s452422/uczenie-maszynowe
1
0
Fork 0
forked from pms/uczenie-maszynowe
Code Pull Requests Activity
75bf48c262
uczenie-maszynowe/wyk/08_NB_i_KNN.ipynb
Paweł Skórzewski 72cb8414a4 Aktualizacja wykładów
2023-12-14 18:04:47 +01:00

979 KiB
Raw Blame History

Uczenie maszynowe

8. Przegląd metod uczenia nadzorowanego – część 1

8.1. Naiwny klasyfikator bayesowski

  • Naiwny klasyfikator bayesowski jest algorytmem dla problemu klasyfikacji wieloklasowej.
  • Naszym celem jest znalezienie funkcji uczącej $f \colon x \mapsto y$, gdzie $y$ oznacza jedną ze zdefiniowanych wcześniej klas.
  • Klasyfikacja probabilistyczna polega na wskazaniu klasy o najwyższym prawdopodobieństwie: $$ \hat{y} = \mathop{\arg \max}_y P( y ,|, x ) $$
  • Naiwny klasyfikator bayesowski należy do rodziny klasyfikatorów probabilistycznych

Thomas Bayes (wymowa: /beɪz/) (1702–1761) – angielski matematyk i duchowny

Twierdzenie Bayesa – wzór ogólny

$$ P( Y ,|, X ) = \frac{ P( X ,|, Y ) \cdot P( Y ) }{ P ( X ) } $$

Twierdzenie Bayesa opisuje związek między prawdopodobieństwami warunkowymi dwóch zdarzeń warunkujących się nawzajem.

Twierdzenie Bayesa

(po zastosowaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite)

$$ \underbrace{P( y_k ,|, x )}_\textrm{ prawd. a posteriori } = \frac{ \overbrace{ P( x ,|, y_k )}^\textrm{ model klasy } \cdot \overbrace{P( y_k )}^\textrm{ prawd. a priori } }{ \underbrace{\sum{i} P( x ,|, y_i ) , P( y_i )}_\textrm{wyrażenie normalizacyjne} } $$

  • W tym przypadku „zdarzenie $x$” oznacza, że cechy wejściowe danej obserwacji przyjmują wartości opisane wektorem $x$.
  • „Zdarzenie $y_k$” oznacza, że dana obserwacja należy do klasy $y_k$.
  • Model klasy $y_k$ opisuje rozkład prawdopodobieństwa cech obserwacji należących do tej klasy.
  • Prawdopodobieństwo _a priori to prawdopodobienstwo, że losowa obserwacja należy do klasy $y_k$.
  • Prawdopodobieństwo _a posteriori to prawdopodobieństwo, którego szukamy: że obserwacja opisana wektorem cech $x$ należy do klasy $y_k$.

Rola wyrażenia normalizacyjnego w twierdzeniu Bayesa

  • Wartość wyrażenia normalizacyjnego nie wpływa na wynik klasyfikacji.

Przykład: obserwacja nietypowa ma małe prawdopodobieństwo względem dowolnej klasy, wyrażenie normalizacyjne sprawia, że to prawdopodobieństwo staje się porównywalne z prawdopodobieństwami typowych obserwacji, ale nie wpływa na klasyfikację!

Klasyfikatory dyskryminatywne a generatywne

  • Klasyfikatory generatywne tworzą model rozkładu prawdopodobieństwa dla każdej z klas.
  • Klasyfikatory dyskryminatywne wyznaczają granicę klas (_decision boundary) bezpośrednio.
  • Naiwny klasyfikator bayesowski jest klasyfikatorem generatywnym (ponieważ wyznacza $P( x ,|, y )$).
  • Wszystkie klasyfikatory generatywne są probabilistyczne, ale nie na odwrót.
  • Regresja logistyczna jest przykładem klasyfikatora dyskryminatywnego.

Założenie niezależności dla naiwnego klasyfikatora bayesowskiego

  • Naiwny klasyfikator bayesowski jest _naiwny, ponieważ zakłada, że poszczególne cechy są niezależne od siebie: $$ P( x_1, \ldots, x_n ,|, y ) ,=, \prod_{i=1}^n P( x_i ,|, x_1, \ldots, x_{i-1}, y ) ,=, \prod_{i=1}^n P( x_i ,|, y ) $$
  • To założenie jest bardzo przydatne ze względów obliczeniowych, ponieważ bardzo często mamy do czynienia z ogromną liczbą cech (bitmapy, słowniki itp.)

