Obrona_dyplomowa/Pytania.md

# Lista zagadnień egzaminacyjnych

## Zagadnienia matematyczne:

### 1. Podstawowe pojęcia matematyczne: definicja, twierdzenie, warunek konieczny i dostateczny, funkcje (definicje, przykłady, podstawowe własności).
**definicja** - \
**twierdzenie* - \
**warunek konieczny** - \
**warunek dostateczny** - \
**funkcje** - \

### 2. Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność, szereg potęgowy i jego suma.
Szereg liczbowy - 

### 3. Funkcje elementarne (funkcja trygonometryczna, wielomian, funkcja wymierna, funkcje wykładnicza, funkcje potęgowa, funkcja logarytmiczna)
**Funkcja trygonometryczna** -  funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych
**Funkcja wilomianowa** -  funkcja, której wzorem jest wielomian, W zasadzie analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcję jednej zmiennej możemy nazywać funkcją wielomianową, jeżeli: f(x)=anx^n+an−1x^n−1+...+a1x+a0\
**Funkcja wymierna** - to taka funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów 2x-3/3x+1\
**Funkcja wykładnicza** - \
**Funkcja potęgowa** - \
**Funkcja logarytmiczna** - \

### 4. Liczby zespolone.
**Liczby zespolone** - liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ℝ. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych. Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy tak: **i^2=−1**

### 5. Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: równania prostej, okręgu, odległość punktu od prostej.
**prosta** - nieskończony zbrió punktów...? \
**okrąg** - nieskończony zbriór punktów równo oddalonych od jednego zwanym środkiem \
**odleglość punktu od prostej** - \

### 6. Algorytm eliminacji Gaussa.
**Algorytm eliminacji Gaussa** - metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy


### 7. Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, macierze, wyznacznik i wektory własne macierzy.


### 8. Tautologie rachunku zdań, kwantyfikatory, prawa dla kwantyfikatorów; definicje i przykłady.
**Tautologie rachunku zdań** - wyrazenie zbudowane ze zdan prostych i spójników, które jest zawsze prawdziwe \
**kwantyfikatory** - dla kazdego (A bez poprzecznej kreski), istaniej takie (V) \
**prawa dla kwantyfikatorów** - prawo de Morgana ~Vx p(x) <-> Ax ~p(x); ~Ax p(x) <-> Vx ~p(x) 
### 9. Podstawowe pojęcia teorii mnogości: pojęcie zbioru, aksjomat ekstensjonalności, aksjomaty istnienia zbiorów, stosunek należenia elementu do zbioru.
**zbiór** - należy do pojęć pierwotnych aksjomatycznej teorii mnogości i nie podaje się jego definicji\
**aksjomat ekstensjonalności** - dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:
*dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy* \
**aksjomaty istnienia zbiorów** - \
**stosunek należenia elementu do zbioru** - 
### 10. Relacja równoważności, klasy abstrakcji.
Relacja równowazności - Relację ~ na zbiorze A będziemy nazywać relację równoważności, jeśli ma następujące 3 właściwości: 
- zwrotna, czyli dla każdego a\in A, a~ a, 
- symetryczna, czyli dla każdych a,b nalezy do A, jeśli a~ b, to b~ a, 
- przechodnia, czyli dla każdych a,b,c nalezy do A, jeśli a~ b oraz b~ c, to a~ c. 
Klasa abstrakcji - zbiór wszystkich elementów, które są w relacji z danym elementem a nalezy do A, nazywamy klasą abstrakcji a i oznaczamy [a]~.\
Czyli [a]~={b nalezy do A: a~ b}. Rodzinę wszystkich klas abstrakcji, oznaczamy A/~ i nazywamy zbiorem ilorazowym.
### 11. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące, zbiory dobrze uporządkowane.
**relacja porzadkująca** - Relację binarną ρ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po- rządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządko- wanym. \
**relacja liniwo porządkująca** - \
**zbiór dobrze uporządkowany** - zbiór skończony $X$ jest w uporządkowany, gdy jego elementy możemy ułożyć w szereg od 'najmniejszego' do 'największego'
Przykładem relacji liniowego porządku jest relacja „mniejszy lub równy” (≤) określona na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych.
### 12. Funkcje, funkcje różnowartościowe, funkcja ze zbioru X na zbiór Y, iniekcja, suriekcja, bijekcja.
**funkcja róznowartościowa** - Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w zbiorze A, będącym podzbiorem dziedziny funkcji f(x), jeżeli dla każdych x1,x2 nalezy do A prawdziwa jest implikacja: (x1 nie rowne x2) => f(x1) nie równe f(x2). \
**iniekcja** - funkcja jest injekcją, jeśli różnym elementom dziedziny funkcja przyporządkowuje różne elementy przeciwdziedziny \
**suriekcja** - f:X→Y jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu \
### 13. Granica funkcji; ciągłość funkcji; własności funkcji ciągłej.
**granica funkcji** - wartości do jakiej dąży funkcja f(x), wraz z tym jak x dąży do liczby x0.
Szukana wartość jest granicą funkcji f(x) w punkcie x0 \
**ciągłość funkcji** -  Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli: \
lim{x dązy do x0} f(x)=f(x0) \
Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:
1) ma w punkcie x0 granicę równą g,
2) posiada w punkcie x0 wartość f(x0),
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x0).
### 14. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, jej własności oraz podstawowe zastosowania. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji (wyznaczenie ekstremów lokalnych, badania przedziałów monotoniczności, badanie wypukłości/wklęsłości funkcji)



