mat 1

Pytania.md

@@ -2,51 +2,108 @@
 
 ## Zagadnienia matematyczne:
 
-### 1.Podstawowe pojęcia matematyczne: definicja, twierdzenie, warunek konieczny i dostateczny, funkcje (definicje, przykłady, podstawowe własności).
-definicja - 
-twierdzenie - 
-warunek konieczny - 
-warunek dostateczny - 
-funkcje - 
+### 1. Podstawowe pojęcia matematyczne: definicja, twierdzenie, warunek konieczny i dostateczny, funkcje (definicje, przykłady, podstawowe własności).
+**definicja** - \
+**twierdzenie* - \
+**warunek konieczny** - \
+**warunek dostateczny** - \
+**funkcje** - \
 
-### 2.Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność, szereg potęgowy i jego suma.
+### 2. Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność, szereg potęgowy i jego suma.
 Szereg liczbowy - 
 
-### 3.Funkcje elementarne (funkcja trygonometryczna, wielomian, funkcja wymierna, funkcje wykładnicza, funkcje potęgowa, funkcja logarytmiczna)
-Funkcja trygonometryczna -  funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych
-Funkcja wilomianowa -  funkcja, której wzorem jest wielomian, W zasadzie analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcję jednej zmiennej możemy nazywać funkcją wielomianową, jeżeli: f(x)=anx^n+an−1x^n−1+...+a1x+a0
-Funkcja wymierna - to taka funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów 2x-3/3x+1
-Funkcja wykładnicza - 
-Funkcja potęgowa - 
-Funkcja logarytmiczna - 
+### 3. Funkcje elementarne (funkcja trygonometryczna, wielomian, funkcja wymierna, funkcje wykładnicza, funkcje potęgowa, funkcja logarytmiczna)
+**Funkcja trygonometryczna** -  funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych
+**Funkcja wilomianowa** -  funkcja, której wzorem jest wielomian, W zasadzie analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcję jednej zmiennej możemy nazywać funkcją wielomianową, jeżeli: f(x)=anx^n+an−1x^n−1+...+a1x+a0\
+**Funkcja wymierna** - to taka funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów 2x-3/3x+1\
+**Funkcja wykładnicza** - \
+**Funkcja potęgowa** - \
+**Funkcja logarytmiczna** - \
 
-### 4.Liczby zespolone.
-Liczby zespolone - liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ℝ. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych. Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy tak:
-**i^2=−1**
+### 4. Liczby zespolone.
+**Liczby zespolone** - liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ℝ. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych. Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy tak: **i^2=−1**
 
-### 5.Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: równania prostej, okręgu, odległość punktu od prostej.
-prosta - nieskończony zbrió punktów...?
-okrąg - nieskończony zbriór punktów równo oddalonych od jednego zwanym środkiem 
-odleglość punktu od prostej - 
+### 5. Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: równania prostej, okręgu, odległość punktu od prostej.
+**prosta** - nieskończony zbrió punktów...? \
+**okrąg** - nieskończony zbriór punktów równo oddalonych od jednego zwanym środkiem \
+**odleglość punktu od prostej** - \
 
-### 6.Algorytm eliminacji Gaussa.
-Algorytm eliminacji Gaussa - metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy
+### 6. Algorytm eliminacji Gaussa.
+**Algorytm eliminacji Gaussa** - metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy
 
