Filip Gralinski 724be2f486 Bernoulli

2021-04-27 16:50:25 +02:00

14 KiB

Raw Blame History

Klasyfikacja binarna dla tekstu

Zakładamy, że mamy dwie klasy: $c$ i jej dopełnienie ($\bar{c}$).

Typowym przykładem jest zadanie klasyfikacji mejla, czy należy do spamu, czy nie (_spam vs ham), czyli innymi słowy filtr antyspamowy.

Pytanie: Czy można wyobrazić sobie zadanie klasyfikacji mejli, niebędące zadaniem klasyfikacji binarnej?

Zakładamy paradygmat uczenia nadzorowanego, tzn. dysponujemy zbiorem uczącym.

Pytanie: Czym jest i w jaki sposób powstaje zbiór uczący dla filtru antyspamowego?

Klasyfikacja regułowa

Filtr anyspamowe _można zrealizować za pomocą metod innych niż opartych na uczeniu maszynowym. Można np. tworzyć reguły (np. wyrażenia regularne). Przykładem są (barokowe...) reguły w programie SpamAssassin, zob. fragment pliku reguł:

header __FRAUD_VQE    Subject =~ /^(?:Re:|\[.{1,10}\])?\s*(?:very )?urgent\s+(?:(?:and|&)\s+)?(?:confidential|assistance|business|attention|reply|response|help)\b/i

body __FRAUD_DBI    /(?:\bdollars?\b|\busd(?:ollars)?(?:[0-9]|\b)|\bus\$|\$[0-9,.]{6,}|\$[0-9].{0,8}[mb]illion|\$[0-9.,]{2,10} ?m|\beuros?\b|u[.]?s[.]? [0-9.]+ m)/i
body __FRAUD_KJV    /(?:claim|concerning) (?:the|this) money/i
body __FRAUD_IRJ    /(?:finance|holding|securit(?:ies|y)) (?:company|firm|storage house)/i
body __FRAUD_NEB    /(?:government|bank) of nigeria/i
body __FRAUD_XJR    /(?:who was a|as a|an? honest|you being a|to any) foreigner/i

Pytanie: Jakie są wady i zalety regułowych filtrów antyspamowych?

Współcześnie zdecydowanie dominuje użycie metod statystycznych (opartych na nadzorowanym uczeniu maszynowym). Do popularności tych metod przyczynił się artykuł Plan for spam autorstwa Paula Grahama.

Podejście generatywne i dyskryminatywne

W klasyfikacji (i w ogóle w uczeniu nadzorowanym) można wskazać dwa podejścia:

generatywne - wymyślamy pewną "historyjkę", w jaki sposób powstaje tekst, "historyjka" powinna mieć miejsca do wypełnienia (parametry), np. częstości wyrazów, na podstawie zbioru uczącego dobieramy wartości parametrów (przez rachunki wprost); "historyjka" nie musi być prawdziwa, wystarczy, że jakoś przybliża rzeczywistość
dyskryminatywne - nie zastanawiamy się, w jaki sposób powstają teksty, po prostu "na siłę" dobieramy wartości parametrów (wag) modelu, tak aby uzyskać jak najmniejszą wartość funkcji kosztu na zbiorze uczącym; zwykle odbywa się to w iteracyjnym procesie (tak jak przedstawiono na schemacie na poprzednim wykładzie).

Pytanie: Jakie są wady i zalety obu podejść?

Nasz "dyżurny" przykład

Zakładamy, że nasz zbiór uczący ($X$) składa się z 4 dokumentów:

$x_1=\mathit{kup\ pan\ Viagrę}$
$x_2=\mathit{tanie\ miejsce\ dla\ pana}$
$x_3=\mathit{viagra\ viagra\ viagra}$
$x_4=\mathit{kup\ tanie\ cartridge'e}$

z następującymi etykietami:

$y_1=c$ (spam)
$y_2=\bar{c}$ (nie-spam)
$y_3=c$
$y_4=c$

Zakładamy, że dokumenty podlegają lematyzacji i sprowadzeniu do mały liter, więc ostatecznie będziemy mieli następujące ciąg termów:

$x_1=(\mathit{kupić}, \mathit{pan}, \mathit{viagra})$
$x_2=(\mathit{tani}, \mathit{miejsce}, \mathit{dla}, \mathit{pan})$
$x_3=(\mathit{viagra}, \mathit{viagra}, \mathit{viagra})$
$x_4=(\mathit{kupić}, \mathit{tani}, \mathit{cartridge})$

