525 KiB
Uczenie maszynowe
3. Regresja liniowa – część 2
3.1. Regresja liniowa wielu zmiennych
Do przewidywania wartości $y$ możemy użyć więcej niż jednej cechy $x$:
Przykład – ceny mieszkań
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_csv("data_flats_train.tsv", sep="\t")
data.rename(
columns={
col: f"x{i}:{col}" if i > 0 else f"y:{col}"
for i, col in enumerate(data.columns)
},
inplace=True,
)
data.index = np.arange(1, len(data) + 1)print(data)y:price x1:isNew x2:rooms x3:floor x4:location x5:sqrMetres 1 476118.0 False 3 1 Centrum 78 2 459531.0 False 3 2 Sołacz 62 3 411557.0 False 3 0 Sołacz 15 4 496416.0 False 4 0 Sołacz 14 5 406032.0 False 3 0 Sołacz 15 ... ... ... ... ... ... ... 1335 349000.0 False 4 0 Szczepankowo 29 1336 399000.0 False 5 0 Szczepankowo 68 1337 234000.0 True 2 7 Wilda 50 1338 210000.0 True 2 1 Wilda 65 1339 279000.0 True 2 2 Łazarz 36 [1339 rows x 6 columns]
$$ x^{(2)} = ({\rm "False"}, 3, 2, {\rm "Sołacz"}, 62), \quad x_3^{(2)} = 2 $$
Hipoteza
W naszym przypadku (wybraliśmy 5 cech):
$$ h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \theta_3 x_3 + \theta_4 x_4 + \theta_5 x_5 $$
W ogólności ($n$ cech):
$$ h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots + \theta_n x_n $$
Jeżeli zdefiniujemy $x_0 = 1$, będziemy mogli powyższy wzór zapisać w bardziej kompaktowy sposób:
$$ \begin{array}{rcl} h_\theta(x) & = & \theta_0 x_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots + \theta_n x_n \\ & = & \displaystyle\sum_{i=0}^{n} \theta_i x_i \\ & = & \theta^T , x \\ & = & x^T , \theta \\ \end{array} $$
($x$ oznacza pojedynczy przykład ze zbioru uczącego).
Metoda gradientu prostego – notacja macierzowa
Metoda gradientu prostego przyjmie bardzo elegancką formę, jeżeli do jej zapisu użyjemy wektorów i macierzy.
$$ X=\left[\begin{array}{cc} 1 & \left( \vec x^{(1)} \right)^T \\ 1 & \left( \vec x^{(2)} \right)^T \\ \vdots & \vdots\\ 1 & \left( \vec x^{(m)} \right)^T \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 1 & x_1^{(1)} & \cdots & x_n^{(1)} \\ 1 & x_1^{(2)} & \cdots & x_n^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_1^{(m)} & \cdots & x_n^{(m)} \\ \end{array}\right] \quad \vec{y} = \left[\begin{array}{c} y^{(1)}\\ y^{(2)}\\ \vdots\\ y^{(m)}\\ \end{array}\right] \quad \theta = \left[\begin{array}{c} \theta_0\\ \theta_1\\ \vdots\\ \theta_n\\ \end{array}\right] $$
$$h_\theta(X) = X \theta$$
($X$ oznacza macierz reprezentującą cechy wszystkich przykładów ze zbioru uczącego).