 
-### 7.Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, macierze, wyznacznik i wektory własne macierzy.
-### 8.Tautologie rachunku zdań, kwantyfikatory, prawa dla kwantyfikatorów; definicje i przykłady.
-### 9.Podstawowe pojęcia teorii mnogości: pojęcie zbioru, aksjomat ekstensjonalności, aksjomaty istnienia zbiorów, stosunek należenia elementu do zbioru.
-### 10.Relacja równoważności, klasy abstrakcji.
-### 11.Relacje porządkujące i liniowo porządkujące, zbiory dobrze uporządkowane.
-### 12.Funkcje, funkcje różnowartościowe, funkcja ze zbioru X na zbiór Y, iniekcja, suriekcja, bijekcja.
-### 13.Granica funkcji; ciągłość funkcji; własności funkcji ciągłej.
-### 14.Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, jej własności oraz podstawowe zastosowania. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji (wyznaczenie ekstremów lokalnych, badania przedziałów monotoniczności, badanie wypukłości/wklęsłości funkcji)
-### 15.Całka Riemanna i jej własności. Zastosowanie całek Riemanna w geometrii np. do wyznaczania pól powierzchni.
-### 16.Podstawowe pojęcia kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje. Prawa i metody przeliczania. Schematy wyboru.
-### 17.Metody dowodzenia twierdzeń (dowód wprost, dowód nie wprost, dowód przez zaprzeczenie), zasada szufladkowa, zasada indukcji matematycznej.
-### 18.Podstawowe pojęcia teorii grafów: grafy skierowane i nieskierowane, grafy proste; grafy ważone; reprezentacje komputerowe grafów; izomorfizm grafów; podgrafy; przeliczanie grafów prostych.
-### 19.Eksperyment losowy, przestrzeń probabilistyczna, zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo klasyczne.
-### 20.Zmienna losowa -definicja, rozkład prawdopodobieństwa, przykłady. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja. Niezależność zmiennych losowych.
-### 21.Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń. Wzór łańcuchowy. Wzór Bayesa.
-### 22.Elementy teorii grup, pierścieni. Ciała skończone.
+### 7. Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, macierze, wyznacznik i wektory własne macierzy.
 
