s492572/RepozytoriumzprojektemPython
s492572/RepozytoriumzprojektemPython
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Projects Releases Wiki Activity
5387fec25c
RepozytoriumzprojektemPython/stopy/CW12.ipynb

921 lines
52 KiB
Plaintext
Raw Normal View History

Upload files to "stopy"
2024-11-06 23:01:21 +01:00
{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9f2398e3",
"metadata": {},
"source": [
"# Całka nieoznaczona"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "364327c1",
"metadata": {},
"source": [
"## Cel zajęć\n",
"\n",
"Celem zajęć jest wprowadzenie pojęcia całki nieoznaczonej oraz nabycie praktycznej umiejętności obliczania całek za pomocą metody przez podstawienie i przez części."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e0904246",
"metadata": {},
"source": [
"## Definicja funkcji pierwotnej\n",
"\n",
">**Funkcją pierwotną** funkcji $f$ w przedziale $(a,b)$ nazywamy każdą taką funkcję $F$ określoną w $(a,b)$ taką, że $F'(x)=f(x)$ dla $x\\in(a,b)$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "071003b9",
"metadata": {
"tags": []
},
"source": [
"### Przykład funkcji pierwotnej\n",
"\n",
"Funkcje $F_1(x)=x^2$ i $F_2(x)=x^2+115$ są funkcjami pierwotnymi do funkcji $f(x)=2x$ w dowolnym przedziale $(a,b)$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0569050c",
"metadata": {},
"source": [
"### Przykład trudniejszej funkcji pierwotnej \n",
"\n",
"Pokażemy, że funkcja $F(x)=\\ln\\left(x+\\sqrt{x^2+1}\\right)$ jest funkcją pierwotną funkcji $f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x^2+1}}$.\n",
"Mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\begin{align*}\n",
"F'(x)=\\left(\\ln\\left(x+\\sqrt{x^2+1}\\right)\\right)'=&\\frac{1}{x+\\sqrt{x^2+1}}\\cdot\\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^2+1}}\\right)\\\\\n",
"=&\\frac{1}{x+\\sqrt{x^2+1}}\\cdot \\frac{x+\\sqrt{x^2+1}}{\\sqrt{x^2+1}}\\\\=&\\frac{1}{\\sqrt{x^2+1}}.\n",
"\\end{align*}\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7bc55403",
"metadata": {},
"source": [
"### Przykład funkcji nie posiadającej funkcji pierwotnej \n",
"\n",
"Pokażemy, że funkcja $f\\colon\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ dana wzorem $f(x)=1$, gdy $x \\geq 0$ i $f(x)=0$, gdy $x < 0$, nie posiada funkcji pierwotnej. \n",
"\n",
"Jeśli funkcja $F$ byłaby funkcją pierwtotną fukcji $f$, to dla $x>0$ musiałoby być $F(x)=x+C_1$ i $F(x)=C_2$ dla $x<0$, gdzie $C_1$ i $C_2$ są pewnymi stałymi. Ponieważ funkcja $F$ musi być ciągła w punkcie x=0, to musi być $C_1=C_2=F(0)$.\n",
"Ale tak określona funkcja $F$ nie ma pochodnej w punkcie $x=0$, bo \n",
"\n",
"$$\n",
"F'_-(0)=\\lim_{h\\to 0^-}\\frac{F(h)-F(0)}{h}=\\lim_{h\\to 0^-}\\frac{C_1-C_1}{h}=0\n",
"$$\n",
"\n",
"i \n",
"\n",
"$$\n",
"F'_+(0)=\\lim_{h\\to 0^+}\\frac{F(h)-F(0)}{h}=\\lim_{h\\to 0^+}\\frac{h+C_1-C_1}{h}=1.\n",
"$$\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 1,
"id": "b141f464",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"image/png": "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
"text/plain": [
"<Figure size 800x600 with 1 Axes>"
]
},
"metadata": {},
"output_type": "display_data"
}
],
"source": [
"import numpy as np\n",
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
"\n",
"def custom_function(x):\n",
" if x < 0:\n",
" return 2\n",
" else:\n",
" return x + 2\n",
"\n",
"# Generate x values\n",
"x_values = np.linspace(-10, 10, 400) # Adjust the range and number of points as needed\n",
"\n",
"# Calculate corresponding y values\n",
"y_values = np.array([custom_function(x) for x in x_values])\n",