Naiwny klasyfikator bayesowski – przykład

# Przydtne importy

import ipywidgets as widgets
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas

%matplotlib inline
# Wczytanie danych (gatunki kosaćców)

data_iris = pandas.read_csv('iris.csv')
data_iris_setosa = pandas.DataFrame()
data_iris_setosa['dł. płatka'] = data_iris['pl']  # "pl" oznacza "petal length"
data_iris_setosa['szer. płatka'] = data_iris['pw']  # "pw" oznacza "petal width"
data_iris_setosa['Iris setosa?'] = data_iris['Gatunek'].apply(lambda x: 1 if x=='Iris-setosa' else 0)

m, n_plus_1 = data_iris_setosa.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data_iris_setosa.values[:, 0:n].reshape(m, n)

X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y = np.matrix(data_iris_setosa.values[:, 2]).reshape(m, 1)
classes = [0, 1]
count = [sum(1 if y == c else 0 for y in Y.T.tolist()[0]) for c in classes]
prior_prob = [float(count[c]) / float(Y.shape[0]) for c in classes]

print('liczba przykładów: ', {c: count[c] for c in classes})
print('prior probability:', {c: prior_prob[c] for c in classes})
liczba przykładów:  {0: 100, 1: 50}
prior probability: {0: 0.6666666666666666, 1: 0.3333333333333333}

# Wykres danych (wersja macierzowa)
def plot_data_for_classification(X, Y, xlabel, ylabel):    
    fig = plt.figure(figsize=(16*.6, 9*.6))
    ax = fig.add_subplot(111)
    fig.subplots_adjust(left=0.1, right=0.9, bottom=0.1, top=0.9)
    X = X.tolist()
    Y = Y.tolist()
    X1n = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X1p = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    X2n = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X2p = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    ax.scatter(X1n, X2n, c='r', marker='x', s=50, label='Dane')
    ax.scatter(X1p, X2p, c='g', marker='o', s=50, label='Dane')
    
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_ylabel(ylabel)
    ax.margins(.05, .05)
    return fig
fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
XY = np.column_stack((X, Y))
XY_split = [XY[np.where(XY[:,3] == c)[0]] for c in classes]
X_split = [XY_split[c][:,0:3] for c in classes]
Y_split = [XY_split[c][:,3] for c in classes]

X_mean = [np.mean(X_split[c], axis=0) for c in classes]
X_std = [np.std(X_split[c], axis=0) for c in classes]
print('średnia: ', X_mean) 
print('odchylenie standardowe: ', X_std)

print(X_std[0].shape)
średnia:  [matrix([[1.   , 4.906, 1.676]]), matrix([[1.   , 1.464, 0.244]])]
odchylenie standardowe:  [matrix([[0.        , 0.8214402 , 0.42263933]]), matrix([[0.        , 0.17176728, 0.10613199]])]
(1, 3)

# Rysowanie średnich
def draw_means(fig, means, xmin=0.0, xmax=7.0, ymin=0.0, ymax=7.0):
    class_color = {0: 'r', 1: 'g'}
    classes = range(len(means))
    ax = fig.axes[0]
    mean_x1 = [means[c].item(0, 1) for c in classes]
    mean_x2 = [means[c].item(0, 2) for c in classes]
    for c in classes:
        ax.plot([mean_x1[c], mean_x1[c]], [xmin, xmax],
                color=class_color.get(c, 'c'), linestyle='dashed')
        ax.plot([ymin, ymax], [mean_x2[c], mean_x2[c]],
                color=class_color.get(c, 'c'), linestyle='dashed')    
from scipy.stats import norm

# Prawdopodobieństwo klasy dla pojedynczej cechy
# Uwaga: jeżeli odchylenie standardowe dla danej cechy jest równe 0, 
# to nie można określić prawdopodbieństwa klasy!
def prob(x, c, feature, mean, std):
    sd = std[c].item(0, feature)
    if sd == 0:
        print('Nie można określić prawdopodobieństwa klasy dla cechy {}.!'.format(feature))
    return norm(mean[c].item(0, feature), sd).pdf(x)

# Prawdopodobieństwo klasy
# Uwaga: tu bierzemy iloczyn dwóch cech (1. i 2.), w ogólności może być ich więcej
def class_prob(x, c, mean, std, features=[1, 2]):
    result = 1
    for feature in features:
        result *= prob(x[feature], c, feature, mean, std)
    return result
print(X_std[0].shape)
print(X_std)
print(X_mean)

X_prob_0=class_prob(X, 0, X_mean, X_std)
print(X_prob_0)
(1, 3)
[matrix([[0.        , 0.8214402 , 0.42263933]]), matrix([[0.        , 0.17176728, 0.10613199]])]
[matrix([[1.   , 4.906, 1.676]]), matrix([[1.   , 1.464, 0.244]])]
[[1.57003335e-06 1.61965173e-23 3.09005273e-08]]

# Wykres prawdopodobieństw klas
def plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes, xmin=0.0, xmax=7.0, ymin=0.0, ymax=7.0):
    class_color = {0: 'r', 1: 'g'}
    ax = fig.axes[0]
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(xmin, xmax, 0.02),
                         np.arange(xmin, xmax, 0.02))
    for c in classes:
        fun1 = lambda x: prob(x, c, 1, X_mean, X_std)
        fun2 = lambda x: prob(x, c, 2, X_mean, X_std)
        p = fun1(x1) * fun2(x2)
        plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),
                    colors=class_color.get(c, 'c'), lw=3)
fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
draw_means(fig, X_mean)
plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes)
/tmp/ipykernel_532/1042079336.py:11: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),

# Prawdopodobieństwo a posteriori
def posterior_prob(x, c):
    normalizer = sum(class_prob(x, c, X_mean, X_std)
                     * prior_prob[c]
                    for c in classes)
    return (class_prob(x, c, X_mean, X_std) 
            * prior_prob[c]
            / normalizer)

Aby teraz przewidzieć klasę $y$ dla dowolnego zestawu cech $x$, wystarczy sprawdzić, dla której klasy prawdopodobieństwo _a posteriori jest większe:

# Funkcja klasyfikująca (funkcja predykcji)
def predict_class(x):
    p = [posterior_prob(x, c) for c in classes]
    if p[1] > p[0]:
        return 1
    else:
        return 0
x = [1, 2.0, 0.5]  # długość płatka: 2.0, szerokość płatka: 0.5
y = predict_class(x)
print(y)  # 1 – To prawdopodobnie jest Iris setosa

x = [1, 2.5, 1.0]  # długość płatka: 2.5, szerokość płatka: 1.0
y = predict_class(x)
print(y)  # 0 – To prawdopodobnie nie jest Iris setosa
1
0

Zobaczmy, jak to wygląda na wykresie. Narysujemy w tym celu granicę między klasą 1 a 0:

# Wykres granicy klas dla naiwnego Bayesa
def plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std, xmin=0.0, xmax=7.0, ymin=0.0, ymax=7.0):
    ax = fig.axes[0]
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(xmin, xmax, 0.02),
                         np.arange(ymin, ymax, 0.02))
    p = [posterior_prob([1, x1, x2], c) for c in classes]
    p_diff = p[1] - p[0]
    plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);
fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)
/tmp/ipykernel_532/4022158666.py:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

Dla porównania: regresja logistyczna na tych samych danych

def powerme(x1,x2,n):
    X = []
    for m in range(n+1):
        for i in range(m+1):
            X.append(np.multiply(np.power(x1,i),np.power(x2,(m-i))))
    return np.hstack(X)

# Funkcja logistyczna
def safeSigmoid(x, eps=0):
    y = 1.0/(1.0 + np.exp(-x))
    if eps > 0:
        y[y < eps] = eps
        y[y > 1 - eps] = 1 - eps
    return y

# Funkcja hipotezy dla regresji logistycznej
def h(theta, X, eps=0.0):
    return safeSigmoid(X*theta, eps)

# Funkcja kosztu dla regresji logistycznej
def J(h,theta,X,y, lamb=0):
    m = len(y)
    f = h(theta, X, eps=10**-7)
    j = -np.sum(np.multiply(y, np.log(f)) + 
                np.multiply(1 - y, np.log(1 - f)), axis=0)/m
    if lamb > 0:
        j += lamb/(2*m) * np.sum(np.power(theta[1:],2))
    return j

# Gradient funkcji kosztu
def dJ(h,theta,X,y,lamb=0):
    g = 1.0/y.shape[0]*(X.T*(h(theta,X)-y))
    if lamb > 0:
        g[1:] += lamb/float(y.shape[0]) * theta[1:] 
    return g

# Funkcja klasyfikująca
def classifyBi(theta, X):
    prob = h(theta, X)
    return prob
# Przygotowanie danych dla wielomianowej regresji logistycznej

data = np.matrix(data_iris_setosa)

Xpl = powerme(data[:, 1], data[:, 0], n)
Ypl = np.matrix(data[:, 2]).reshape(m, 1)
# Metoda gradientu prostego dla regresji logistycznej
def GD(h, fJ, fdJ, theta, X, y, alpha=0.01, eps=10**-3, maxSteps=10000):
    errorCurr = fJ(h, theta, X, y)
    errors = [[errorCurr, theta]]
    while True:
        # oblicz nowe theta
        theta = theta - alpha * fdJ(h, theta, X, y)
        # raportuj poziom błędu
        errorCurr, errorPrev = fJ(h, theta, X, y), errorCurr
        # kryteria stopu
        if abs(errorPrev - errorCurr) <= eps:
            break
        if len(errors) > maxSteps:
            break
        errors.append([errorCurr, theta]) 
    return theta, errors
# Uruchomienie metody gradientu prostego dla regresji logistycznej
theta_start = np.matrix(np.zeros(Xpl.shape[1])).reshape(Xpl.shape[1], 1)
theta, errors = GD(h, J, dJ, theta_start, Xpl, Ypl, 
                       alpha=0.1, eps=10**-7, maxSteps=100000)
print(r'theta = {}'.format(theta))
theta = [[ 4.01960795]
 [ 3.89499137]
 [ 0.18747599]
 [-1.3524039 ]
 [-2.00123783]
 [-0.87625505]]

# Wykres granicy klas
def plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl, xmin=0.0, xmax=7.0):
    ax = fig.axes[0]
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(xmin, xmax, 0.02),
                         np.arange(xmin, xmax, 0.02))
    l = len(xx.ravel())
    C = powerme(yy.reshape(l, 1), xx.reshape(l, 1), n)
    z = classifyBi(theta, C).reshape(int(np.sqrt(l)), int(np.sqrt(l)))

    plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);
fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)
/tmp/ipykernel_532/2795780436.py:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)
/tmp/ipykernel_532/2795780436.py:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);
/tmp/ipykernel_532/4022158666.py:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

Inny przykład

# Wczytanie danych (gatunki kosaćców)

data_iris = pandas.read_csv('iris.csv')
data_iris_versicolor = pandas.DataFrame()
data_iris_versicolor['dł. płatka'] = data_iris['pl']  # "pl" oznacza "petal length"
data_iris_versicolor['szer. płatka'] = data_iris['pw']  # "pw" oznacza "petal width"
data_iris_versicolor['Iris versicolor?'] = data_iris['Gatunek'].apply(lambda x: 1 if x=='Iris-versicolor' else 0)

m, n_plus_1 = data_iris_versicolor.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data_iris_versicolor.values[:, 0:n].reshape(m, n)

X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y = np.matrix(data_iris_versicolor.values[:, 2]).reshape(m, 1)
classes = [0, 1]
count = [sum(1 if y == c else 0 for y in Y.T.tolist()[0]) for c in classes]
prior_prob = [float(count[c]) / float(Y.shape[0]) for c in classes]

print('liczba przykładów: ', {c: count[c] for c in classes})
print('prior probability:', {c: prior_prob[c] for c in classes})
liczba przykładów:  {0: 100, 1: 50}
prior probability: {0: 0.6666666666666666, 1: 0.3333333333333333}

