RepozytoriumzprojektemPython/stopy/Ćwiczenia_10.ipynb

Ćwiczenia 10

_TEMAT: całki podwójne

Całka podwójna po prostokącie

Definicja: sumy dolne, sumy górne, całka

Przykład:

Korzystając z definicji obliczymy

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]}xydxdy.$$

UWAGA: Sumy dolne, sumy górne, całkę dolną, całkę górną i całkę po prostokącie definiuje się w identycznycny sposób jak odpowiedniki tych pojęć dla przedziału.

1. Dzielimy prostokąt $[0,1]\times [0,1]$ na $n^2$ mniejszych prostokątów o równych polach w następujący sposób (rysunek dla $n=5$), podział ten nazywamy podziałem $P_n$.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Define the square grid [0,1] x [0,1] divided into 25 equal squares
n = 5  # 5x5 grid
x = np.linspace(0, 1, n+1)
y = np.linspace(0, 1, n+1)

# Plot the grid
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
for i in x:
    ax.plot([i, i], [0, 1], color="black", linewidth=0.8)  # Vertical lines
for j in y:
    ax.plot([0, 1], [j, j], color="black", linewidth=0.8)  # Horizontal lines

# Set aspect ratio and limits
ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
ax.set_xlim(0, 1)
ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_title("Square [0,1] x [0,1] Divided into 25 Smaller Squares")
ax.set_xlabel("x-axis")
ax.set_ylabel("y-axis")
plt.grid(False)  # Disable the background grid

plt.show()

2. Dla $1\leq i\leq n$ oraz $1\leq j\leq n$ niech

$$ P_{i,j}=\left[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]\times\left[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right]. $$

3. Dla $1\leq i\leq n$ oraz $1\leq j\leq n$ mamy

$$ \inf_{(x,y)\in P_{i,j}} f(x,y)=\inf_{(x,y)\in P_{i,j}} xy=\frac{(i-1)(j-1)}{n^2} $$

oraz

$$ \sup_{(x,y)\in P_{i,j}} f(x,y)=\sup_{(x,y)\in P_{i,j}} xy=\frac{ij}{n^2} $$

4. Mamy (korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego)

$$ L(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2}\cdot \inf_{(x,y)\in P_{i,j}}f(x,y)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{(i-1)(j-1)}{n^4}=\frac{(n-1)^2}{4n^2}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{4} $$

oraz

$$ U(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2}\cdot \sup_{(x,y)\in P_{i,j}}f(x,y)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{ij}{n^4}=\frac{(n+1)^2}{4n^2}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{4}. $$

5. Rachunki powyżej implikują, że

$$ \iint_{[0,1]\times [0,1]}xydxdy=\frac{1}{4}. $$

Twierdzenie Fubiniego dla prostokąta.

Twierdzenie.
Jeśli $f(x,y)$ jest funkcją ciągłą na prostokącie $R=[a,b] \times [c,d]$, to całkę podwójną można obliczyć poprzez całki iterowane:

$$ {\color{red}{ \iint_R f(x,y) , dxdy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) , dy , dx =\int_c^d \int_a^b f(x,y) , dx , dy. }} $$

Zadanie 1

Obliczymy

$$ \iint_{[0,1]\times [0,1]} xydxdy. $$

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Fubiniego wynika, że

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]} xydxdy=\int_0^1\int_0^1xydydx= \int_0^1\frac{xy^2}{2}\biggr|_{y=0}^{y=1}dx= \int_0^1 \frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}\biggr|

Zadanie 2

Obliczymy

$$ \iint_{[1,4]\times [2,3]} (2x+4y)dxdy. $$

Rozwiązanie:

I sposób $$ \iint_{[1,4]\times [2,3]} (2x+4y)dxdy=\int_1^4\int_2^3(2x+4y)dydx= \int_1^4 2xy+2y^2\biggr|_{y=2}^{y=3}dx=\int_1^42x+10dx= x^2+10x\biggr|

II sposób $$ \iint_{[1,4]\times [2,3]} (2x+4y)dxdy=\int_2^3\int_1^4(2x+4y)dxdy= \int_2^3 x^2+4yx\biggr|_{x=1}^{x=4}dy=\int_2^3 15+12y dy= 15y +6y^2\biggr|

UWAGA!!!

Czasami wybór kolejności całkowania ma istotne znaczenie!

Zadanie 3

Obliczymy

$$ \iint_{[-1,1]\times [0,2]} xe^{y^2}dxdy. $$

Rozwiązanie:

Gdybyśmy najpierw chcieli całkować "po y", to musielibyśmy zmierzyć się z całką $\int e^{y^2}dy\ldots$. Dlatego robimy tak:

$$ \iint_{[-1,1]\times [0,2]} xe^{y^2}dxdy=\int_0^2\int_{-1}^1 xe^{y^2}dxdy= \int_0^2\frac{x^2e^{y^2}}{2}\biggr|_{x=-1}^{x=1}=0. $$

Zadanie domowe (z wykładu):

1. Obliczyć $ \int_1^4 \int_0^2 \left(6x^2 y - 2x\right) , dy , dx$.
2. Obliczyć $\int_1^3 \int_1^5 \dfrac{\ln y}{xy} , dy , dx$.
3. Obliczyć $ \int_0^1 \int_1^2 \left( x + e^{-y} \right) , dx , dy$.

Zastosowanie

Objętość

Niech $f$ oraz $g$ będą funkcjami ciągłymi na prostokącie $[a,b]\times [c,d]$ takimi , że

$$ f(x,y)\leq g(x,y) \quad\text{dla}\quad (x,y)\in [a,b]\times [c,d]. $$

Objętość bryły

$$ E=\{(x,y,z): (x,y)\in [a,b]\times [c,d], f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\} $$

wyraża się wzorem

$$ \iint_{[a,b]\times [c,d]}(g(x,y)-(f(x,y))dxdy. $$

Zadanie 4

Obliczymy objętość prostopadłościanu $[0,1]\times [0,1]$ "ściętego z góry" płaszczyzną $x+y+z=3$ a z dołu płaszczyzną $z=0$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Define the range for x and y
x = np.linspace(0, 1, 30)
y = np.linspace(0, 1, 30)
x, y = np.meshgrid(x, y)

# Define the bounds for z
z_upper = 3 - x - y
z_lower = np.zeros_like(z_upper)

# Create a 3D plot
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Plot the surfaces
ax.plot_surface(x, y, z_upper, alpha=0.7, color='blue', edgecolor='k', label="z = 3 - x - y")
ax.plot_surface(x, y, z_lower, alpha=0.3, color='cyan', edgecolor='k', label="z = 0")

# Set labels and limits
ax.set_xlabel('X-axis')
ax.set_ylabel('Y-axis')
ax.set_zlabel('Z-axis')
ax.set_xlim(0, 1)
ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_zlim(0, 3)

# Title
ax.set_title('Visualization of the set: x ∈ [0,1], y ∈ [0,1], 0 ≤ z ≤ 3-x-y')

plt.show()

Rozwiązanie:

Musimy obliczyć

$$ \iint_{[0,1]\times [0,1]}(3-x-y)dxdy. $$

Mamy

$$ \iint_{[0,1]\times [0,1]}(3-x-y)dxdy=\int_0^1\int_0^1(3-x-y)dydx= \int_0^1 3y-xy-\frac{y^2}{2}\biggr|_{y=0}^{y=1}dx= \int_0^1 \frac{5}{2}-xdx=\frac{5}{2}x-\frac{x^2}{2}\biggr|

Całka podwójna po obszarze

Przypomnienie z wykładu

Niech $f$ będzie funkcją określoną i ograniczoną na obszarze ograniczonym $D\subset\mathbb{R}^2$ oraz niech $R$ będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar $D.$ Ponadto niech funkcja $f^{\ast}$ będzie rozszerzeniem funkcji $f$ z $D$ na $R$ określonym wzorem:

$$ f^{\ast}(x,y)=\begin{cases}f(x,y)\quad {\rm dla}\quad (x,y)\in D\\ 0;,\qquad\quad {\rm dla}\quad (x,y)\in R\setminus D.\end{cases} $$ Całkę podwójną funkcji $f$ po obszarze $D$ definiujemy wzorem:

$$ \displaystyle\iint\limits_Df(x,y) ; dxdy=\iint\limits_Rf^{\ast}(x,y) ; dxdy $$

o ile całka poprawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja $f$ jest całkowalna na obszarze $D.$