# Wersje macierzowe funkcji rysowania wykresów punktowych oraz krzywej regresyjnej
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def h(theta, x):
return x * theta
def regdots(x, y, xlabel="", ylabel=""):
fig = plt.figure(figsize=(16 * 0.6, 9 * 0.6))
ax = fig.add_subplot(111)
fig.subplots_adjust(left=0.1, right=0.9, bottom=0.1, top=0.9)
ax.scatter([x], [y], c="r", s=50, label="Dane")
ax.set_xlabel(xlabel)
ax.set_ylabel(ylabel)
ax.margins(0.05, 0.05)
plt.ylim(y.min() - 1, y.max() + 1)
plt.xlim(np.min(x) - 1, np.max(x) + 1)
return fig
def regline(fig, fun, theta, x, y, cost_fun):
ax = fig.axes[0]
x_min = np.min(x)
x_max = np.max(x)
x_range = [x_min, x_max]
x_matrix = np.matrix([1, x_min, 1, x_max]).reshape(2, 2)
cost = cost_fun(theta, x, y)
ax.plot(
x_range,
fun(theta, x_matrix),
linewidth="2",
label=(
r"$y={theta0:.1f}{op}{theta1:.1f}x, \; J(\theta)={cost:.3f}$".format(
theta0=theta[0],
theta1=(theta[1] if theta[1] >= 0 else -theta[1]),
op="+" if theta[1] >= 0 else "-",
cost=cost,
)
),
)
def legend(fig):
ax = fig.axes[0]
handles, labels = ax.get_legend_handles_labels()
# try-except block is a fix for a bug in Poly3DCollection
try:
fig.legend(handles, labels, fontsize="15", loc="lower right")
except AttributeError:
pass
# Wczytwanie danych z pliku – regresja liniowa wielu zmiennych – notacja macierzowa
import pandas as pd
data = pd.read_csv(
"data_flats_train.tsv",
delimiter="\t",
usecols=["price", "rooms", "floor", "sqrMetres"],
)
m, n_plus_1 = data.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data.values[:, 1:].reshape(m, n)
# Dodaj kolumnę jedynek do macierzy
X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
y = np.matrix(data.values[:, 0]).reshape(m, 1)
print(f"{X[:5]=}")
print(f"{X.shape=}")
print(f"{y[:5]=}")
print(f"{y.shape=}")
X[:5]=matrix([[ 1., 3., 1., 78.],
[ 1., 3., 2., 62.],
[ 1., 3., 0., 15.],
[ 1., 4., 0., 14.],
[ 1., 3., 0., 15.]])
X.shape=(1339, 4)
y[:5]=matrix([[476118.],
[459531.],
[411557.],
[496416.],
[406032.]])
y.shape=(1339, 1)
Funkcja kosztu – notacja macierzowa
$$J(\theta)=\dfrac{1}{2|\vec y|}\left(X\theta-\vec{y}\right)^T\left(X\theta-\vec{y}\right)$$
from IPython.display import display, Math, Latex
def J(theta, X, y):
"""Wersja macierzowa funkcji kosztu"""
m = len(y)
cost = 1.0 / (2.0 * m) * ((X * theta - y).T * (X * theta - y))
return cost.item()
theta = np.matrix([10, 90, -1, 2.5]).reshape(4, 1)
cost = J(theta, X, y)
display(Math(r"\Large J(\theta) = %.4f" % cost))
Gradient – notacja macierzowa
$$\nabla J(\theta) = \frac{1}{|\vec y|} X^T\left(X\theta-\vec y\right)$$
# Wyświetlanie macierzy w LaTeX-u
def latex_matrix(matrix):
ltx = r"\left[\begin{array}"
m, n = matrix.shape
ltx += "{" + ("r" * n) + "}"
for i in range(m):
ltx += r" & ".join([("%.4f" % j.item()) for j in matrix[i]]) + r" \\\\ "
ltx += r"\end{array}\right]"
return ltx
from IPython.display import display, Math, Latex
def dJ(theta, X, y):
"""Wersja macierzowa gradientu funckji kosztu"""
return 1.0 / len(y) * (X.T * (X * theta - y))
theta = np.matrix([10, 90, -1, 2.5]).reshape(4, 1)
display(
Math(
r"\large \theta = "
+ latex_matrix(theta)
+ r"\quad"
+ r"\large \nabla J(\theta) = "
+ latex_matrix(dJ(theta, X, y))
)
)
Algorytm gradientu prostego – notacja macierzowa
$$ \theta := \theta - \alpha , \nabla J(\theta) $$
def gradient_descent(fJ, fdJ, theta, X, y, alpha, eps):
"""Implementacja algorytmu gradientu prostego za pomocą numpy i macierzy"""
current_cost = fJ(theta, X, y)
history = [[current_cost, theta]]
while True:
theta = theta - alpha * fdJ(theta, X, y) # implementacja wzoru
current_cost, prev_cost = fJ(theta, X, y), current_cost
if abs(prev_cost - current_cost) <= eps:
break
if current_cost > prev_cost:
print("Długość kroku (alpha) jest zbyt duża!")
break
history.append([current_cost, theta])
return theta, historytheta_start = np.zeros((n + 1, 1))
# Zmieniamy wartości alpha (rozmiar kroku) oraz eps (kryterium stopu)
theta_best, history = gradient_descent(J, dJ, theta_start, X, y, alpha=0.0001, eps=0.1)
display(
Math(
r"\large\textrm{Wynik:}\quad \theta = "
+ latex_matrix(theta_best)
+ (r" \quad J(\theta) = %.4f" % history[-1][0])
+ r" \quad \textrm{po %d iteracjach}" % len(history)
)
)3.2. Metoda gradientu prostego w praktyce
Kryterium stopu
Algorytm gradientu prostego polega na wykonywaniu określonych kroków w pętli. Pytanie brzmi: kiedy należy zatrzymać wykonywanie tej pętli?
