:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);
<ipython-input-21-f44dd646c57d>:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

• Naiwny klasyfikator Bayesa nie działa, jeżeli dane nie różnią się ani średnią, ani odchyleniem standardowym.

8.2. Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów

KNN – intuicja

• Do której kategorii powinien należeć punkt oznaczony gwiazdką?

# Przydatne importy

import ipywidgets as widgets
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas

%matplotlib inline

# Wczytanie danych (gatunki kosaćców)

data_iris = pandas.read_csv('iris.csv')
data_iris_setosa = pandas.DataFrame()
data_iris_setosa['dł. płatka'] = data_iris['pl']  # "pl" oznacza "petal length"
data_iris_setosa['szer. płatka'] = data_iris['pw']  # "pw" oznacza "petal width"
data_iris_setosa['Iris setosa?'] = data_iris['Gatunek'].apply(lambda x: 1 if x=='Iris-setosa' else 0)

m, n_plus_1 = data_iris_setosa.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data_iris_setosa.values[:, 0:n].reshape(m, n)

X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y = np.matrix(data_iris_setosa.values[:, 2]).reshape(m, 1)

# Wykres danych (wersja macierzowa)
def plot_data_for_classification(X, Y, xlabel, ylabel):    
    fig = plt.figure(figsize=(16*.6, 9*.6))
    ax = fig.add_subplot(111)
    fig.subplots_adjust(left=0.1, right=0.9, bottom=0.1, top=0.9)
    X = X.tolist()
    Y = Y.tolist()
    X1n = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X1p = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    X2n = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X2p = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    ax.scatter(X1n, X2n, c='r', marker='x', s=50, label='Dane')
    ax.scatter(X1p, X2p, c='g', marker='o', s=50, label='Dane')
    
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_ylabel(ylabel)
    ax.margins(.05, .05)
    return fig

def plot_new_example(fig, x, y):
    ax = fig.axes[0]
    ax.scatter([x], [y], c='k', marker='*', s=100, label='?')

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_new_example(fig, 2.8, 0.9)

• Wydaje się sensownym przyjąć, że punkt oznaczony gwiazdką powinien być czerwony, ponieważ sąsiednie punkty są czerwone. Najbliższe czerwone punkty są położone bliżej niż najbliższe zielone.

• Algorytm oparty na tej intuicji nazywamy algorytmem $k$ najbliższych sąsiadów (_$k$ nearest neighbors, KNN).

• Idea (KNN dla $k = 1$):
  1. Dla nowego przykładu $x'$ znajdź najbliższy przykład $x$ ze zbioru uczącego.
  2. Jego klasa $y$ to szukana klasa $y'$.

from scipy.spatial import Voronoi, voronoi_plot_2d

def plot_voronoi(fig, points):
    ax = fig.axes[0]
    vor = Voronoi(points)
    ax.scatter(vor.vertices[:, 0], vor.vertices[:, 1], s=1)
    
    for simplex in vor.ridge_vertices:
        simplex = np.asarray(simplex)
        if np.all(simplex >= 0):
            ax.plot(vor.vertices[simplex, 0], vor.vertices[simplex, 1],
                    color='orange', linewidth=1)
    
    xmin, ymin = points.min(axis=0).tolist()[0]
    xmax, ymax = points.max(axis=0).tolist()[0]
    pad = 0.1
    ax.set_xlim(xmin - pad, xmax + pad)
    ax.set_ylim(ymin - pad, ymax + pad)

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_new_example(fig, 2.8, 0.9)
plot_voronoi(fig, X[:, 1:])

• Podział płaszczyzny jak na powyższym wykresie nazywamy diagramem Woronoja (_Voronoi diagram).

• Taki algorytm wyznacza dość efektowne granice klas, zwłaszcza jak na tak prosty algorytm.