"\n",
"# Create the plot\n",
"plt.figure(figsize=(8, 6))\n",
"plt.plot(x_values, y_values, label=\"f(x)\", color='red')\n",
"plt.xlabel('x')\n",
"plt.ylabel('f(x)')\n",
"plt.title('Piecewise Function')\n",
"plt.legend()\n",
"plt.grid(True)\n",
"\n",
"# Add coordinate axes\n",
"plt.axhline(y=0, color='black', linewidth=2)\n",
"plt.axvline(x=0, color='black', linewidth=2)\n",
"\n",
"plt.show()\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c0a9801d",
"metadata": {},
"source": [
"**Uwaga:** jest jasne, że dowolne dwie funkcje pierwotne do funkcji $f$ w przedziale $(a,b)$ mogą się różnić conajwyżej o stałą. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "25a8a4b4",
"metadata": {},
"source": [
"## Definicja całki nieoznaczonej\n",
"\n",
"> Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji $f$ nazywamy **całką nieoznaczoną** z $f$ i zapisujemy $\\int f(x)dx$.\n",
"Zatem jeśli $F$ jest dowolną funkcją pierwotną, to $\\int f(x)dx=F(x)+C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7f3cfb0a",
"metadata": {},
"source": [
"### Wzory, które trzeba znać\n",
"\n",
">1. $ \\int x^adx=\\frac {\\displaystyle {x^{a+1}}}{\\displaystyle {a+1}}+C$,\n",
"$a\\neq -1$, $x>0$. Gdy $a$ jest liczbą naturalną, to zastrzeżenie $x>0$ odpada; \n",
"gdy $a$ jest liczbą całkowitą ujemną to zamiast $x>0$ wystarczy założyć $x\\neq 0$.\n",
">\n",
">\n",
">2. $\\ \\int \\frac {\\displaystyle {dx}}{\\displaystyle x}=\\ln \\mid x\\mid +C \\ , $ $x\\neq 0$ .\n",
">\n",
">\n",
">3. $\\ \\int e^xdx=e^x+C$ ,\n",
">\n",
">\n",
">4. $\\ \\int a^xdx=\\frac {\\displaystyle a^x}{\\displaystyle {\\ln a}}+C$, $a>0$, $a\\neq 1$.\n",
">\n",
">\n",
">5. $\\ \\int\\cos x dx=\\sin x +C$ ,\n",
">\n",
">\n",
">6. $\\ \\int \\sin xdx=-\\cos x+C$ ,\n",
">\n",
">\n",
">7. $\\ \\int \\frac {\\displaystyle {dx}}{\\displaystyle {\\cos^2x}}=\n",
"\\text {tg }x +C$, $\\cos x\\neq 0$ .\n",
">\n",
">\n",
">8. $\\ \\int \\frac {\\displaystyle {dx}}{\\displaystyle {\\sin ^2x}}= -c\\text {tg }x+C$, $\\sin x\\neq 0$.\n",
">\n",
">\n",
">9. $\\ \\int \\frac {\\displaystyle {dx}}{\\displaystyle {\\sqrt {1-x^2}}}= \\text{arc}\\sin x+C,-1<x<1$.\n",
">\n",
">\n",
">10. $\\ \\int \\frac {\\displaystyle {dx}}{\\displaystyle {1+x^2}}= \\text {arctg }x +C$.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6efbdce3",
"metadata": {},
"source": [
"### Przykłady\n",
"Opierając się na wzorze 1 otrzymujemy:\n",
"\n",
"- $ \\int x^3dx=\\frac{x^4}{4}+C$;\n",
"\n",
"\n",
"- $ \\int x^5dx=\\frac{x^6}{6}+C$;\n",
"\n",
"\n",
"- $ \\int \\sqrt{x}dx=\\frac{2}{3}x^{\\frac{3}{2}}+C$;\n",
"\n",
"\n",
"- $ \\int \\frac{1}{x^2}dx=-\\frac{1}{x}+C$;\n",
"\n",
"\n",
"- $ \\int \\frac{1}{x^7}dx=-\\frac{1}{6x^6}+C$;\n",
"\n",
"\n",
"- $ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x}}dx=2\\sqrt{x}+C$;\n",
"\n",
"\n",
"Opierając się na wzorze 4 otrzymujemy:\n",
"\n",
"- $ \\int 4^x dx=\\frac{4^x}{\\ln 4}+C$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3ee8f36a",
"metadata": {},
"source": [
"### Przykłady do samodzielnego rozwiązania\n",
"\n",
"Oblicz:\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int xdx,\\ \\int x^8dx, \\int \\sqrt[5]{x}dx, \\ \\int \\frac{1}{x^4}dx, \\ \\int \\frac{1}{x^8}dx, \\ \\int \\frac{1}{\\sqrt[3]{x}}dx.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9b2bc358",
"metadata": {},
"source": [
"## Jak obliczać całki?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "241db7e4",
"metadata": {},
"source": [
"### Arytmetyczne własności całki\n",
">__Twierdzenie.__ (o działaniach arytmetycznych na całkach nieoznaczonych)\n",
">\n",
">Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są całkowalne w przedziale $I$ (otwartym lub domkniętym),\n",
"a $c$ jest dowolną liczbą, to funkcje $f+g$, $f-g$ i $cf$ są też całkowalne\n",
"w $I$ oraz\n",
">\n",
">$$ \\int [f(x)+g(x)] \\; dx= \\int f(x)dx+ \\int g(x) \\; dx ,$$\n",
">\n",
">$$ \\int [f(x)-g(x)] \\; dx= \\int f(x)dx- \\int g(x) \\; dx ,$$\n",
">\n",
">$$ \\int cf(x) \\; dx=c \\int f(x) \\; dx.$$\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "66dab4da",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady\n",
"\n",
"1. \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int 1+x+x^2+x^3dx=x+\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}+\\frac{x^4}{4}+C.\n",
"$$\n",
"\n",
"2. \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{4}{x}dx=4\\ln |x|+C.\n",
"$$\n",
"\n",
"3. \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{(x+1)^2}{x^3}dx=\\int \\frac{1}{x}+\\frac{2}{x^2}+\\frac{1}{x^3}dx=\n",
"\\ln |x| -\\frac{2}{x}-\\frac{1}{2x^2}+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "08c3177c",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady do samodzielnego rozwiązania\n",
"\n",
"Oblicz:\n",
"\n",
"1. $\\displaystyle\n",
"\\int 2+\\sin x +\\cos xdx.\n",
"$\n",
"\n",
"\n",
"2. $\\displaystyle\n",
"\\int \\frac{(x-1)^3}{x}dx.\n",
"$\n",
"\n",
"3. $\\displaystyle\n",
"\\int 1+4x-5x^4 dx.\n",
"$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "cdc459d7",
"metadata": {},
"source": [
"### Całkowanie przez podstawienie\n",
"\n",
"> Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są różniczkowalne (w odpowiednich przedziałach), to wzór na __pochodną funkcji złożonej__ mówi, że \n",
">\n",
">$$\n",
"(f\\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\n",
"$$\n",
">Zatem \n",
">\n",
">$$\n",
"\\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C.\n",
"$$\n",
"> Wzór ten zwany jest wzorem na ___całkowanie przez podstawienie___.\n",
"\n",
"\n",
"__Uwaga:__\n",
"\n",
"\n",
"Całkując przez podstawienie można postąpić w następujący sposób:\n",
"\n",
">1. W wyrażeniu $\\int f'(g(x))g'(x)dx$ zastępujemy $g(x)$ przez $t$ a $g'(x)dx$ przez $dt$ i otrzymujemy $\\int f'(t)dt$.\n",
">2. Ponieważ \n",
">\n",
">$$\n",
"\\int f'(t)dt=f(t)+C, \n",
"$$\n",
">\n",
">to zastępując teraz $t$ przez $g(x)$\n",
"otrzymujemy ostatecznie, że \n",
">\n",
">$$\n",
"\\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C.\n",
"$$\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1a69a960",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "994c5a2d",
"metadata": {},
"source": [
"1. Obliczymy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int 3x^2e^{x^3}dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"W tym celu podstawiamy $t=x^3$. Wtedy $dt=3x^2dx$.\n",
"Stąd\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int 3x^2e^{x^3}dx=\\int e^t dt=e^t+C=e^{x^3}+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ff4dce28",
"metadata": {},
"source": [
"2. Obliczymy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\cos\\left(\\sqrt{x}\\right)dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"W tym celu podstawiamy $t=\\sqrt{x}$. Wtedy $dt=\\frac{1}{2\\sqrt{x}}dx$.\n",
"Stąd\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\cos\\left(\\sqrt{x}\\right)dx=\\int \\cos(t)dt=\\sin (t)+C =\\sin\\left(\\sqrt{x}\\right)+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a06233c5",
"metadata": {},
"source": [
"3. Obliczymy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{\\ln^5x}{x}dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"W tym celu podstawiamy $t=\\ln x$. Wtedy $dt=\\frac{1}{x}dx$.\n",
"Stąd\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{\\ln^5x}{x}dx=\\int t^5dt=\\frac{t^6}{6}+C=\\frac{\\ln^6x}{6}+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e9ce4da9",
"metadata": {},
"source": [
"4. Obliczymy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x\\sqrt{1+x^2}dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"W tym celu podstawiamy $t=1+x^2$. Wtedy $dt=2xdx$.\n",
"Stąd\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x\\sqrt{1+x^2}dx=\\frac{1}{2}\\int 2x\\sqrt{1+x^2}dx=\\frac{1}{2}\\int\\sqrt{t}dt=\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{2}{3}t^{\\frac{3}{2}}+C=\n",
"\\frac{1}{3}\\sqrt{(1+x^2)^3}+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "dde18667",
"metadata": {},
"source": [
"5. Obliczymy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{x^3}{1+x^8}dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"W tym celu podstawiamy $t=x^4$. Wtedy $dt=4x^3dx$.\n",
"Stąd\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\frac{x^3}{1+x^8}dx=\\frac{1}{4}\\int \\frac{1}{1+t^2}dt=\\frac{1}{4}\\operatorname{arctg}(t)+C=\\frac{1}{4}\\operatorname{arctg}(x^4)+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8d8ee83e",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady do samodzielnego rozwiązania\n",
"\n",
"1. $\\displaystyle \\int \\cos xe^{\\sin x}dx$\n",
"\n",
"\n",
"2. $\\displaystyle \\int \\frac{1}{x}\\frac{1}{1+(\\ln x)^2}dx$\n",
"\n",
"\n",
"3. $\\displaystyle \\int\\frac{\\sqrt[3]{\\operatorname{tg} x}}{\\cos^2x} dx$\n",
"\n",
"\n",
"4. $\\displaystyle \\int \\frac{x}{\\sqrt{1+x^2}}dx$\n",
"\n",
"\n",
"5. $\\displaystyle \\int \\frac{e^{\\frac{1}{x}}}{x^2} dx$\n",
"\n",
"\n",
"6. $\\displaystyle \\int \\sin^4x\\cos x dx$\n",
"\n",
"\n",
"7. $\\displaystyle \\int\\frac{\\operatorname{arctg}(x)}{1+x^2} dx$\n",
"\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6c8b1218",
"metadata": {},
"source": [
"### Przydatna obserwacja"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "fae0f10d",
"metadata": {},
"source": [
">Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej wynika, że jeśli \n",
">\n",
">$$\n",
"\\int f(x)dx=F(x)+C, \n",
"$$\n",
">\n",
">to \n",
">\n",
">$$\n",
"\\int f(ax+b)dx=\\frac{F(ax+b)}{a}+C.\n",
"$$\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e78929c2",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b22011fb",
"metadata": {},
"source": [
"1. $\\displaystyle\\int e^{4x+1}dx=\\frac{e^{4x+1}}{4}+C$.\n",
"\n",
"\n",
"2. $\\displaystyle\\int \\cos(2x+1)dx=\\frac{\\sin(2x+1)}{2}+C$.\n",
"\n",
"\n",
"3. $\\displaystyle\\int \\frac{1}{4x+6}dx=\\frac{\\ln|4x+6|}{4}+C$.\n",
"\n",
"\n",
"4. $\\displaystyle\\int \\frac{1}{(5x+6)^{11}}dx=-\\frac{1}{50(5x+6)^{10}}+C$.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "01aba8c8",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady do samodzielnego rozwiązania"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3c0b85c8",
"metadata": {},
"source": [
"1. $\\displaystyle\\int e^{-3x+1}dx$.\n",
"\n",
"\n",
"2. $\\displaystyle\\int \\sin(8x+1)dx$.\n",
"\n",
"\n",
"3. $\\displaystyle\\int \\frac{1}{7x+7}dx$.\n",
"\n",
"\n",
"4. $\\displaystyle\\int \\frac{1}{(8x+6)^{8}}dx$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6a023e55",
"metadata": {},
"source": [
"### I jeszcze jedna obserwacja"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f9f0d9bf",
"metadata": {},
"source": [
">$$\n",
"\\int \\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\\ln |f(x)|+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3d5728e9",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6bd7a0c6",