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
XY = np.column_stack((X, Y))
XY_split = [XY[np.where(XY[:,3] == c)[0]] for c in classes]
X_split = [XY_split[c][:,0:3] for c in classes]
Y_split = [XY_split[c][:,3] for c in classes]

X_mean = [np.mean(X_split[c], axis=0) for c in classes]
X_std = [np.std(X_split[c], axis=0) for c in classes]
print('średnia: ', X_mean) 
print('odchylenie standardowe: ', X_std)
średnia:  [matrix([[1.   , 3.508, 1.135]]), matrix([[1.   , 4.26 , 1.326]])]
odchylenie standardowe:  [matrix([[0.        , 2.08373127, 0.91459007]]), matrix([[0.        , 0.46518813, 0.19576517]])]

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
draw_means(fig, X_mean)
plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes)
/tmp/ipykernel_532/1042079336.py:11: UserWarning: No contour levels were found within the data range.
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),
/tmp/ipykernel_532/1042079336.py:11: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),

fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)
/tmp/ipykernel_532/4022158666.py:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

# Przygotowanie danych dla wielomianowej regresji logistycznej

data = np.matrix(data_iris_versicolor)

Xpl = powerme(data[:, 1], data[:, 0], n)
Ypl = np.matrix(data[:, 2]).reshape(m, 1)
# Uruchomienie metody gradientu prostego dla regresji logistycznej
theta_start = np.matrix(np.zeros(Xpl.shape[1])).reshape(Xpl.shape[1], 1)
theta, errors = GD(h, J, dJ, theta_start, Xpl, Ypl, 
                       alpha=0.05, eps=10**-7, maxSteps=100000)
print(r'theta = {}'.format(theta))
theta = [[-10.68893855]
 [  5.52671372]
 [  5.83188857]
 [ -0.60754604]
 [ -0.46068339]
 [ -2.83369636]]

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)
/tmp/ipykernel_532/2795780436.py:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xpl, Ypl, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xpl)
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std)
/tmp/ipykernel_532/2795780436.py:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);
/tmp/ipykernel_532/4022158666.py:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

Kiedy naiwny Bayes nie działa?

# Wczytanie danych
import pandas
import numpy as np

alldata = pandas.read_csv('bayes_nasty.tsv', sep='\t')
data = np.matrix(alldata)

m, n_plus_1 = data.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data[:, 1:]

Xbn = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Xbnp = powerme(data[:, 1], data[:, 2], n)
Ybn = np.matrix(data[:, 0]).reshape(m, 1)
fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
classes = [0, 1]
count = [sum(1 if y == c else 0 for y in Ybn.T.tolist()[0]) for c in classes]
prior_prob = [float(count[c]) / float(Ybn.shape[0]) for c in classes]

print('liczba przykładów: ', {c: count[c] for c in classes})
print('prior probability:', {c: prior_prob[c] for c in classes})
liczba przykładów:  {0: 69, 1: 30}
prior probability: {0: 0.696969696969697, 1: 0.30303030303030304}

XY = np.column_stack((Xbn, Ybn))
XY_split = [XY[np.where(XY[:,3] == c)[0]] for c in classes]
X_split = [XY_split[c][:,0:3] for c in classes]
Y_split = [XY_split[c][:,3] for c in classes]

X_mean = [np.mean(X_split[c], axis=0) for c in classes]
X_std = [np.std(X_split[c], axis=0) for c in classes]
print('średnia: ', X_mean) 
print('odchylenie standardowe: ', X_std)
średnia:  [matrix([[1.        , 0.03949835, 0.02825019]]), matrix([[1.        , 0.09929617, 0.06206227]])]
odchylenie standardowe:  [matrix([[0.        , 0.52318432, 0.60106092]]), matrix([[0.        , 0.61370281, 0.6081128 ]])]

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
draw_means(fig, X_mean, xmin=-1.0, xmax=1.0, ymin=-1.0, ymax=1.0)
plot_prob(fig, X_mean, X_std, classes, xmin=-1.0, xmax=1.0, ymin=-1.0, ymax=1.0)
/tmp/ipykernel_532/1042079336.py:11: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p, levels=np.arange(0.0, 1.0, 0.1),

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std, xmin=-4.0, xmax=4.0, ymin=-4.0, ymax=4.0)
/tmp/ipykernel_532/4022158666.py:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);