$P(tani|c) = (1+1)/(9+7) = 2/16 = 0.125$ $P(viagra|c) = \frac{4+1}{9 + 7} = 5/16 = 0.3125 $ $P(dla|c) = \frac{0+1}{9+7} = 1/16 = 0.0625$ $P(pan|c) = (1+1)/(9+7) = 2/16 = 0.125 $ $P(c) = 0.75$

w werjis Bernoulliego: $P(c)P(U_{dla}=1|c)P(U_{cartridge}=0|c)P(U_{viagra}=1|c)P(U_{pan}=1|c)P(U_{tani}=1|c)P(U_{miejsce}=0|c)P(U_{kup}=0|c)$

$P(tani|\bar{c}) = (1+1)/(4+7) = 2/11 =0.182 $ $P(viagra|\bar{c}) = 1/11 = 0.091 $ $P(dla|\bar{c}) = 2/11 = 0.182 $ $P(pan|\bar{c}) = 2/11 = 0.182 $ $P(\bar{c}) = 0.25$

$P(\bar{c})P(tani|\bar{c})P(tani|\bar{c})P(dla|\bar{c})P(pan|\bar{c}) = 0.25 * 0.182 * 0.182 * 0.091 * 0.182 * 0.182 = 0.00002496$

Uczymy na tym zbiorze klasyfikator, który będziemy testować na dokumencie $d=\mathit{tania\ tania\ viagra\ dla\ pana}$, tj. po normalizacji $d=(\mathit{tani}, \mathit{tani}, \mathit{viagra}, \mathit{dla}, \mathit{pan})$.

Uwaga: Przykład jest oczywiście nierealistyczny i trudno będzie nam ocenić sensowność odpowiedzi. Za to będziemy w stanie policzyć ręcznie wynik.

Naiwny klasyfikator bayesowski

_naiwny - niekoniecznie oznacza, że to "głupi", bezużyteczny klasyfikator
_klasyfikator
_bayesowski - będzie odwoływać się do wzoru Bayesa.

Naiwny klasyfikator bayesowski raczej nie powinien być stosowany "produkcyjnie" (są lepsze metody). Natomiast jest to metoda bardzo prosta w implementacji dająca przyzwoity _baseline.

Naiwny klasyfikator bayesowski ma dwie odmiany:

wielomianową,
Bernoulliego.

Wielomianowy naiwny klasyfikator bayesowski jest częściej spotykany i od niego zaczniemy.

Mamy dokument $d$ i dwie klasy $c$ i $\bar{c}$. Policzymy prawdopodobieństwa $P(c|d)$ (mamy dokument $d$, jakie jest prawdopodobieństwo, że to klasa $c$) i $P(\bar{c}|d)$. A właściwie będziemy te prawdopodobieństwa porównywać.

Uwaga: nasz zapis to skrót notacyjny, właściwie powinniśmy podać zmienne losowe $P(C=c|D=d)$, ale zazwyczaj będziemy je pomijać.

Pytanie: kiedy ostatecznie nasz klasyfikator zwróci informację, że klasa $c$, a kiedy że $\bar{c}$? czy użytkownika interesują prawdopodobieństwa $P(c|d)$ i $P(\bar{c}|d)$?

Zastosujmy najpierw wzór Bayesa.

$P(c|d) = \frac{P(d|c) P(c)}{P(d)}$

$P(\bar{c}|d) = \frac{P(d|\bar{c}) P(\bar{c})}{P(d)}$

(Oczywiście skądinąd $P(\bar{c}|d) = 1 - P(c|d)$, ale nie będziemy teraz tego wykorzystywali.)

Co możemy pominąć, jeśli tylko porównujemy $P(c|d)$ i $P(\bar{c}|d)$?

Użyjmy znaku proporcjonalności $\propto$:

$P(c|d) = \frac{P(d|c) P(c)}{P(d)} \propto P(d|c) P(c)$

$P(\bar{c}|d) = \frac{P(d|\bar{c}) P(\bar{c})}{P(d)} \propto P(d|\bar{c}) P(\bar{c})$

Pytanie: czy iloczyn $P(d|c)P(c)$ można interpretować jako prawdopodobieństwo?

