213 lines
8.7 KiB
Org Mode
213 lines
8.7 KiB
Org Mode
|
|
* Wygładzanie w n-gramowych modelach języka
|
|
|
|
** Dlaczego wygładzanie?
|
|
|
|
Wyobraźmy sobie urnę, w której znajdują się kule w $m$ kolorach
|
|
(ściślej: w co najwyżej $m$ kolorach, może w ogóle nie być kul w danym
|
|
kolorze). Nie wiemy, ile jest ogółem kul w urnie i w jakiej liczbie
|
|
występuje każdy z kolorów.
|
|
|
|
Losujemy ze zwracaniem (to istotne!) $T$ kul, załóżmy, że
|
|
wylosowaliśmy w poszczególnych kolorach $\{k_1,\dots,k_m\}$ kul
|
|
(tzn. pierwszą kolor wylosowaliśmy $k_1$ razy, drugi kolor — $k_2$ razy itd.).
|
|
Rzecz jasna, $\sum_{i=1}^m k_i = T$.
|
|
|
|
Jak powinniśmy racjonalnie szacować prawdopodobieństwa wylosowania kuli w $i$-tym kolorze ($p_i$)?
|
|
|
|
Wydawałoby się wystarczyłoby liczbę wylosowanych kul w danym kolorze
|
|
podzielić przez liczbę wszystkich prób:
|
|
|
|
$$p_i = \frac{k_i}{T}.$$
|
|
|
|
*** Wygładzanie — przykład
|
|
|
|
Rozpatrzmy przykład z 3 kolorami (wiemy, że w urnie mogą być urny
|
|
żółte, zielone i czerwone, tj. $m=3$) i 4 losowaniami ($T=4$):
|
|
|
|
[[./05_Wygladzanie/urna.drawio.png]]
|
|
|
|
Gdybyśmy w prosty sposób oszacowali prawdopodobieństwa, doszlibyśmy do
|
|
wniosku, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi 3/4, żółtej — 1/4,
|
|
a zielonej — 0. Wartości te są jednak dość problematyczne:
|
|
|
|
- Za bardzo przywiązujemy się do naszej skromnej próby,
|
|
potrzebowalibyśmy większej liczby losowań, żeby być bardziej pewnym
|
|
naszych estymacji.
|
|
- W szczególności stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli
|
|
zielonej wynosi 0 jest bardzo mocnym stwierdzeniem (twierdzimy, że *NIEMOŻLIWE* jest wylosowanie kuli zielonej), dopiero większa liczba
|
|
prób bez wylosowania zielonej kuli mogłaby sugerować
|
|
prawdopodobieństwo bliskie zeru.
|
|
- Zauważmy, że niemożliwe jest wylosowanie ułamka kuli, jeśli w
|
|
rzeczywistości 10% kul jest żółtych to nie oznacza się wylosujemy
|
|
$4\frac{1}{10} = \frac{2}{5}$ kuli. Prawdopodobnie wylosujemy jedną
|
|
kulę żółtą albo żadną. Wylosowanie dwóch kul żółtych byłoby możliwe,
|
|
ale mniej prawdopodobne. Jeszcze mniej prawdopodobne byłoby
|
|
wylosowanie 3 lub 4 kul żółtych.
|
|
|
|
*** Idea wygładzania
|
|
|
|
Wygładzanie (ang. /smoothing/) polega na tym, że „uszczknąć” nieco
|
|
masy prawdopodobieństwa zdarzeniom wskazywanym przez eksperyment czy
|
|
zbiór uczący i rozdzielić ją między mniej prawdopodobne zdarzenia.
|
|
|
|
*** Wygładzanie +1
|
|
|
|
Najprostszy sposób wygładzania to wygładzania +1, nazywane też wygładzaniem
|
|
Laplace'a, zdefiniowane za pomocą następującego wzoru:
|
|
|
|
$$p_i = \frac{k_i+1}{T+m}.$$
|
|
|
|
W naszym przypadku z urną prawdopodobieństwo wylosowania kuli
|
|
czerwonej określimy na $\frac{3+1}{4+3} = \frac{4/7}$, kuli żółtej —
|
|
$\frac{1+1}{4+3}=2/7$, zielonej — $\frac{0+1}{4+3}=1/7$. Tym samym,
|
|
kula zielona uzyskała niezerowe prawdopodobieństwo, żółta — nieco
|
|
zyska, zaś czerwona — straciła.
|
|
|
|
**** Własności wygładzania +1
|
|
|
|
Zauważmy, że większa liczba prób $m$, tym bardziej ufamy naszemu eksperymentowi
|
|
(czy zbiorowi uczącemu) i tym bardziej zbliżamy się do niewygładzonej wartości:
|
|
|
|
$$\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{k_i +1}{T + m} = \frac{k_i}{T}.$$
|
|
|
|
Inna dobra, zdroworozsądkowo, własność to to, że prawdopodobieństwo nigdy nie będzie zerowe:
|
|
|
|
$$frac{k_i + 1}{T + m} > 0.$$
|
|
|
|
** Wygładzanie w unigramowym modelu języku
|
|
|
|
*** Analogia do urny
|
|
|
|
Unigramowy model języka, abstrakcyjnie, dokładnie realizuje scenariusz
|
|
losowania kul z urny: $m$ to liczba wszystkich wyrazów (czyli rozmiar słownika $|V|$),
|
|
$k_i$ to ile razy w zbiorze uczącym pojawił się $i$-ty wyraz słownika,
|
|
$T$ — długość zbioru uczącego.
|
|
|
|
[[./05_Wygladzanie/urna-wyrazy.drawio.png]]
|
|
|
|
A zatem przy użyciu wygładzania +1 w następujący sposób estymować
|
|
będziemy prawdopodobieństwo słowa $w$:
|
|
|
|
$$P(w) = \fraq{\# w + 1}{|C| + |V|}.$$
|
|
|
|
*** Wygładzanie $+\alpha$
|
|
|
|
W modelowaniu języka wygładzanie $+1$ daje zazwyczaj niepoprawne
|
|
wyniki, dlatego częściej zamiast wartości 1 używa się współczynnika $0
|
|
< \alpha < 1$. W innych praktycznych zastosowaniach statystyki
|
|
przyjmuje się $\alpha = \frac{1}{2}$, ale w przypadku n-gramowych
|
|
modeli języka i to będzie zbyt duża wartość.
|
|
|
|
W jaki sposób ustalić wartość $\alpha$? Można $\alpha$ potraktować $\alpha$
|
|
jako hiperparametr i dostroić ją na odłożonym zbiorze.
|
|
|
|
*** Jak wybrać wygładzanie?
|
|
|
|
Jak ocenić, który sposób wygładzania jest lepszy? Jak wybrać $\alpha$
|
|
w czasie dostrajania?
|
|
|
|
Najprościej można sprawdzić estymowane prawdopodobieństwa na zbiorze
|
|
strojącym (developerskim). Dla celów poglądowych bardziej czytelny
|
|
będzie podział zbioru uczącego na dwie równe części — będziemy
|
|
porównywać częstości estymowane na jednej połówce korpusu z
|
|
rzeczywistymi, empirycznymi częstościami z drugiej połówki.
|
|
|
|
Wyniki będziemy przedstawiać w postaci tabeli, gdzie w poszczególnych
|
|
wierszach będziemy opisywać częstości estymowane dla wszystkich
|
|
wyrazów, które pojawiły się określoną liczbę razy w pierwszej połówce korpusu.
|
|
|
|
Ostatecznie możemy też po prostu policzyć perplexity na zbiorze testowym
|
|
|
|
*** Wygładzanie Gooda-Turinga
|
|
|
|
Inna metoda — wygładzanie Gooda-Turinga — polega na zliczaniu, ile
|
|
$n$-gramów (na razie rozpatrujemy model unigramowy, więc po prostu pojedynczych
|
|
wyrazów) wystąpiło zadaną liczbę razy. Niech $N_r$ oznacza właśnie,
|
|
ile $n$-gramów wystąpiło dokładnie $r$ razy; na przykład $N_1$ oznacza liczbę /hapax legomena/.
|
|
|
|
W metodzie Gooda-Turinga używamy następującej estymacji:
|
|
|
|
$$p(w) = \frac{\# w + 1}{|C|}\frac{N_{r+1}}{N_r}.$$
|
|
|
|
** Wygładzanie dla $n$-gramów
|
|
|
|
*** Rzadkość danych
|
|
|
|
W wypadku bigramów, trigramów itd. jeszcze dotkliwy staje się problem
|
|
*rzadkości* danych (/data sparsity/). Przestrzeń możliwych zdarzeń
|
|
jest jeszcze większa ($|V|^2$ dla bigramów), więc estymacje stają się
|
|
jeszcze mniej pewne.
|
|
|
|
*** Back-off
|
|
|
|
Dla $n$-gramów, gdzie $n>1$, nie jesteśmy ograniczeni do wygładzania $+1$, $+k$ czy Gooda-Turinga.
|
|
W przypadku rzadkich $n$-gramów, w szczególności gdy $n$-gram w ogóle się nie pojawił w korpusie,
|
|
możemy „zejść” na poziom krótszych $n$-gramów. Na tym polega *back-off*.
|
|
|
|
Otóż jeśli $\# w_{i-n+1}\ldots w_{i-1} > 0$, wówczas estymujemy prawdopodobieństwa
|
|
w tradycyjny sposób:
|
|
|
|
$$P_B(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = d_n(w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}\ldots w_{i-1}) P(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1})$$
|
|
|
|
W przeciwnym razie, rozpatrujemy rekurencyjnie krótszy $n$-gram:
|
|
|
|
$$P_B(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = \delta_n(w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}\ldots w_{i-1}) P_B(w_i|w_{i-n+2}\ldots w_{i-1}).$$
|
|
|
|
Technicznie, aby $P_B$ stanowiło rozkład prawdopodobieństwa, trzeba dobrać współczynniki $d$ i $\delta$.
|
|
|
|
*** Interpolacja
|
|
|
|
Alternatywą do metody back-off jest *interpolacja* — zawsze z pewnym współczynnikiem uwzględniamy
|
|
prawdopodobieństwa dla krótszych $n$-gramów:
|
|
|
|
$$P_I(w_i|w_{i-n+1}\ldots w_{i-1}) = \lambda P(w_i|w_{i-n+1}\dots w_{i-1}) + (1-\lambda)
|
|
P_I(w_i|w_{i-n+2}\dots w_{i-1}).$$
|
|
|
|
|
|
Na przykład, dla trigramów:
|
|
|
|
$$P_I(w_i|w_{i-2}w_{i-1}) = \lambda P_(w_i|w_{i-2}w_{i-1}) + (1-\lambda)(\lambda P(w_i|w_{i-1}) + (1-\lambda)P_I(w_i)).$$
|
|
|
|
** Uwzględnianie różnorodności
|
|
|
|
*** Różnorodność kontynuacji
|
|
|
|
Zauważmy, że słowa mogą bardzo różnić się co do różnorodności
|
|
kontynuacji. Na przykład po słowie /szop/ spodziewamy się raczej tylko
|
|
słowa /pracz/, każde inne, niewidziane w zbiorze uczącym, będzie
|
|
zaskakujące. Dla porównania słowo /seledynowy/ ma bardzo dużo
|
|
możliwych kontynuacji i powinniśmy przeznaczyć znaczniejszą część masy
|
|
prawdopodobieństwa na kontynuacje niewidziane w zbiorze uczącym.
|
|
|
|
Różnorodność kontynuacji bierze pod uwagę metoda wygładzania
|
|
Wittena-Bella, będącą wersją interpolacji.
|
|
|
|
Wprowadźmy oznaczenie na liczbę możliwych kontynuacji $n-1$-gramu $w_1\ldots w_{n-1}$:
|
|
|
|
$$N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet) = |\{w_n : \# w_1\ldots w_{n-1}w_n > 0\}|.$$
|
|
|
|
Teraz zastosujemy interpolację z następującą wartością parametru
|
|
$1-\lambda$, sterującego wagą, jaką przypisujemy do krótszych $n$-gramów:
|
|
|
|
|
|
$$1 - \lambda = \frag{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet)}{N_{1+}(w_1\ldots w_{n-1}\dot\bullet) + \# w_1\ldots w_{n-1}}.$$
|
|
|
|
*** Wygładzanie Knesera-Neya
|
|
|
|
Zamiast brać pod uwagę różnorodność kontynuacji, możemy rozpatrywać
|
|
różnorodność *historii* — w momencie liczenia prawdopodobieństwa dla
|
|
unigramów dla interpolacji (nie ma to zastosowania dla modeli
|
|
unigramowych). Na przykład dla wyrazu /Jork/ spodziewamy się tylko
|
|
bigramu /Nowy Jork/, a zatem przy interpolacji czy back-off prawdopodobieństwo
|
|
unigramowe powinno być niskie.
|
|
|
|
Wprowadźmy oznaczenia na liczbę możliwych historii:
|
|
|
|
$$N_{1+}(\bullet w) = |\{w_j : \# w_jw > 0\}|$$.
|
|
|
|
W metodzie Knesera-Neya w następujący sposób estymujemy prawdopodobieństwo unigramu:
|
|
|
|
$$P(w) = \frac{N_{1+}(\bullet w)}{\sum_{w_j} N_{1+}(\bullet w_j)}.$$
|