# Uruchomienie metody gradientu prostego dla regresji logistycznej
theta_start = np.matrix(np.zeros(Xbnp.shape[1])).reshape(Xbnp.shape[1], 1)
theta, errors = GD(h, J, dJ, theta_start, Xbnp, Ybn, 
                       alpha=0.05, eps=10**-7, maxSteps=100000)
print(r'theta = {}'.format(theta))
theta = [[-0.31582268]
 [ 0.43496774]
 [-0.21840373]
 [-7.88802319]
 [22.73897346]
 [-4.43682364]]

fig = plot_data_for_classification(Xbnp, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
plot_decision_boundary(fig, theta, Xbnp, xmin=-4.0, xmax=4.0)
/tmp/ipykernel_532/2795780436.py:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);

fig = plot_data_for_classification(Xbn, Ybn, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
plot_decision_boundary_bayes(fig, X_mean, X_std, xmin=-4.0, xmax=4.0, ymin=-4.0, ymax=4.0)
plot_decision_boundary(fig, theta, Xbnp, xmin=-4.0, xmax=4.0)
/tmp/ipykernel_532/4022158666.py:8: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(x1, x2, p_diff, levels=[0.0], colors='c', lw=3);
/tmp/ipykernel_532/2795780436.py:10: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'lw'
  plt.contour(xx, yy, z, levels=[0.5], colors='m', lw=3);
  • Naiwny klasyfikator Bayesa nie działa, jeżeli dane nie różnią się ani średnią, ani odchyleniem standardowym.

8.2. Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów

KNN – intuicja

  • Do której kategorii powinien należeć punkt oznaczony gwiazdką?
# Przydatne importy

import ipywidgets as widgets
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas

%matplotlib inline
# Wczytanie danych (gatunki kosaćców)

data_iris = pandas.read_csv('iris.csv')
data_iris_setosa = pandas.DataFrame()
data_iris_setosa['dł. płatka'] = data_iris['pl']  # "pl" oznacza "petal length"
data_iris_setosa['szer. płatka'] = data_iris['pw']  # "pw" oznacza "petal width"
data_iris_setosa['Iris setosa?'] = data_iris['Gatunek'].apply(lambda x: 1 if x=='Iris-setosa' else 0)

m, n_plus_1 = data_iris_setosa.values.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data_iris_setosa.values[:, 0:n].reshape(m, n)

X = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y = np.matrix(data_iris_setosa.values[:, 2]).reshape(m, 1)
# Wykres danych (wersja macierzowa)
def plot_data_for_classification(X, Y, xlabel, ylabel):    
    fig = plt.figure(figsize=(16*.6, 9*.6))
    ax = fig.add_subplot(111)
    fig.subplots_adjust(left=0.1, right=0.9, bottom=0.1, top=0.9)
    X = X.tolist()
    Y = Y.tolist()
    X1n = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X1p = [x[1] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    X2n = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 0]
    X2p = [x[2] for x, y in zip(X, Y) if y[0] == 1]
    ax.scatter(X1n, X2n, c='r', marker='x', s=50, label='Dane')
    ax.scatter(X1p, X2p, c='g', marker='o', s=50, label='Dane')
    
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_ylabel(ylabel)
    ax.margins(.05, .05)
    return fig
def plot_new_example(fig, x, y):
    ax = fig.axes[0]
    ax.scatter([x], [y], c='k', marker='*', s=100, label='?')
fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_new_example(fig, 2.8, 0.9)
  • Wydaje się sensownym przyjąć, że punkt oznaczony gwiazdką powinien być czerwony, ponieważ sąsiednie punkty są czerwone. Najbliższe czerwone punkty są położone bliżej niż najbliższe zielone.
  • Algorytm oparty na tej intuicji nazywamy algorytmem $k$ najbliższych sąsiadów (_$k$ nearest neighbors, KNN).
  • Idea (KNN dla $k = 1$):
    1. Dla nowego przykładu $x'$ znajdź najbliższy przykład $x$ ze zbioru uczącego.
    2. Jego klasa $y$ to szukana klasa $y'$.
from scipy.spatial import Voronoi, voronoi_plot_2d

def plot_voronoi(fig, points):
    ax = fig.axes[0]
    vor = Voronoi(points)
    ax.scatter(vor.vertices[:, 0], vor.vertices[:, 1], s=1)
    
    for simplex in vor.ridge_vertices:
        simplex = np.asarray(simplex)
        if np.all(simplex >= 0):
            ax.plot(vor.vertices[simplex, 0], vor.vertices[simplex, 1],
                    color='orange', linewidth=1)
    
    xmin, ymin = points.min(axis=0).tolist()[0]
    xmax, ymax = points.max(axis=0).tolist()[0]
    pad = 0.1
    ax.set_xlim(xmin - pad, xmax + pad)
    ax.set_ylim(ymin - pad, ymax + pad)
fig = plot_data_for_classification(X, Y, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_new_example(fig, 2.8, 0.9)
plot_voronoi(fig, X[:, 1:])
  • Podział płaszczyzny jak na powyższym wykresie nazywamy diagramem Woronoja (_Voronoi diagram).
  • Taki algorytm wyznacza dość efektowne granice klas, zwłaszcza jak na tak prosty algorytm.
  • Niestety jest bardzo podatny na obserwacje odstające:
X_outliers = np.vstack((X, np.matrix([[1.0, 3.9, 1.7]])))
Y_outliers = np.vstack((Y, np.matrix([[1]])))
fig = plot_data_for_classification(X_outliers, Y_outliers, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
plot_new_example(fig, 2.8, 0.9)
plot_voronoi(fig, X_outliers[:, 1:])
  • Pojedyncza obserwacja odstająca dramatycznie zmienia granice klas.
  • Aby temu zaradzić, użyjemy więcej niż jednego najbliższego sąsiada ($k > 1$).

Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów dla problemu klasyfikacji

  1. Dany jest zbiór uczący zawierajacy przykłady $(x_i, y_i)$, gdzie: $x_i$ – zestaw cech, $y_i$ – klasa.
  2. Dany jest przykład testowy $x'$, dla którego chcemy określić klasę.
  3. Oblicz odległość $d(x', x_i)$ dla każdego przykładu $x_i$ ze zbioru uczącego.
  4. Wybierz $k$ przykładów $x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}$, dla których wyliczona odległość jest najmniejsza.
  5. Jako wynik $y'$ zwróć tę spośrod klas $y_{i_1}, \ldots, y_{i_k}$, która występuje najczęściej.

Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów dla problemu klasyfikacji – przykład

# Odległość euklidesowa
def euclidean_distance(x1, x2):
    return np.linalg.norm(x1 - x2)
# Algorytm k najbliższych sąsiadów
def knn(X, Y, x_new, k, distance=euclidean_distance):
    data = np.concatenate((X, Y), axis=1)
    nearest = sorted(
        data, key=lambda xy:distance(xy[0, :-1], x_new))[:k]
    y_nearest = [xy[0, -1] for xy in nearest]
    return max(y_nearest, key=lambda y:y_nearest.count(y))
# Wykres klas dla KNN
def plot_knn(fig, X, Y, k, distance=euclidean_distance):
    ax = fig.axes[0]
    x1min, x2min = X.min(axis=0).tolist()[0]
    x1max, x2max = X.max(axis=0).tolist()[0]
    pad1 = (x1max - x1min) / 10
    pad2 = (x2max - x2min) / 10
    step1 = (x1max - x1min) / 50
    step2 = (x2max - x2min) / 50
    x1grid, x2grid = np.meshgrid(
        np.arange(x1min - pad1, x1max + pad1, step1),
        np.arange(x2min - pad2, x2max + pad2, step2))
    z = np.matrix([[knn(X, Y, [x1, x2], k, distance) 
                    for x1, x2 in zip(x1row, x2row)] 
                   for x1row, x2row in zip(x1grid, x2grid)])
    plt.contour(x1grid, x2grid, z, levels=[0.5]);
# Przygotowanie interaktywnego wykresu

slider_k = widgets.IntSlider(min=1, max=10, step=1, value=1, description=r'$k$', width=300)

def interactive_knn_1(k):
    fig = plot_data_for_classification(X_outliers, Y_outliers, xlabel=u'dł. płatka', ylabel=u'szer. płatka')
    plot_voronoi(fig, X_outliers[:, 1:])
    plot_knn(fig, X_outliers[:, 1:], Y_outliers, k)
widgets.interact_manual(interactive_knn_1, k=slider_k)
interactive(children=(IntSlider(value=1, description='$k$', max=10, min=1), Button(description='Run Interact',…
<function __main__.interactive_knn_1(k)>
# Wczytanie danych (inny przykład)

alldata = pandas.read_csv('classification.tsv', sep='\t')
data = np.matrix(alldata)

m, n_plus_1 = data.shape
n = n_plus_1 - 1
Xn = data[:, 1:].reshape(m, n)

X2 = np.matrix(np.concatenate((np.ones((m, 1)), Xn), axis=1)).reshape(m, n_plus_1)
Y2 = np.matrix(data[:, 0]).reshape(m, 1)
fig = plot_data_for_classification(X2, Y2, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
# Przygotowanie interaktywnego wykresu

slider_k = widgets.IntSlider(min=1, max=10, step=1, value=1, description=r'$k$', width=300)

def interactive_knn_2(k):
    fig = plot_data_for_classification(X2, Y2, xlabel=r'$x_1$', ylabel=r'$x_2$')
    plot_voronoi(fig, X2[:, 1:])
    plot_knn(fig, X2[:, 1:], Y2, k)
widgets.interact_manual(interactive_knn_2, k=slider_k)
interactive(children=(IntSlider(value=1, description='$k$', max=10, min=1), Button(description='Run Interact',…
<function __main__.interactive_knn_2(k)>

Algorytm $k$ najbliższych sąsiadów dla problemu regresji

  1. Dany jest zbiór uczący zawierajacy przykłady $(x_i, y_i)$, gdzie: $x_i$ – zestaw cech, $y_i$ – liczba rzeczywista.
  2. Dany jest przykład testowy $x'$, dla którego chcemy określić klasę.
  3. Oblicz odległość $d(x', x_i)$ dla każdego przykładu $x_i$ ze zbioru uczącego.
  4. Wybierz $k$ przykładów $x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}$, dla których wyliczona odległość jest najmniejsza.
  5. Jako wynik $y'$ zwróć średnią liczb $y_{i_1}, \ldots, y_{i_k}$: $$ y' = \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} y_{i_j} $$

Wybór $k$

  • Wartość $k$ ma duży wpływ na wynik działania algorytmu KNN:
    • Jeżeli $k$ jest zbyt duże, wszystkie nowe przykłady są klasyfikowane jako klasa większościowa.
    • Jeżeli $k$ jest zbyt małe, granice klas są niestabilne, a algorytm jest bardzo podatny na obserwacje odstające.
  • Aby dobrać optymalną wartość $k$, najlepiej użyć zbioru walidacyjnego.

Miary podobieństwa

Odległość euklidesowa

$$ d(x, x') = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - x'_i \right) ^2 } $$

  • Dobry wybór w przypadku numerycznych cech.
  • Symetryczna, traktuje wszystkie wymiary jednakowo.
  • Wrażliwa na duże wahania jednej cechy.

Odległość Hamminga

$$ d(x, x') = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{x_i \neq x'_i} $$

  • Dobry wybór w przypadku cech zero-jedynkowych.
  • Liczba cech, którymi różnią się dane przykłady.

Odległość Minkowskiego ($p$-norma)

$$ d(x, x') = \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^n \left| x_i - x'_i \right| ^p } $$

  • Dla $p = 2$ jest to odległość euklidesowa.
  • Dla $p = 1$ jest to odległość taksówkowa.
  • Jeżeli $p \to \infty$, to $p$-norma zbliża się do logicznej alternatywy.
  • Jeżeli $p \to 0$, to $p$-norma zbliża się do logicznej koniunkcji.

KNN – praktyczne porady

  • Co zrobić z remisami?
    • Można wybrać losową klasę.
    • Można wybrać klasę o wyższym prawdopodobieństwie _a priori.
    • Można wybrać klasę wskazaną przez algorytm 1NN.
  • KNN źle radzi sobie z brakującymi wartościami cech (nie można wówczas sensownie wyznaczyć odległości).