13 KiB
_TEMAT: funkcje wielu zmiennych - pochodna, różniczki i wzór Taylora
Z algebry liniowej wiadomo, że dla każdego odwzorowania liniowego A:Rn→Rm istnieje macierz M wymiaru m×n taka, że dla każdego (x1,x2,…,xn) mamy A(x1,x2,…,xn)=M⋅(x1,x2,…,xn)T. UWAGA: Niech wektory ei tworzą bazę standardową przestrzeni Rn. Wtedy i-ta kolumna macierzy M jest równa wektorowi Aei.
Zadanie 1
Wyznacz macierz poniższych odwzorowań liniowych.
- A(x,y)=(2x+3y,2x−3y,x);
- A(x,y,z)=(x+y,z);
- A(x,y)=2x+y.
Definicja
Niech U będzie otwartym podzbiorem Rn, niech f:U→R i niech (x1,…,xn)∈U. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie (x1,…,xn), jeżeli istnieje przekształcenie liniowe A:Rn→R takie, że:
lim(h1,…,hn)→(0,…,0)f(x1+h1,…,xn+hn)−f(x1,…,xn)−A(h1,…,hn)|(h1,…,hn)|=0,
gdzie
|(h1,…,hn)|=√h21+h22+...+h2n.
Odwzorowanie A (o ile istnieje) oznaczamy symbolem f′(x1,…,xn).
UWAGA: Można pokazać, że jeśli f ma pochodną w punkcie (x1,…,xn), to f′(x1,…,xn)(h1,…,hn)=n∑i=1∂f∂xi(x1,…,xn)⋅hi. UWAGA: o warunkach dostatecznych na różniczkowalność można przeczytać w materiałach do wykładu (lub podręcznikach). Warto zapamiętać, że samo istnienie pochodnych cząstkowych nie implikuje różniczkowalności!!! Ale istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych już daje różniczkowalność!!!
Zadanie 2
Niech f(x,y)=x2+3xy+y. Pokażemy, że funkcja f jest różniczkowalna w dowolnym punkcie i wyznaczymy jej pochodną.
Rozwiązanie:
Z informacji powyżej wynika, że naturalnym kandydatem na pochodną jest odwzorowanie liniowe dane wzorem: f′(x,y)(h1,h2)=(2x+3y)h1+(3x+1)h2. Aby pokazać, że tak jest musimy sprawdzić z definicji czy rzeczywiście jest to pochodna. Mamy
f(x+h1,y+h2)−f(x,y)−f′(x,y)(h1,h2)√h21+h22=(x+h1)2+3(x+h1)(y+h2)+(y+h2)−x2−3xy−y−(2x+3y)h1−(3x+1)h2√h21+h22=h21+h1h2√h21+h22.
Ponieważ |h21+h1h2√h21+h22|≤|h1||h1|√h21+h22+|h1||h2|√h21+h22≤2|h1|, to lim(h1,h2)→(0,0)f(x+h1,y+h2)−f(x,y)−f′(x,y)(h1,h2)√h21+h22=0.
Definicja
Niech U będzie otwartym podzbiorem Rn, niech f:U→Rm i niech (x1,…,xn)∈U. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie (x1,…,xn), jeżeli istnieje przekształcenie liniowe A:Rn→Rm takie, że:
lim(h1,…,hn)→(0,…,0)|f(x1+h1,…,xn+hn)−f(x1,…,xn)−A(h1,…,hn)|Rm|(h1,…,hn)|Rn=0,
gdzie
|(h1,…,hn)|Rn=√h21+h22+...+h2n.
Odwzorowanie A (o ile istnieje) oznaczamy symbolem f′(x1,…,xn).
UWAGA: jeśli f jest takie jak wyżej, to f=(f1,…,fm), gdzie fi:U→R dla 1≤i≤m. Okazuje się, że funkcja f ma pochodną w jakimś punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej składowa ma pochodną w tym punkcie. Ponadto f′=(f′1,…,f′m).
Rozwiązanie:
Niech f1,f2,f3 będą składowymi funkcji f. Mamy f′1(x,y)(h1,h2)=2xh1+h2,f′2(x,y)(h1,h2)=h1+2yh2,f′3(x,y)(h1,h2)=h1+h2. Zatem
f′(x,y)(h1,h2)=(2xh1+h2,h1+2yh2,h1+h2).
Definicja
Niech U będzie otwartym podzbiorem Rn, niech f:U→Rm i niech (x1,…,xn)∈U. Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie (x1,…,xn), to f′(x1,…,xn) jest odwzorowaniem liniowym. Jego macierz nazywamy macierzą Jacobiego funkcji f. W przypadk, gdy n=m macierz ta jest kwadratowa, można zatem policzyć jej wyznacznik - nazywamy go jakobianem.
Macierzą tego odwzorowania jest macierz:
[cosα−rsinα0sinαrcosα0001] Jej wyznacznik jest równy r.
Niech U będzie otwartym podzbiorem R2 i niech f:U→R. Załóżmy, że funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe aż do rzędu m włącznie. Dla dowolnego (x,y)∈U wyrażenie dmf(x,y)(h1,h2)=m∑i=0m!i!(m−i)!∂mf∂xm−i∂yi(x,y)hm−iihi2 nazywamy m-tą różniczką funkcji f w punkcie (x,y).
Rozwiązanie:
Mamy: d1f(x,y)(h1,h2)=∂f∂x(x,y)h1+∂f∂y(x,y)h2 oraz d2f(x,y)(h1,h2)=∂2f∂x2(x,y)h21+2∂2f∂x∂y(x,y)h1h2+∂2f∂y2(x,y)h22.
Twierdzenie Taylora.
Dla dowolnych punktów (x,y) oraz (x+h1,y+h2) zbioru U takich, że odcinek je łączący jest zawarty w U zachodzi równość
f(x+h1,y+h2)=f(x,y)+m−1∑i=1dif(x,y)(h1,h2)i!+ reszta . UWAGA: Dokładna postać reszty podana została na wykładzie.
Przykład
Dla funkcji f(x,y)=xy dostajemy, że d1f(x,y)(h1,h2)=∂f∂x(x,y)h1+∂f∂y(x,y)h2=yxy−1h1+xyln(x)h2 oraz
d2f(x,y)(h1,h2)=∂2f∂x2(x,y)h21+2∂2f∂x∂y(x,y)h1h2+∂2f∂y2(x,y)h22=y(y−1)xy−2h21+2xy−1ln(x)h1h2+xy(ln(x))2h22.
Stąd dla małych h1 i h2 mamy
f(x+h1,y+h2)≈xy+yxy−1h1+xyln(x)h2+y(y−1)xy−2h21+2xy−1(yln(x)+1)h1h2+xy(ln(x))2h222.
Wykorzystujące ten wzór można policzyć, że 0.952.01≈0,902.