"metadata": {},
"source": [
"1. $\\displaystyle \\int\\frac{x}{1+x^2}dx=\\frac{1}{2} \\int\\frac{2x}{1+x^2}dx=\\frac{\\ln(1+x^2)}{2}+C$.\n",
"\n",
"\n",
"2. $\\displaystyle \\int\\frac{\\cos x}{7+\\sin x}dx=\\ln(7+\\sin x)+C$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5f7c11b1",
"metadata": {},
"source": [
"### Całkowanie przez części\n",
"\n",
">**Twierdzenie.**\n",
">\n",
">Jeżeli funkcje $f$ i $g$ mają pochodne $f'$ i $g'$ ciągłe w przedziale $I$ \n",
"(otwartym lub domkniętym), to\n",
">\n",
">$$\n",
"\\int f(x)g'(x) \\; dx=f(x)g(x)-\\int f'(x)g(x) \\; dx \\ .\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f9646570",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "912c50d2",
"metadata": {},
"source": [
"1. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int xe^xdx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x$ i $g'(x)=e^x$. Wtedy \n",
"$f'(x)=1$ i $g(x)=e^x$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int xe^xdx=xe^x-\\int e^xdx=xe^x-e^x+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e4c22485",
"metadata": {},
"source": [
"2. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int (x^2+2x+1)e^{x+1}dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x^2+2x+1$ i $g'(x)=e^{x+1}$. Wtedy \n",
"$f'(x)=2x+2$ i $g(x)=e^{x+1}$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int (x^2+2x+1)e^{x+1}dx =(x^2+2x+1)e^{x+1}-\\int (2x+2)e^{x+1}dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Pozostałą do obliczenia całkę $\\int (2x+2)e^{x+1}dx$ obliczymy ponownie przez części biorac $f(x)=2x+2$ i $g'(x)=e^{x+1}$.\n",
"Wtedy $f'(x)=2$ i $g(x)=e^{x+1}$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\begin{align}\n",
"\\int (x^2+2x+1)e^{x+1}dx =&(x^2+2x+1)e^{x+1}-(2x+2)e^{x+1}+\\int 2e^{x+1}dx\\\\ =&\n",
"(x^2+2x+1)e^{x+1}-(2x+2)e^{x+1}+2e^{x+1}+C\n",
"\\\\ =&\n",
"(x^2+1)e^{x+1}+C.\n",
"\\end{align}\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ed002a9a",
"metadata": {},
"source": [
"__Uwaga:__\n",
"Tak można obliczyć każdą całkę postaci\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int p(x)e^{ax+b}dx,\n",
"$$\n",
"gdzie $p(x)$ jest wielomianem."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "28323ff3",
"metadata": {},
"source": [
"3. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x\\sin(x)dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x$ i $g'(x)=\\sin (x)$. Wtedy \n",
"$f'(x)=1$ i $g(x)=-\\cos(x)$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x\\sin(x)dx=-x\\cos(x)+\\int \\cos(x)dx=-x\\cos(x)+\\sin(x)+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c82234a5",
"metadata": {},
"source": [
"4. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x^2\\cos(2x+1)dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x^2$ i $g'(x)=\\cos(2x+1)$. Wtedy \n",
"$f'(x)=2x$ i $g(x)=\\frac{\\sin(2x+1)}{2}$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x^2\\cos(2x+1)dx =\\frac{x^2}{2}\\sin(2x+1)-\\int x\\sin(2x+1)dx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Pozostałą do obliczenia całkę $\\int x\\sin(2x+1)dx$ obliczymy ponownie przez części biorac $f(x)=x$ i $g'(x)=\\sin(2x+1)$.\n",
"Wtedy $f'(x)=1$ i $g(x)=-\\frac{\\cos(2x+1)}{2}$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\begin{align}\n",
"\\int x^2\\cos(2x+1)dx =&\\frac{x^2}{2}\\sin(2x+1)+\\frac{x}{2}\\cos(2x+1)-\\int \\frac{\\cos(2x+1)}{2}dx \\\\ =&\n",
"\\frac{x^2}{2}\\sin(2x+1)+\\frac{x}{2}\\cos(2x+1)- \\frac{\\sin(2x+1)}{4}+C.\n",
"\\end{align}\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5424678d",
"metadata": {},
"source": [
"__Uwaga:__\n",
"Tak można obliczyć każdą całkę postaci\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int p(x)\\sin(ax+b)dx, \\int p(x)cos(ax+b)dx\n",
"$$\n",
"gdzie $p(x)$ jest wielomianem."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9e997b3c",
"metadata": {},
"source": [
"5. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\ln xdx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=\\ln x$ i $g'(x)=1$. Wtedy \n",
"$f'(x)=\\frac{1}{x}$ i $g(x)=x$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\ln x dx=x\\ln x-\\int 1dx=x\\ln x -x+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ae33fda7",
"metadata": {},
"source": [
"6. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int x^8\\ln xdx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=\\ln x$ i $g'(x)=x^8$. Wtedy \n",
"$f'(x)=\\frac{1}{x}$ i $g(x)=\\frac{x^9}{9}$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\ln x dx=\\frac{x^9\\ln x}{9}-\\int \\frac{x^8}{9}dx=\\frac{x^9\\ln x}{9}- \\frac{x^9}{81}+C.\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6a29acdc",
"metadata": {},
"source": [
"__Uwaga:__\n",
"Tak można obliczyć każdą całkę postaci\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int p(x)\\ln xdx,\n",
"$$\n",
"gdzie $p(x)$ jest wielomianem."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "83108cd9",
"metadata": {},
"source": [
"7. Obliczymy \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\cos(x)e^xdx.\n",
"$$\n",
"\n",
"\n",
"Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=\\cos(x)$ i $g'(x)=e^x$. Wtedy \n",
"$f'(x)=-\\sin(x)$ i $g(x)=e^x$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\cos(x)e^xdx =\\cos(x)e^x+\\int \\sin(x)e^xdx.\n",
"$$\n",
"\n",
"Pozostałą do obliczenia całkę $\\int \\sin(x)e^xdx$ obliczymy ponownie przez części biorac $f(x)=\\sin(x)$ i $g'(x)=e^x$.\n",
"Wtedy $f'(x)=\\cos (x)$ i $g(x)=e^x$ i mamy\n",
"\n",
"$$\n",
"\\begin{align}\n",
"\\int \\cos(x)e^xdx =&\\sin(x)e^x+\\cos(x)e^x-\\int \\cos(x)e^x.\n",
"\\end{align}\n",
"$$\n",
"\n",
"Stąd \n",
"\n",
"$$\n",
"2\\int \\cos(x)e^xdx =\\sin(x)e^x+\\cos(x)e^x,\n",
"$$\n",
"\n",
"a zatem \n",
"\n",
"$$\n",
"\\int \\cos(x)e^xdx =\\frac{\\sin(x)e^x+\\cos(x)e^x}{2}+C.\n",
"$$\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "261877c9",
"metadata": {},
"source": [
"#### Przykłady do samodzielnego rozwiązania"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "63578605",
"metadata": {},
"source": [
"1. $\\displaystyle \\int (x+3)e^{x+4}dx$.\n",
"\n",
"\n",
"2. $\\displaystyle\\int x^3e^{x}dx$.\n",
"\n",
"\n",
"3. $\\displaystyle\\int (x+2)\\cos(2x+1)dx$.\n",
"\n",
"\n",
"4. $\\displaystyle\\int x^2\\sin(x+3)dx$.\n",
"\n",
"\n",
"5. $\\displaystyle\\int x^6\\ln xdx$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a3250bf9",
"metadata": {},
"source": [
"__Uwaga.__\n",
"Oczywisćie nie każdą całkę można policzyć używając tylko metody całkowania przez cześci i przez podstawienie.\n",
"Ponadto istnieją też takie funkcje, których funkcji pierwotnej nie można przedstawić za pomocą funkcji elementarnych."
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3 (ipykernel)",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.11.3"
},
"toc": {
"base_numbering": 1,
"nav_menu": {},
"number_sections": false,
"sideBar": true,
"skip_h1_title": false,
"title_cell": "Table of Contents",
"title_sidebar": "Contents",
"toc_cell": false,
"toc_position": {},
"toc_section_display": true,
"toc_window_display": true
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}
Reference in New Issue Copy Permalink