Zbiory normalne

Obszar normalny względem osi $OX$ to zbiór punktów $(x,y)$ spełniających warunek

$$ \begin{cases}a\leq x\leq b\\f(x)\leq y\leq g(x),\end{cases} $$

a obszar normalny względem osi $OY$ to następujący zbiór punktów

$$ \begin{cases}c\leq y\leq d\\ f(y)\leq x\leq g(y),\end{cases} $$ gdzie funkcje $f$ oraz $g$ są ciągłe.

Zadanie 5

Czy poniższe zbiory są normalne względem którejś z osi:

1. Zbiór $D$ to trójkąt o wierzchołkach w punktach $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,4)$.
2. Zbiór $D$ to koło ośrodku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $2$.
3. Zbiór $D$ to zbiór znajdujący się pomiędzy krzywą $y=x^2$ a prostą $y=1$.
4. Zbiór $D$ to zbiór znajdujący się pomiędzy krzywą $x=y^2$ a prostą $x=1$.
5. Zbiór $D$ to kwadrat o wierzchołkach w punktach $(-1,0)$, $(1,0)$, $(0,-1)$, $(0,1)$.

Rozwiązanie:

1. Mamy

$$D=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 4x\}$$

oraz

$$ D=\{(x,y): 0\leq y\leq 4, \frac{y}{4}\leq x\leq 1\}. $$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the range for x
x = np.linspace(0, 1, 100)

# Define the boundary for y
y = 4 * x

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.fill_between(x, 0, y, color="skyblue", alpha=0.5, label=r"$D = \\{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4x\\}$")
plt.plot(x, y, color="blue", label=r"$y = 4x$")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Region D: $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4x$")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Show the plot
plt.show()

2. Mamy $$D=\{(x,y): -2\leq x\leq 2, -\sqrt{4-x^2}\leq y\leq \sqrt{4-x^2}\}$$

oraz

$$ D=\{(x,y): -2\leq y\leq 2, -\sqrt{4-y^2}\leq x\leq \sqrt{4-y^2}\}. $$

3. Mamy $$D=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq 1\}$$ oraz $$D=\{(x,y): 0\leq y\leq 1, -\sqrt{y}\leq x\leq \sqrt{y}\}.$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the range for x
x = np.linspace(-1, 1, 100)

# Define the boundary for y
y_upper = np.ones_like(x)  # y = 1
y_lower = x**2  # y = x^2

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.fill_between(x, y_lower, y_upper, color="skyblue", alpha=0.5, label=r"$D = \\{(x,y): -1 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq 1\\}$")
plt.plot(x, y_upper, color="blue", label=r"$y = 1$")
plt.plot(x, y_lower, color="red", label=r"$y = x^2$")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Region D: $-1 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq 1$")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Show the plot
plt.show()

4. Mamy $$D=\{(x,y): -1\leq y\leq 1, y^2\leq x\leq 1\}$$ oraz $$D=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, -\sqrt{x}\leq y\leq \sqrt{x}\}.$$

5. Mamy $$D=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, |x|-1\leq y\leq 1-|x|\}$$ oraz $$D=\{(x,y): -1\leq y\leq 1, |y|-1\leq x\leq 1-|y|\}.$$

Zadanie 6

Podaj przykład zbioru, który nie jest normalny względem żadnej z osi.

Rozwiązanie:

Przykładem takiego zbioru jest:

$$D=\{(x,y): 1\leq x^2+y^2\leq 4\}.$$

Zauważmy, że dzieląc ten zbiór prostą $y=0$ dostalibyśmy dwa zbiory normalne względem osi OX.