• Niestety jest bardzo podatny na obserwacje odstające:

X_outliers = np.vstack((X, np.matrix([[1.0, 3.9, 1.7]])))
Y_outliers = np.vstack((Y, np.matrix([[1]])))

fig = plot_data_for_classification(X_outliers, Y_outliers, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_new_example(fig, 2.8, 0.9)
plot_voronoi(fig, X_outliers[:, 1:])

• Pojedyncza obserwacja odstająca dramatycznie zmienia granice klas.

• Aby temu zaradzić, użyjemy więcej niż jednego najbliższego sąsiada ($k > 1$).

Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów dla problemu klasyfikacji

1. Dany jest zbiór uczący zawierajacy przykłady $(x_i, y_i)$, gdzie: $x_i$ – zestaw cech, $y_i$ – klasa.
2. Dany jest przykład testowy $x'$, dla którego chcemy określić klasę.
3. Oblicz odległość $d(x', x_i)$ dla każdego przykładu $x_i$ ze zbioru uczącego.
4. Wybierz $k$ przykładów $x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}$, dla których wyliczona odległość jest najmniejsza.
5. Jako wynik $y'$ zwróć tę spośrod klas $y_{i_1}, \ldots, y_{i_k}$, która występuje najczęściej.

Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów dla problemu klasyfikacji – przykład

# Odległość euklidesowa
def euclidean_distance(x1, x2):
    return np.linalg.norm(x1 - x2)

# Algorytm k najbliższych sąsiadów
def knn(X, Y, x_new, k, distance=euclidean_distance):
    data = np.concatenate((X, Y), axis=1)
    nearest = sorted(
        data, key=lambda xy:distance(xy[0, :-1], x_new))[:k]
    y_nearest = [xy[0, -1] for xy in nearest]
    return max(y_nearest, key=lambda y:y_nearest.count(y))

# Wykres klas dla KNN
def plot_knn(fig, X, Y, k, distance=euclidean_distance):
    ax = fig.axes[0]
    x1min, x2min = X.min(axis=0).tolist()[0]
    x1max, x2max = X.max(axis=0).tolist()[0]
    pad1 = (x1max - x1min) / 10
    pad2 = (x2max - x2min) / 10
    step1 = (x1max - x1min) / 50
    step2 = (x2max - x2min) / 50
    x1grid, x2grid = np.meshgrid(
        np.arange(x1min - pad1, x1max + pad1, step1),
        np.arange(x2min - pad2, x2max + pad2, step2))
    z = np.matrix([[knn(X, Y, [x1, x2], k, distance) 
                    for x1, x2 in zip(x1row, x2row)] 
                   for x1row, x2row in zip(x1grid, x2grid)])
    plt.contour(x1grid, x2grid, z, levels=[0.5]);

# Przygotowanie interaktywnego wykresu

slider_k = widgets.IntSlider(min=1, max=10, step=1, value=1, description=r'$k$', width=300)

def interactive_knn_1(k):
    fig = plot_data_for_classification(X_outliers, Y_outliers, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
    plot_voronoi(fig, X_outliers[:, 1:])
    plot_knn(fig, X_outliers[:, 1:], Y_outliers, k)

widgets.interact_manual(interactive_knn_1, k=slider_k)

interactive(children=(IntSlider(value=1, description='$k$', max=10, min=1), Button(description='Run Interact',…

<function __main__.interactive_knn_1(k)>

# Wczytanie danych (inny przykład)

alldata = pandas.read_csv('classification.tsv', sep='\t')
data = np.matrix(alldata)

m, n_plus_1 = data.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data[:, 1:].reshape(m, n)

X2 = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y2 = np.matrix(data[:, 0]).reshape(m, 1)

fig = plot_data_for_classification(X2, Y2, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')

# Przygotowanie interaktywnego wykresu

slider_k = widgets.IntSlider(min=1, max=10, step=1, value=1, description=r'$k$', width=300)

def interactive_knn_2(k):
    fig = plot_data_for_classification(X2, Y2, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
    plot_voronoi(fig, X2[:, 1:])
    plot_knn(fig, X2[:, 1:], Y2, k)

widgets.interact_manual(interactive_knn_2, k=slider_k)

interactive(children=(IntSlider(value=1, description='$k$', max=10, min=1), Button(description='Run Interact',…

<function __main__.interactive_knn_2(k)>

Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów dla problemu regresji

1. Dany jest zbiór uczący zawierajacy przykłady $(x_i, y_i)$, gdzie: $x_i$ – zestaw cech, $y_i$ – liczba rzeczywista.
2. Dany jest przykład testowy $x'$, dla którego chcemy określić klasę.
3. Oblicz odległość $d(x', x_i)$ dla każdego przykładu $x_i$ ze zbioru uczącego.
4. Wybierz $k$ przykładów $x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}$, dla których wyliczona odległość jest najmniejsza.
5. Jako wynik $y'$ zwróć średnią liczb $y_{i_1}, \ldots, y_{i_k}$: $$ y' = \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} y_{i_j} $$

Wybór $k$

• Wartość $k$ ma duży wpływ na wynik działania algorytmu KNN:
  • Jeżeli $k$ jest zbyt duże, wszystkie nowe przykłady są klasyfikowane jako klasa większościowa.
  • Jeżeli $k$ jest zbyt małe, granice klas są niestabilne, a algorytm jest bardzo podatny na obserwacje odstające.
• Aby dobrać optymalną wartość $k$, najlepiej użyć zbioru walidacyjnego.

Miary podobieństwa

Odległość euklidesowa

$$ d(x, x') = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - x'_i \right) ^2 } $$

• Dobry wybór w przypadku numerycznych cech.
• Symetryczna, traktuje wszystkie wymiary jednakowo.
• Wrażliwa na duże wahania jednej cechy.

Odległość Hamminga

$$ d(x, x') = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{x_i \neq x'_i} $$

• Dobry wybór w przypadku cech zero-jedynkowych.
• Liczba cech, którymi różnią się dane przykłady.

Odległość Minkowskiego ($p$-norma)

$$ d(x, x') = \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^n \left| x_i - x'_i \right| ^p } $$

• Dla $p = 2$ jest to odległość euklidesowa.
• Dla $p = 1$ jest to odległość taksówkowa.
• Jeżeli $p \to \infty$, to $p$-norma zbliża się do logicznej alternatywy.
• Jeżeli $p \to 0$, to $p$-norma zbliża się do logicznej koniunkcji.

KNN – praktyczne porady

• Co zrobić z remisami?
  • Można wybrać losową klasę.
  • Można wybrać klasę o wyższym prawdopodobieństwie _a priori.
  • Można wybrać klasę wskazaną przez algorytm 1NN.

• KNN źle radzi sobie z brakującymi wartościami cech (nie można wówczas sensownie wyznaczyć odległości).

8.3. Drzewa decyzyjne

Drzewa decyzyjne – przykład

# Przydatne importy

import ipywidgets as widgets
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas

%matplotlib inline

alldata = pandas.read_csv('tennis.tsv', sep='\t')
print(alldata)

    Day   Outlook Humidity    Wind Play
0     1     Sunny     High    Weak   No
1     2     Sunny     High  Strong   No
2     3  Overcast     High    Weak  Yes
3     4      Rain     High    Weak  Yes
4     5      Rain   Normal    Weak  Yes
5     6      Rain   Normal  Strong   No
6     7  Overcast   Normal  Strong  Yes
7     8     Sunny     High    Weak   No
8     9     Sunny   Normal    Weak  Yes
9    10      Rain   Normal    Weak  Yes
10   11     Sunny   Normal  Strong  Yes
11   12  Overcast     High  Strong  Yes
12   13  Overcast   Normal    Weak  Yes
13   14      Rain     High  Strong   No

