4.8 KiB
Przygotowali
Wojciech Jarmosz
Michał Kubiak
Przemysław Owczarczyk
Temat:
Spacery losowe po grafach: algorytm wyszukiwania klastrów. Dla dużych grafów istotną informacją jest wykrycie podgrafów, które są silnie ze sobą powiązane. Za pomocą spacerów losowych po grafach zaprojektuj algorytm, który odkrywa strukturę klastrów w grafie (clustering algorithm). Wykorzystaj swój algorytm do wskazania krytycznych wierzchołków, tj. wierzchołków, których usunięcie rozspójnia graf. Przeanalizuj wariant algorytmu dla grafów skierowanych i grafów nieskierowanych.
Wstęp
W tym projekcie opiszemy i przedstawimy skuteczny algorytm grupowania oparty na grafach, zwany grupowaniem Markowa. Podobnie jak inne algorytmy klastrowania oparte na grafach i w przeciwieństwie do klastrowania K- średnich, algorytm ten nie wymaga wcześniejszej znajomości liczby klastrów. Algorytm ten jest bardzo popularny w klastrowaniu danych bioinformatycznych, w szczególności do klastrowania sekwencji białek i klastrowania genów. Algorytm ten nadaje się również do obliczeń rozproszonych.
Spacery losowe
- Spacery losowe są podstawą algorytmu MCL.
- Poruszając się losowo od węzła do węzła, istnieje większe prawdopodobieństwo poruszania się wewnątrz klastru, niż przecinania klastrów. Dzieje się tak, ponieważ z definicji klastry są wewnętrznie gęste, a są oddzielone rzadkimi regionami. W grupowaniu grafów gęstość i rzadkość definiuje się jako proporcję szczelin krawędziowych, które mają w sobie krawędzie.
- Przeprowadzając spacery losowe, mamy większą szansę na znalezienie trendu gromadzenia się wierzchołków i definicji klastrów w grafie.
- Spacery losowe w grafie są obliczane za pomocą łańcuchów Markowa.
Markov Chains
Przykład ilustrujący działania łańcuchów Markova:
Będąc w węźlę 1 "random walker" ma 33% szansy na przejścia do węzłów 2, 3 i 4 oraz 0% do węzłów 5, 6 i 7.
Z węzła 2 ma 25% szansy na przejście do węzłów 1, 3, 4, 5 oraz 0% do węzłów 6 i 7.
Dla tego grafu macierz przejścia wygląda następująco. Można na nią patrzeć jako macierz prawdopodobieństwa, ponieważ każda kolumna sumuję się do 1.
Algorytm MCL
- Korzystając z łańcuchów Markowa, rozważ dla każdej pary wezłów u i v prawdopodobieństwo rozpoczęcia od węzła u i zakończenia w węźle v po przejściu k kroków. Prawdopodobieństwo przejścia z u do v wynosi 1/u.
- Znormalizuj macierz do wartości w przedziale <0,1>
- Dla tak powstałej macierzy prawdopodobieństw P, obliczamy P(k) mnożąc P przez siebie k razy. (k wynosi zazwyczaj 2 lub 3). Dla początkowych potęg macierzy, poszczególne wagi połączeń będą większe w przypadku wierzchołków znajdujących się w obrębie klastra oraz niższe w przypadku połączeń pomiędzy klastrami.
- Wzmocnij obserwację z poprzedniego punktu stosując tzw. inflację z parametrem r, wpływa ona na "ziarnistość" klastrów.
- Powtarzaj kroki 3 i 4 do momentu osiągnięcia ustalonego stanu (konwergancja) - suma wartości w pojedynczej kolumnie sumuje się do tej samej liczby, w praktyce taka własność zachodzi często ale nie zawsze.
- Zinterpretuj powstałą macierz w celu odkrycia klastrów. {1}, {2, 4}, {3}