Prawdopodobieństwo _a priori

$P(c)$ - prawdopodobieństwo a priori klasy $c$

$\hat{P}(c) = \frac{N_c}{N}$

gdzie

N - liczba wszystkich dokumentów w zbiorze uczącym
N_c - liczba dokumentow w zbiorze uczącym z klasą $c$

$\hat{P}(c) = 0,75$

$\hat{P}(\bar{c}) = 0,25$

Prawdopodobieństwo _a posteriori

Jak interpretować $P(d|c)$?

Wymyślmy sobie model generatywny, $P(d|c)$ będzie prawdopodobieństwem, że spamer (jeśli $c$ to spam) wygeneruje tekst.

Załóżmy, że dokument $d$ to ciąg $n$ termów, $d = (t_1\dots t_n)$. Na razie niewiele z tego wynika.

$P(d|c) = P(t_1\dots t_n|c)$

Żeby pójść dalej musimy doszczegółowić nasz model generatywny. Przyjmijmy bardzo naiwny i niezgodny z rzeczywistością model spamera (i nie-spamera): spamer wyciąga wyrazy z worka i wrzuca je z powrotem (losowanie ze zwracaniem). Jedyne co odróżnia spamera i nie-spamera, to prawdopodobieństwo wylosowania wyrazu (np. spamer wylosuje słowo _Viagra z dość dużym prawdopodobieństwem, nie-spamer - z bardzo niskim).

Pytanie: Ile może wynosić $P(\mathit{Viagra}|c)$?

Po przyjęciu takich "naiwnych założeń":

Jak oszacować $\hat{P}(t|c)$?

$$\hat{P}(t|c) = \frac{#(t,c)}{\sum_i^{|V|} #(t_i,c)} = \frac{\mathit{ile\ razy\ term\ t\ pojawił\ się\ w\ dokumentach\ klasy\ c}}{liczba\ wyrazów\ w\ klasie\ c}$$

Wygładzanie

Mamy problem z zerowymi prawdopodobieństwami.

Czy jeśli w naszym zbiorze uczącym spamerzy ani razu nie użyli słowa _wykładzina, to $P(\mathit{wykładzina}|c) = 0$?.

Musimy zastosować wygładzanie (_smoothing). Spróbujmy wymyślić wygładzanie wychodząc od zdroworozsądkowych aksjomatów.

Aksjomaty wygładzania.

Założmy, że mamy dyskretną przestrzeń probabilistyczną $\Omega = \{\omega_1,\dots,\omega_m\}$, zdarzenie $\omega_i$ w naszym zbiorze uczącym wystąpiło $k_i$ razy. Wprost prawdopodobieństwa byśmy oszacowali tak: $P(\omega_i) = \frac{k_i}{\sum_j^m k_j}$. Szukamy zamiast tego funkcji wygładzającej $f(m, k, T)$ (innej niż $f(m, k, T) = \frac{k}{T}$), która spełniałaby następujące aksjomaty:

$f(m, k, T) \in [0, 1]$
$f(m, k, T) \in (0, 1)$ jeśli $m > 1$
$\sum_i f(m, k_i, T) = 1$, jeśli $\sum_i k_i = T$
$f(m, 0, 0) = \frac{1}{m}$
$\lim_{T \to \inf} f(m, k, T) = \frac{k}{T}$

m=2, k1=2, k2=4, T=6, 2/6 => f(2, 2, 6) > 0.333, f(2, 4, 6) < 0.666

Jaka funkcja spełnia te aksjomaty?

$$f(m, k, T) = \frac{k+1}{T+m}$$

Jest to wygładzanie +1, albo wygładzanie Laplace'a.

Pytanie: Wymyślić jakiś inny przykład funkcji, która będzie spełniała aksjomaty.

Po zastosowaniu do naszego naiwnego klasyfikatora otrzymamy:

$$\hat{P}(t|c) = \frac{#(t,c) + 1}{\sum_i^{|V|} #(t_i,c) + |V|}$$

Metoda Bernoulliego

$$P(𝑑|𝑐) \approx P(U=u_1|c)\dots P(U=u_{|v|})$$, gdzie $u_i = 1$, $t_i$ pojawił się w dokumencie $d$, 0 - w przeciwnym razie

$\hat{P}(U_{viagra}=1|c) = \frac{#(viagra,N_c) + 1}{N_c + 2}$

14 KiB Raw Blame History Unescape Escape