# Dane jako lista słowników
data = alldata.T.to_dict().values()
features = ['Outlook', 'Humidity', 'Wind']

# Możliwe wartości w poszczególnych kolumnach
values = {feature: set(row[feature] for row in data)
          for feature in features}
values

{'Outlook': {'Overcast', 'Rain', 'Sunny'},
 'Humidity': {'High', 'Normal'},
 'Wind': {'Strong', 'Weak'}}

• Czy John zagra w tenisa, jeżeli będzie padać, przy wysokiej wilgotności i silnym wietrze?
• Algorytm drzew decyzyjnych spróbuje _zrozumieć „taktykę” Johna.
• Wykorzystamy metodę „dziel i zwyciężaj”.

# Podziel dane
def split(features, data):
    values = {feature: list(set(row[feature]
                                for row in data))
              for feature in features}
    if not features:
        return data
    return {val: split(features[1:],
                       [row for row in data
                        if row[features[0]] == val])
            for val in values[features[0]]}

split_data = split(['Outlook'], data)

for outlook in values['Outlook']:
    print('\n\tOutlook\tHumid\tWind\tPlay')
    for row in split_data[outlook]:
        print('Day {Day}:\t{Outlook}\t{Humidity}\t{Wind}\t{Play}'
              .format(**row))

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 1:	Sunny	High	Weak	No
Day 2:	Sunny	High	Strong	No
Day 8:	Sunny	High	Weak	No
Day 9:	Sunny	Normal	Weak	Yes
Day 11:	Sunny	Normal	Strong	Yes

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 4:	Rain	High	Weak	Yes
Day 5:	Rain	Normal	Weak	Yes
Day 6:	Rain	Normal	Strong	No
Day 10:	Rain	Normal	Weak	Yes
Day 14:	Rain	High	Strong	No

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 3:	Overcast	High	Weak	Yes
Day 7:	Overcast	Normal	Strong	Yes
Day 12:	Overcast	High	Strong	Yes
Day 13:	Overcast	Normal	Weak	Yes

Obserwacja: John lubi grać, gdy jest pochmurnie.

W pozostałych przypadkach podzielmy dane ponownie:

split_data_sunny = split(['Outlook', 'Humidity'], data)

for humidity in values['Humidity']:
    print('\n\tOutlook\tHumid\tWind\tPlay')
    for row in split_data_sunny['Sunny'][humidity]:
        print('Day {Day}:\t{Outlook}\t{Humidity}\t{Wind}\t{Play}'
              .format(**row))

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 1:	Sunny	High	Weak	No
Day 2:	Sunny	High	Strong	No
Day 8:	Sunny	High	Weak	No

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 9:	Sunny	Normal	Weak	Yes
Day 11:	Sunny	Normal	Strong	Yes

split_data_rain = split(['Outlook', 'Wind'], data)

for wind in values['Wind']:
    print('\n\tOutlook\tHumid\tWind\tPlay')
    for row in split_data_rain['Rain'][wind]:
        print('Day {Day}:\t{Outlook}\t{Humidity}\t{Wind}\t{Play}'
              .format(**row))

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 6:	Rain	Normal	Strong	No
Day 14:	Rain	High	Strong	No

	Outlook	Humid	Wind	Play
Day 4:	Rain	High	Weak	Yes
Day 5:	Rain	Normal	Weak	Yes
Day 10:	Rain	Normal	Weak	Yes

• Outlook=
  • Overcast
    • → Playing
  • Sunny
    • Humidity=
      • High
        • → Not playing
      • Normal
        • → Playing
  • Rain
    • Wind=
      • Weak
        • → Playing
      • Strong
        • → Not playing

• (9/5)
  • Outlook=Overcast (4/0)
    • YES
  • Outlook=Sunny (2/3)
    • Humidity=High (0/3)
      • NO
    • Humidity=Normal (2/0)
      • YES
  • Outlook=Rain (3/2)
    • Wind=Weak (3/0)
      • YES
    • Wind=Strong (0/2)
      • NO

Algorytm ID3

Pseudokod algorytmu:

• podziel(węzeł, zbiór przykładów):
  1. A ← najlepszy atrybut do podziału zbioru przykładów
  2. Dla każdej wartości atrybutu A, utwórz nowy węzeł potomny
  3. Podziel zbiór przykładów na podzbiory według węzłów potomnych
  4. Dla każdego węzła potomnego i podzbioru:
     • jeżeli podzbiór jest jednolity: zakończ
     • w przeciwnym przypadku: podziel(węzeł potomny, podzbiór)

Jak wybrać „najlepszy atrybut”?

• powinien zawierać jednolity podzbiór
• albo przynajmniej „w miarę jednolity”

Skąd wziąć miarę „jednolitości” podzbioru?

• miara powinna być symetryczna (4/0 vs. 0/4)

Entropia

$$ H(S) = - p_{(+)} \log p_{(+)} - p_{(-)} \log p_{(-)} $$

• $S$ – podzbiór przykładów
• $p_{(+)}$, $p_{(-)}$ – procent pozytywnych/negatywnych przykładów w $S$

Entropię można traktować jako „liczbę bitów” potrzebną do sprawdzenia, czy losowo wybrany $x \in S$ jest pozytywnym, czy negatywnym przykładem.

Przykład:

• (3 TAK / 3 NIE): $$ H(S) = -\frac{3}{6} \log\frac{3}{6} - \frac{3}{6} \log\frac{3}{6} = 1 \mbox{ bit} $$
• (4 TAK / 0 NIE): $$ H(S) = -\frac{4}{4} \log\frac{4}{4} - \frac{0}{4} \log\frac{0}{4} = 0 \mbox{ bitów} $$

_Information gain

_Information gain – różnica między entropią przed podziałem a entropią po podziale (podczas podziału entropia zmienia się):

$$ \mathop{\rm Gain}(S,A) = H(S) - \sum_{V \in \mathop{\rm Values(A)}} \frac{|S_V|}{|S|} H(S_V) $$

Przykład:

$$ \mathop{\rm Gain}(S, Wind) = H(S) - \frac{8}{14} H(S_{Wind={\rm Weak}}) - \frac{6}{14} H(S_{Wind={\rm Strong}}) = \\ = 0.94 - \frac{8}{14} \cdot 0.81 - \frac{6}{14} \cdot 1.0 = 0.049 $$

• _Information gain jest całkiem sensowną heurystyką wskazującą, który atrybut jest najlepszy do dokonania podziału.
• Ale: _information gain przeszacowuje użyteczność atrybutów, które mają dużo różnych wartości.
• Przykład: gdybyśmy wybrali jako atrybut _datę, otrzymalibyśmy bardzo duży information gain, ponieważ każdy podzbiór byłby jednolity, a nie byłoby to ani trochę użyteczne!

_Information gain ratio

$$ \mathop{\rm GainRatio}(S, A) = \frac{ \mathop{\rm Gain}(S, A) }{ -\sum_{V \in \mathop{\rm Values}(A)} \frac{|S_V|}{|S|} \log\frac{|S_V|}{|S|} } $$

• _Information gain ratio może być lepszym wyborem heurystyki wskazującej najużyteczniejszy atrybut, jeżeli atrybuty mają wiele różnych wartości.