+
+### 8. Tautologie rachunku zdań, kwantyfikatory, prawa dla kwantyfikatorów; definicje i przykłady.
+**Tautologie rachunku zdań** - wyrazenie zbudowane ze zdan prostych i spójników, które jest zawsze prawdziwe \
+**kwantyfikatory** - dla kazdego (A bez poprzecznej kreski), istaniej takie (V) \
+**prawa dla kwantyfikatorów** - prawo de Morgana ~Vx p(x) <-> Ax ~p(x); ~Ax p(x) <-> Vx ~p(x) 
+### 9. Podstawowe pojęcia teorii mnogości: pojęcie zbioru, aksjomat ekstensjonalności, aksjomaty istnienia zbiorów, stosunek należenia elementu do zbioru.
+**zbiór** - należy do pojęć pierwotnych aksjomatycznej teorii mnogości i nie podaje się jego definicji\
+**aksjomat ekstensjonalności** - dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:
+*dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy* \
+**aksjomaty istnienia zbiorów** - \
+**stosunek należenia elementu do zbioru** - 
+### 10. Relacja równoważności, klasy abstrakcji.
+Relacja równowazności - Relację ~ na zbiorze A będziemy nazywać relację równoważności, jeśli ma następujące 3 właściwości: 
+- zwrotna, czyli dla każdego a\in A, a~ a, 
+- symetryczna, czyli dla każdych a,b nalezy do A, jeśli a~ b, to b~ a, 
+- przechodnia, czyli dla każdych a,b,c nalezy do A, jeśli a~ b oraz b~ c, to a~ c. 
+Klasa abstrakcji - zbiór wszystkich elementów, które są w relacji z danym elementem a nalezy do A, nazywamy klasą abstrakcji a i oznaczamy [a]~.\
+Czyli [a]~={b nalezy do A: a~ b}. Rodzinę wszystkich klas abstrakcji, oznaczamy A/~ i nazywamy zbiorem ilorazowym.
+### 11. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące, zbiory dobrze uporządkowane.
+**relacja porzadkująca** - Relację binarną ρ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po- rządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządko- wanym. \
+**relacja liniwo porządkująca** - \
+**zbiór dobrze uporządkowany** - zbiór skończony $X$ jest w uporządkowany, gdy jego elementy możemy ułożyć w szereg od 'najmniejszego' do 'największego'
+Przykładem relacji liniowego porządku jest relacja „mniejszy lub równy” (≤) określona na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych.
+### 12. Funkcje, funkcje różnowartościowe, funkcja ze zbioru X na zbiór Y, iniekcja, suriekcja, bijekcja.
+**funkcja róznowartościowa** - Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w zbiorze A, będącym podzbiorem dziedziny funkcji f(x), jeżeli dla każdych x1,x2 nalezy do A prawdziwa jest implikacja: (x1 nie rowne x2) => f(x1) nie równe f(x2). \
+**iniekcja** - funkcja jest injekcją, jeśli różnym elementom dziedziny funkcja przyporządkowuje różne elementy przeciwdziedziny \
+**suriekcja** - f:X→Y jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu \
+### 13. Granica funkcji; ciągłość funkcji; własności funkcji ciągłej.
+**granica funkcji** - wartości do jakiej dąży funkcja f(x), wraz z tym jak x dąży do liczby x0.
+Szukana wartość jest granicą funkcji f(x) w punkcie x0 \
+**ciągłość funkcji** -  Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli: \
+lim{x dązy do x0} f(x)=f(x0) \
+Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:
+1) ma w punkcie x0 granicę równą g,
+2) posiada w punkcie x0 wartość f(x0),
+3) granica g równa jest wartości funkcji f(x0).
+### 14. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, jej własności oraz podstawowe zastosowania. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji (wyznaczenie ekstremów lokalnych, badania przedziałów monotoniczności, badanie wypukłości/wklęsłości funkcji)
+
+
+
+### 15. Całka Riemanna i jej własności. Zastosowanie całek Riemanna w geometrii np. do wyznaczania pól powierzchni.
+### 16. Podstawowe pojęcia kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje. Prawa i metody przeliczania. Schematy wyboru.
+**permutacje** - to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbior \
+Pn = n!
+Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce?
+Pierwszą osobę mozna ustawić w 5 miejscach, drugą w 4 miejscach , trzecią w 3 miejscach ...\
+Rozwiązanie:\
+Obliczmy liczbę permutacji zbioru 5-elementowego:\
+P5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\
+Czyli pięć osób można ustawić w kolejce na 120 sposobów.
+**wariacja z powtórzeniami** - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że dopuszcza powtarzanie elementów\
+Wzór: Wnk = n^k \
+Ile słów pięcioliterowych (nawet tych bezsensownych) można utworzyć z liter {A,B,C}?\
+Rozwiązanie:\
+Przykładami taki słów są: AAAAA, AABCA, CBCBB. Na każde z 5 miejsc możemy wybrać jedną z 3 liter, zatem wszystkich możliwości mamy: 3^5=243 \
+**wariancja bez powtórzeń** - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że nie dopuszcza powtarzania elementów. \
+Wzór: Vnk = n!/(n-k)! \
+Ile istnieje czterocyfrowych PIN-kodów składających się z różnych cyfr?
+Rozwiązanie:\
+Mamy do dyspozycji 10 cyfr: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.\
+Przykładowymi kodami o różnych cyfrach są: 1234, 0189, 9734. Wszystkich takich wariacji bez powtórzeń jest: 10!/6! = 7⋅8⋅9⋅10 = 5040\
+**kombinacje** - pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru \
+Wzór: Cnk = n!/k!(n-k)! \
+Na ile sposobów można wybrać 2 osoby w klasie 30 osobowej? (30 po 2)
+
+### 17. Metody dowodzenia twierdzeń (dowód wprost, dowód nie wprost, dowód przez zaprzeczenie), zasada szufladkowa, zasada indukcji matematycznej.
+### 18. Podstawowe pojęcia teorii grafów: grafy skierowane i nieskierowane, grafy proste; grafy ważone; reprezentacje komputerowe grafów; izomorfizm grafów; podgrafy; przeliczanie grafów prostych.
+### 19. Eksperyment losowy, przestrzeń probabilistyczna, zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo klasyczne.
+### 20. Zmienna losowa -definicja, rozkład prawdopodobieństwa, przykłady. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja. Niezależność zmiennych losowych.
+### 21. Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń. Wzór łańcuchowy. Wzór Bayesa.
+### 22. Elementy teorii grup, pierścieni. Ciała skończone.
+
+## Zagadnienia informatyczne: