tw

zajęcia 4/tw pitagorasa.tex

@@ -0,0 +1,99 @@
+\documentclass[11pt]{beamer}
+\usepackage{ucs}
+\usetheme{Warsaw}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{polski}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsthm}
+
+\newtheorem{tw}{Twierdzenie}
+%\theoremstyle{definition}
+%\newtheorem{definition}{Definicja}
+
+\author{Izabela Kosmala}
+\title{Twierdzenie Pitagorasa}
+\subtitle{Dowód}
+\institute{Uniwersytet im. Adama Mickiewicza} 
+\date{09.11.2017 r.} 
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}
+\titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Twierdzenie Pitagorasa}
+\begin{tw}[Pitagorasa]
+
+W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
+Niech $a$,$b$ oznaczają długości przyprostokątnych, $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej. Prawdziwy jest wtedy wzór:
+\[a^2=b^2+c^2\]
+
+\end{tw}
+
+\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+\draw (-5,0);
+\draw (-5,5);
+\draw (0,0)--(4,4)--(4,0)--cycle;
+\node[below] at (2,-0.05) {a};
+\node[right] at (4.05,2) {b};
+\node[above] at (1.75,2.05) {c};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Dowód tw. Pitagorasa}
+Przedstawimy dowód oparty na podobieństwie trójkątów.
+
+Na początek poprowadzimy wysokość z wierzchołka przy kącie prostokątnym i oznaczmy ją przez $h$. Wierzchołki trójkąta oznaczmy przez $A$,$B$,$C$ a punkt, w którym wysokość przecina przeciwprostokątną przez $D$. Niech $a$,$b$ oznaczają długości przyprostokątnych, $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej.
+
+\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+\draw (-1,5);
+\draw (2,0)--(4,4)--(12,0)--cycle;
+
+\node[below] at (2,0) {A};
+\node[above] at (4,4) {C};
+\node[below] at (12,0) {B};
+\node[below] at (4,0) {D};
+\node[below] at (6,-0.05) {c};
+\node[above] at (3,-0.05) {c$_1$};
+\node[above] at (8,-0.05) {c$_2$};
+\node[above] at (8,2) {a};
+\node[above] at (2.75,2.05) {b};
+\node[right] at (4,2) {h};
+\draw (4,4) -- (4,0);
+\end{tikzpicture}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+Z własności wysokości, wiemy, że $\angle ADC$ i $\angle BDC$ są kątami prostymi. Wobec tego $|\angle ACD| = |\angle ABC| = |\angle ACD|$ oraz $|\angle BCD| = |\angle BAC| = |\angle DAC|$, oznaczmy $\angle ACD = \beta$ oraz $\angle ABC = \alpha$. 
+
+ Możemy wywnioskować więc, że $\triangle ADC$, $\triangle ACB$ oraz $\triangle BCD$  są trójkątami podobnymi na podstawie cechy KKK. 
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+Zauważmy, że $\cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{c_1}{b}$. Stąd $b^2=c*c_1$. 
+
+Zauważmy, że $\cos\beta = \frac{a}{c} = \frac{c_2}{a}$. Stąd $a^2=c*c_2$.
+
+Wiemy, że $c_1 + c_2 = c$.
+
+Wobec tego $a^2 + b^2 = cc_2 + cc_1 = c(c_2 + c_1) = c^2$.
+\begin{flushright}
+$\square$
+\end{flushright}
+\end{frame}
+
+
+
+
+
+\end{document}