### 15. Całka Riemanna i jej własności. Zastosowanie całek Riemanna w geometrii np. do wyznaczania pól powierzchni.
### 16. Podstawowe pojęcia kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje. Prawa i metody przeliczania. Schematy wyboru.
**permutacje** - to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbior \
Pn = n!
Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce?
Pierwszą osobę mozna ustawić w 5 miejscach, drugą w 4 miejscach , trzecią w 3 miejscach ...\
Rozwiązanie:\
Obliczmy liczbę permutacji zbioru 5-elementowego:\
P5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\
Czyli pięć osób można ustawić w kolejce na 120 sposobów.
**wariacja z powtórzeniami** - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że dopuszcza powtarzanie elementów\
Wzór: Wnk = n^k \
Ile słów pięcioliterowych (nawet tych bezsensownych) można utworzyć z liter {A,B,C}?\
Rozwiązanie:\
Przykładami taki słów są: AAAAA, AABCA, CBCBB. Na każde z 5 miejsc możemy wybrać jedną z 3 liter, zatem wszystkich możliwości mamy: 3^5=243 \
**wariancja bez powtórzeń** - pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że nie dopuszcza powtarzania elementów. \
Wzór: Vnk = n!/(n-k)! \
Ile istnieje czterocyfrowych PIN-kodów składających się z różnych cyfr?
Rozwiązanie:\
Mamy do dyspozycji 10 cyfr: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.\
Przykładowymi kodami o różnych cyfrach są: 1234, 0189, 9734. Wszystkich takich wariacji bez powtórzeń jest: 10!/6! = 7⋅8⋅9⋅10 = 5040\
**kombinacje** - pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru \
Wzór: Cnk = n!/k!(n-k)! \
Na ile sposobów można wybrać 2 osoby w klasie 30 osobowej? (30 po 2)

### 17. Metody dowodzenia twierdzeń (dowód wprost, dowód nie wprost, dowód przez zaprzeczenie), zasada szufladkowa, zasada indukcji matematycznej.
### 18. Podstawowe pojęcia teorii grafów: grafy skierowane i nieskierowane, grafy proste; grafy ważone; reprezentacje komputerowe grafów; izomorfizm grafów; podgrafy; przeliczanie grafów prostych.
### 19. Eksperyment losowy, przestrzeń probabilistyczna, zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo klasyczne.
### 20. Zmienna losowa -definicja, rozkład prawdopodobieństwa, przykłady. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja. Niezależność zmiennych losowych.
### 21. Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń. Wzór łańcuchowy. Wzór Bayesa.
### 22. Elementy teorii grup, pierścieni. Ciała skończone.

## Zagadnienia informatyczne: