Notatka z wykładu (niedokończona)

This commit is contained in:
RobertBendun 2022-03-10 15:18:34 +01:00
parent 6df4eb3e54
commit bce3aa6af6
2 changed files with 126 additions and 1 deletions

View File

@ -1,9 +1,10 @@
PDFs=trygonometria-liczby-zespolone.pdf PDFs=trygonometria-liczby-zespolone.pdf wykład-2022-03-10.pdf
all: $(PDFs) all: $(PDFs)
%.pdf: %.tex %.pdf: %.tex
pdflatex $< pdflatex $<
pdflatex $<
clean: clean:
rm -f *.log *.aux $(PDFs) rm -f *.log *.aux $(PDFs)

124
wykład-2022-03-10.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,124 @@
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{polski}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\begin{document}
\section{Iloczyn tensorowy macierzy}
$$
\begin{aligned}
A = [ a_{i,j} ] \in M_{r x s}(\CC) \\
B = [ b_{i,j} ] \in M_{t x u}(\CC)
\end{aligned}
$$
iloczynem tensorowym macierzy $A$ i $B$ nazywamy macierz $ A \otimes B = M_{rt \times su}(\CC) $
$$
A \otimes B = \begin{bmatrix}
a_{11} & B a_{12} & a_{13} B & \dots & a_{1s} B \\
a_{21} & B a_{22} & a_{23} B & \dots & a_{2s} B \\
\vdots \\
a_{r1} & B a_{r2} & a_{r3} B & \dots & a_{rs} B \\
\end{bmatrix}
$$
Przykład:
$$
\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$$
\subsection{Własności iloczynu tensorowego}
Iloczyn tensorowy tworzy półgrupę.
\begin{description}
\item $ A \otimes (B + C) = A \otimes B + A \otimes C $
\item $ (B+C) \otimes A = B \otimes A + C \otimes A $
\item $ A \otimes (B \otimes C) = (A \otimes B) \otimes C $
\item $ (\alpha A) \otimes B = A \otimes (\alpha B) = \alpha (A \otimes B) $
\item $ (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD $
\end{description}
\section{Postulaty mechaniki kwantowej}
\subsection{Postulat 1, postulat układu}
Każdemu układowi kwantowemu można przypisać skończenie wymiarową $\CC^n$ przestrzeń Hilberta, w której określa się kwantowo-mechaniczną teorię tego układu. Układ ten jest opisywany przez unormowany wektor stanu. (Jeden stan wyrażony jest przez jeden konkretny wektor).
$$ |Y\rangle = \alpha |0\rangle + \beta| 1\rangle \in \CC^2 $$ dla $ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $
\subsection{Postulat 2, postulat ewolucji układu} \label{postulat2}
Ewolucja układu kwantowego $|\psi\rangle$ jest opisywana przez przekształcenia unitarne przestrzenii $\CC^2$. To znaczy, że wektor $|\psi\rangle$ w czasie $t_1$ jest związany z wektorem |Y'> w czasie $t_2$ operatorem unitarnym $U$.
$$ |\psi'\rangle = U|\psi\rangle $$
Algorytm kwantowy to sekwencja przekształceń unitarnych.
\subsection{Postulat 3, postulat iloczynu tensorowego} Jeżeli $\CC^n$ i $\CC^m$ są przestrzeniami stanów dwóch niezależnych i nierozróżnialnych układów kwantowych, to przestrzeń stanów obu tych układów branych jako całość jest iloczynem tensorowym tych przestrzeni.
$$
|00\rangle = |0\rangle|0\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
$$
Dla kubitu $ |\psi\rangle \in \CC^4 $ mamy:
$$ |\psi\rangle = \alpha_1|00\rangle + \alpha_2|01\rangle + \alpha_3|10\rangle + \alpha_4|11\rangle $$ gdzie $ \sum_\alpha |\alpha|^2 = 1 $
Nie każdy stan można przedstawić jako iloczyn tensorowy np. $ \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |11\rangle \in \CC^4 $. (jest to układ nierozkładalny, splątanie kwantowe)
$$
(\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes (\alpha_2|0\rangle + \beta_2|1\rangle) =
(\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \alpha_2|0\rangle + (\alpha_1 |0\rangle + \beta_1|1\rangle) \otimes \beta_2|1\rangle = \alpha_1\alpha_2|00\rangle + \beta_1\alpha_2|10\rangle + \alpha_1\beta_2|01\rangle + \beta_1\beta_2|11\rangle
$$ wynika z tego układ równań (sprzeczny).
$$
\begin{aligned}
\alpha_1\alpha_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\beta_1\beta_2 & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\beta_1\alpha_2 & = 0 \\
\alpha_2\beta_2 & = 0
\end{aligned}
$$
\subsection{Postulat 4, postulat pomiaru} Pomiar kwantowy w bazie obliczeniowej jest opisywany przez zbiór $\{ M_m \}$ (macierzy) (hermitowskie operatory projekcji). Operatory te działają w przypisanej przestrzenii stanów mierzonego układu. Indeks $m$ jest wynikiem pomiaru.
Jeśli $|\psi\rangle$ jest mierzonym stanem, to $p(m)$ - prawdopodobieństwo, że wynikiem pomiaru będzie $m$ wynosi $p(m) = \langle\psi M_m |\psi\rangle $, a stan $|\psi\rangle$ po pomiarze znajdzie się w stanie $$ |\psi'\rangle = \frac{M_m|\psi\rangle}{\sqrt{p(m)}} $$.
Przykład: Dla $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ mamy
$$ M_0 = |0\rangle \langle0| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$
$$ M_1 = |1\rangle \langle1| = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
Pomiar to $ \{ M_0, M_1 \} $
$$ p(0) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}$$
$$ p(1) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} $$
$$ |\psi'\rangle = \frac{M_0|\psi\rangle}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = 1|0\rangle $$
Dla kubitu: \begin{description}
\item[Pomiar $ p(0) = |\alpha|^2 $] tworzy $ |\psi'\rangle = \frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle $
\item[Pomiar $ p(1) = |\beta|^2 $] tworzy $ |\psi'\rangle = \frac{\beta}{|\beta|}|1\rangle $
\end{description}
\section{Bramki kwantowe}
Przekształcenia unitarne z \ref{postulat2} to bramki algorytmów kwantowych.
\subsection{Bramka hadamarda}
Rysunek
\subsection{Bramka kontrolowanej negacji}
Rysunek
\end{document}