8.6 KiB
Lista zagadnień egzaminacyjnych
Zagadnienia matematyczne:
1. Podstawowe pojęcia matematyczne: definicja, twierdzenie, warunek konieczny i dostateczny, funkcje (definicje, przykłady, podstawowe własności).
definicja -
*twierdzenie -
warunek konieczny -
warunek dostateczny -
funkcje - \
2. Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność, szereg potęgowy i jego suma.
Szereg liczbowy -
3. Funkcje elementarne (funkcja trygonometryczna, wielomian, funkcja wymierna, funkcje wykładnicza, funkcje potęgowa, funkcja logarytmiczna)
Funkcja trygonometryczna - funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych
Funkcja wilomianowa - funkcja, której wzorem jest wielomian, W zasadzie analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcję jednej zmiennej możemy nazywać funkcją wielomianową, jeżeli: f(x)=anx^n+an−1x^n−1+...+a1x+a0
Funkcja wymierna - to taka funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów 2x-3/3x+1
Funkcja wykładnicza -
Funkcja potęgowa -
Funkcja logarytmiczna - \
4. Liczby zespolone.
Liczby zespolone - liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ℝ. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych. Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy tak: i^2=−1
5. Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: równania prostej, okręgu, odległość punktu od prostej.
prosta - nieskończony zbrió punktów...?
okrąg - nieskończony zbriór punktów równo oddalonych od jednego zwanym środkiem
odleglość punktu od prostej - \
6. Algorytm eliminacji Gaussa.
Algorytm eliminacji Gaussa - metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy
7. Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, macierze, wyznacznik i wektory własne macierzy.
8. Tautologie rachunku zdań, kwantyfikatory, prawa dla kwantyfikatorów; definicje i przykłady.
Tautologie rachunku zdań - wyrazenie zbudowane ze zdan prostych i spójników, które jest zawsze prawdziwe
kwantyfikatory - dla kazdego (A bez poprzecznej kreski), istaniej takie (V)
prawa dla kwantyfikatorów - prawo de Morgana ~Vx p(x) <-> Ax ~p(x); ~Ax p(x) <-> Vx ~p(x)
9. Podstawowe pojęcia teorii mnogości: pojęcie zbioru, aksjomat ekstensjonalności, aksjomaty istnienia zbiorów, stosunek należenia elementu do zbioru.
zbiór - należy do pojęć pierwotnych aksjomatycznej teorii mnogości i nie podaje się jego definicji
aksjomat ekstensjonalności - dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:
dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy
aksjomaty istnienia zbiorów -
stosunek należenia elementu do zbioru -
10. Relacja równoważności, klasy abstrakcji.
Relacja równowazności - Relację ~ na zbiorze A będziemy nazywać relację równoważności, jeśli ma następujące 3 właściwości:
- zwrotna, czyli dla każdego a\in A, a~ a,
- symetryczna, czyli dla każdych a,b nalezy do A, jeśli a~ b, to b~ a,
- przechodnia, czyli dla każdych a,b,c nalezy do A, jeśli a~ b oraz b~ c, to a~ c.
Klasa abstrakcji - zbiór wszystkich elementów, które są w relacji z danym elementem a nalezy do A, nazywamy klasą abstrakcji a i oznaczamy [a]~.
Czyli [a]~={b nalezy do A: a~ b}. Rodzinę wszystkich klas abstrakcji, oznaczamy A/~ i nazywamy zbiorem ilorazowym.
11. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące, zbiory dobrze uporządkowane.
relacja porzadkująca - Relację binarną ρ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po- rządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządko- wanym.
relacja liniwo porządkująca -
zbiór dobrze uporządkowany - zbiór skończony X jest w uporządkowany, gdy jego elementy możemy ułożyć w szereg od 'najmniejszego' do 'największego'
Przykładem relacji liniowego porządku jest relacja „mniejszy lub równy” (≤) określona na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych.
12. Funkcje, funkcje różnowartościowe, funkcja ze zbioru X na zbiór Y, iniekcja, suriekcja, bijekcja.
funkcja róznowartościowa - Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w zbiorze A, będącym podzbiorem dziedziny funkcji f(x), jeżeli dla każdych x1,x2 nalezy do A prawdziwa jest implikacja: (x1 nie rowne x2) => f(x1) nie równe f(x2).
iniekcja - funkcja jest injekcją, jeśli różnym elementom dziedziny funkcja przyporządkowuje różne elementy przeciwdziedziny
suriekcja - f:X→Y jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu \
13. Granica funkcji; ciągłość funkcji; własności funkcji ciągłej.
granica funkcji - wartości do jakiej dąży funkcja f(x), wraz z tym jak x dąży do liczby x0.
Szukana wartość jest granicą funkcji f(x) w punkcie x0
ciągłość funkcji - Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli:
lim{x dązy do x0} f(x)=f(x0)
Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:
- ma w punkcie x0 granicę równą g,
- posiada w punkcie x0 wartość f(x0),
- granica g równa jest wartości funkcji f(x0).
14. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, jej własności oraz podstawowe zastosowania. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji (wyznaczenie ekstremów lokalnych, badania przedziałów monotoniczności, badanie wypukłości/wklęsłości funkcji)
15. Całka Riemanna i jej własności. Zastosowanie całek Riemanna w geometrii np. do wyznaczania pól powierzchni.
16. Podstawowe pojęcia kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje. Prawa i metody przeliczania. Schematy wyboru.
permutacje - to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbior
Pn = n!
Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce?
Pierwszą osobę mozna ustawić w 5 miejscach, drugą w 4 miejscach , trzecią w 3 miejscach ...
Rozwiązanie:
Obliczmy liczbę permutacji zbioru 5-elementowego:
P5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120
Czyli pięć osób można ustawić w kolejce na 120 sposobów.
wariacja z powtórzeniami - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że dopuszcza powtarzanie elementów
Wzór: Wnk = n^k
Ile słów pięcioliterowych (nawet tych bezsensownych) można utworzyć z liter {A,B,C}?
Rozwiązanie:
Przykładami taki słów są: AAAAA, AABCA, CBCBB. Na każde z 5 miejsc możemy wybrać jedną z 3 liter, zatem wszystkich możliwości mamy: 3^5=243
wariancja bez powtórzeń - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że nie dopuszcza powtarzania elementów.
Wzór: Vnk = n!/(n-k)!
Ile istnieje czterocyfrowych PIN-kodów składających się z różnych cyfr?
Rozwiązanie:
Mamy do dyspozycji 10 cyfr: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Przykładowymi kodami o różnych cyfrach są: 1234, 0189, 9734. Wszystkich takich wariacji bez powtórzeń jest: 10!/6! = 7⋅8⋅9⋅10 = 5040
kombinacje - pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru
Wzór: Cnk = n!/k!(n-k)!
Na ile sposobów można wybrać 2 osoby w klasie 30 osobowej? (30 po 2)