W każdej kolejnej iteracji wartość funkcji kosztu maleje o coraz mniejszą wartość.
Parametr eps określa, jaka wartość graniczna tej różnicy jest dla nas wystarczająca:
- Im mniejsza wartość
eps, tym dokładniejszy wynik, ale dłuższy czas działania algorytmu. - Im większa wartość
eps, tym krótszy czas działania algorytmu, ale mniej dokładny wynik.
Na wykresie zobaczymy porównanie regresji dla różnych wartości eps
theta_start = np.zeros((n + 1, 1))
epss = [10.0**n for n in range(-1, 5)]
costs = []
lengths = []
for eps in epss:
theta_best, history = gradient_descent(
J, dJ, theta_start, X, y, alpha=0.0001, eps=eps
)
cost = history[-1][0]
steps = len(history)
print(f"{eps=:7}, {cost=:15.3f}, {steps=:6}")
costs.append(cost)
lengths.append(steps)eps= 0.1, cost=10324864803.159, steps=374575 eps= 1.0, cost=10324942127.799, steps=176746 eps= 10.0, cost=10325220747.014, steps= 60389 eps= 100.0, cost=10325742602.406, steps= 46184 eps= 1000.0, cost=10330453738.393, steps= 34059 eps=10000.0, cost=10377076139.727, steps= 22123
def eps_cost_steps_plot(eps, costs, steps):
"""Wykres kosztu i liczby kroków w zależności od eps"""
fig, ax1 = plt.subplots()
ax2 = ax1.twinx()
ax1.plot(eps, steps, "--s", color="green")
ax2.plot(eps, costs, ":o", color="orange")
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_xlabel("eps")
ax1.set_ylabel("liczba kroków", color="green")
ax2.set_ylabel("koszt", color="orange")
plt.show()
eps_cost_steps_plot(epss, costs, lengths)Długość kroku ($\alpha$)
import ipywidgets as widgets
# Jak zmienia się koszt w kolejnych krokach w zależności od alfa
def costchangeplot(history, return_fig=False):
fig = plt.figure(figsize=(16 * 0.6, 9 * 0.6))
ax = fig.add_subplot(111)
fig.subplots_adjust(left=0.1, right=0.9, bottom=0.1, top=0.9)
ax.set_xlabel("krok")
ax.set_ylabel(r"$J(\theta)$")
X = np.arange(0, 500, 1)
Y = [history[step][0] for step in X]
ax.plot(X, Y, linewidth="2", label=(r"$J(\theta)$"))
if return_fig:
return fig
def slide7(alpha):
theta_best, history = gradient_descent(
J, dJ, theta_start, X, y, alpha=0.0001, eps=0.1
)
fig = costchangeplot(history, return_fig=True)
legend(fig)
sliderAlpha1 = widgets.FloatSlider(
min=0.01, max=0.03, step=0.001, value=0.02, description=r"$\alpha$", width=300
)
widgets.interact_manual(slide7, alpha=sliderAlpha1)interactive(children=(FloatSlider(value=0.02, description='$\\\\alpha$', max=0.03, min=0.01, step=0.001), Button…
<function __main__.slide7(alpha)>
3.3. Normalizacja danych
Normalizacja danych to proces, który polega na dostosowaniu danych wejściowych w taki sposób, żeby ułatwić działanie algorytmowi gradientu prostego.
Wyjaśnię to na przykładzie.
Użyjemy danych z „Gratka flats challenge 2017”.
Rozważmy model $h(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \theta_3 x_3$, w którym cena mieszkania prognozowana jest na podstawie liczby pokoi $x_1$, piętra $x_2$ i metrażu $x_3$:
# Dane, które wczytaliśmy na początku wykładu
print(data)price rooms floor sqrMetres 0 476118.0 3 1 78 1 459531.0 3 2 62 2 411557.0 3 0 15 3 496416.0 4 0 14 4 406032.0 3 0 15 ... ... ... ... ... 1334 349000.0 4 0 29 1335 399000.0 5 0 68 1336 234000.0 2 7 50 1337 210000.0 2 1 65 1338 279000.0 2 2 36 [1339 rows x 4 columns]
def show_mins_and_maxs(X):
"""Funkcja, która pokazuje wartości minimalne i maksymalne w macierzy X"""
mins = np.amin(X, axis=0).tolist()[0] # wartości minimalne
maxs = np.amax(X, axis=0).tolist()[0] # wartości maksymalne
for i, (xmin, xmax) in enumerate(zip(mins, maxs)):
display(Math(r"${:.2F} \leq x_{} \leq {:.2F}$".format(xmin, i, xmax)))
Cechy w danych uczących przyjmują wartości z zakresu:
show_mins_and_maxs(X)Jak widzimy, $x_2$ przyjmuje wartości dużo większe niż $x_1$.
Z tego powodu wykres funkcji kosztu jest bardzo „spłaszczony” wzdłuż jednej z osi:
def contour_plot(X, y):
theta0_vals = np.linspace(-1e7, 1e7, 100)
theta1_vals = np.linspace(-1e7, 1e7, 100)
J_vals = np.zeros(shape=(theta0_vals.size, theta1_vals.size))
for t1, element in enumerate(theta0_vals):
for t2, element2 in enumerate(theta1_vals):
thetaT = np.matrix([1.0, element, element2]).reshape(3, 1)
J_vals[t1, t2] = J(thetaT, X, y)
plt.figure()
plt.contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals.T, levels=20)
plt.xlabel(r"$\theta_0$")
plt.ylabel(r"$\theta_1$")
contour_plot(
X[:, [0, 2, 3]], y
) # Wybieramy cechy [0, 2, 3], bo więcej nie da się zobaczyć na płaskim na wykresieJeżeli funkcja kosztu ma kształt taki, jak na powyższym wykresie, to łatwo sobie wyobrazić, że znalezienie minimum lokalnego przy użyciu metody gradientu prostego musi stanowć nie lada wyzwanie: algorytm szybko znajdzie „rynnę”, ale „zjazd” wzdłuż „rynny” w poszukiwaniu minimum będzie odbywał się bardzo powoli.
theta_start = np.zeros((n + 1, 1))
theta_best, history = gradient_descent(J, dJ, theta_start, X, y, alpha=0.0001, eps=0.1)
print(f"Liczba kroków: {len(history)}")
print(f"Koszt: {history[-1][0]}")Liczba kroków: 374575 Koszt: 10324864803.159063
costchangeplot(history)Jak temu zaradzić?
Spróbujemy przekształcić dane tak, żeby funkcja kosztu miała „ładny”, regularny kształt.
Skalowanie
Będziemy dążyć do tego, żeby każda z cech przyjmowała wartości w podobnym zakresie.
W tym celu przeskalujemy wartości każdej z cech, dzieląc je przez wartość maksymalną:
$$ \hat{x_i}^{(j)} := \frac{x_i^{(j)}}{\max_j x_i^{(j)}} $$
X_scaled = X / np.amax(X, axis=0)
show_mins_and_maxs(X_scaled)contour_plot(X_scaled[:, [0, 2, 3]], y)Teraz możemy użyć większej długości kroku $\alpha$, dzięki czemu algorytm szybciej znajdzie rozwiązanie.
theta_start = np.zeros((n + 1, 1))
theta_best, history = gradient_descent(
J, dJ, theta_start, X_scaled, y, alpha=0.01, eps=0.1
)
print(f"Liczba kroków: {len(history)}")
print(f"Koszt: {history[-1][0]}")Liczba kroków: 82456 Koszt: 10324856880.491594
costchangeplot(history)Normalizacja średniej
Będziemy dążyć do tego, żeby dodatkowo średnia wartość każdej z cech była w okolicach $0$.
W tym celu oprócz przeskalowania odejmiemy wartość średniej od wartości każdej z cech:
$$ \hat{x_i}^{(j)} := \frac{x_i^{(j)} - \mu_i}{\max_j x_i^{(j)}} $$
X_normalized = (X - np.mean(X, axis=0)) / np.amax(X, axis=0)
show_mins_and_maxs(X_normalized)contour_plot(X_normalized[:, [0, 2, 3]], y)Teraz funkcja kosztu ma wykres o bardzo regularnym kształcie – algorytm gradientu prostego zastosowany w takim przypadku bardzo szybko znajdzie minimum funkcji kosztu.
theta_start = np.zeros((n + 1, 1))
theta_best, history = gradient_descent(
J, dJ, theta_start, X_normalized, y, alpha=0.1, eps=0.1
)
print(f"Liczba kroków: {len(history)}")
print(f"Koszt: {history[-1][0]}")Liczba kroków: 9511 Koszt: 80221516127.09409
costchangeplot(history)