Drzewa decyzyjne a formuły logiczne

Drzewo decyzyjne można pzekształcić na formułę logiczną w postaci normalnej (DNF):

$$ Play={\rm True} \Leftrightarrow \left( Outlook={\rm Overcast} \vee \\ ( Outlook={\rm Rain} \wedge Wind={\rm Weak} ) \vee \\ ( Outlook={\rm Sunny} \wedge Humidity={\rm Normal} ) \right) $$

Klasyfikacja wieloklasowa przy użyciu drzew decyzyjnych

Algorytm przebiega analogicznie, zmienia się jedynie wzór na entropię:

$$ H(S) = -\sum_{y \in Y} p_{(y)} \log p_{(y)} $$

Skuteczność algorytmu ID3

• Przyjmujemy, że wśród danych uczących nie ma duplikatów (tj. przykładów, które mają jednakowe cechy $x$, a mimo to należą do różnych klas $y$).
• Wówczas algorytm drzew decyzyjnych zawsze znajdzie rozwiązanie, ponieważ w ostateczności będziemy mieli węzły 1-elementowe na liściach drzewa.

Nadmierne dopasowanie drzew decyzyjnych

• Zauważmy, że w miarę postępowania algorytmu dokładność przewidywań drzewa (_accuracy) liczona na zbiorze uczącym dąży do 100% (i w ostateczności osiąga 100%, nawet kosztem jednoelementowych liści).
• Takie rozwiązanie niekoniecznie jest optymalne. Dokładność na zbiorze testowym może być dużo niższa, a to oznacza nadmierne dopasowanie.

Jak zapobiec nadmiernemu dopasowaniu?

Aby zapobiegać nadmiernemu dopasowaniu drzew decyzyjnych, należy je przycinać (_pruning).

Można tego dokonywać na kilka sposobów:

• Można zatrzymywać procedurę podziału w pewnym momencie (np. kiedy podzbiory staja się zbyt małe).
• Można najpierw wykonać algorytm ID3 w całości, a następnie przyciąć drzewo, np. kierując się wynikami uzyskanymi na zbiorze walidacyjnym.
• Algorytm _sub-tree replacement pruning (algorytm zachłanny).

Algorytm _Sub-tree replacement pruning

1. Dla każdego węzła:
   1. Udaj, że usuwasz węzeł wraz z całym zaczepionym w nim poddrzewem.
   2. Dokonaj ewaluacji na zbiorze walidacyjnym.
2. Usuń węzeł, którego usunięcie daje największą poprawę wyniku.
3. Powtarzaj, dopóki usuwanie węzłów poprawia wynik.

Zalety drzew decyzyjnych

• Zasadę działania drzew decyzyjnych łatwo zrozumieć człowiekowi.
• Atrybuty, które nie wpływają na wynik, mają _gain równy 0, zatem są od razu pomijane przez algorytm.
• Po zbudowaniu, drzewo decyzyjne jest bardzo szybkim klasyfikatorem (złożoność $O(d)$, gdzie $d$ jest głębokościa drzewa).

Wady drzew decyzyjnych

• ID3 jest algorytmem zachłannym – może nie wskazać najlepszego drzewa.
• Nie da się otrzymać granic klas (_decision boundaries), które nie są równoległe do osi wykresu.

Lasy losowe

Algorytm lasów losowych – idea

• Algorytm lasów losowych jest rozwinięciem algorytmu ID3.
• Jest to bardzo wydajny algorytm klasyfikacji.
• Zamiast jednego, będziemy budować $k$ drzew.

Algorytm lasów losowych – budowa lasu

1. Weź losowy podzbiór $S_r$ zbioru uczącego.
2. Zbuduj pełne (tj. bez przycinania) drzewo decyzyjne dla $S_r$, używając algorytmu ID3 z następującymi modyfikacjami:
   • podczas podziału używaj losowego $d$-elementowego podzbioru atrybutów,
   • obliczaj _gain względem $S_r$.
3. Powyższą procedurę powtórz $k$-krotnie, otrzymując $k$ drzew ($T_1, T_2, \ldots, T_k$).

Algorytm lasów losowych – predykcja

1. Sklasyfikuj $x$ według każdego z drzew $T_1, T_2, \ldots, T_k$ z osobna.
2. Użyj głosowania większościowego: przypisz klasę przewidzianą przez najwięcej drzew.