RepozytoriumzprojektemPython/stopy/Ćwiczenia_8.ipynb
2024-11-27 08:28:07 +01:00

13 KiB

Ćwiczenia 8

_TEMAT: funkcje wielu zmiennych - pochodna, różniczki i wzór Taylora

Pochodna funkcji wielu zmiennych

Odwzorowania liniowe a macierze

Z algebry liniowej wiadomo, że dla każdego odwzorowania liniowego A:RnRm istnieje macierz M wymiaru m×n taka, że dla każdego (x1,x2,,xn) mamy A(x1,x2,,xn)=M(x1,x2,,xn)T. UWAGA: Niech wektory ei tworzą bazę standardową przestrzeni Rn. Wtedy i-ta kolumna macierzy M jest równa wektorowi Aei.

Zadanie 1

Wyznacz macierz poniższych odwzorowań liniowych.

  1. A(x,y)=(2x+3y,2x3y,x);
  2. A(x,y,z)=(x+y,z);
  3. A(x,y)=2x+y.
Rozwiązanie:
  1. M=[232310]
  2. M=[110001]
  3. M=[21]

Pochodna funkcji o wartościach w R

Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem Rn, niech f:UR i niech (x1,,xn)U. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie (x1,,xn), jeżeli istnieje przekształcenie liniowe A:RnR takie, że:

lim(h1,,hn)(0,,0)f(x1+h1,,xn+hn)f(x1,,xn)A(h1,,hn)|(h1,,hn)|=0,

gdzie

|(h1,,hn)|=h21+h22+...+h2n.

Odwzorowanie A (o ile istnieje) oznaczamy symbolem f(x1,,xn).

UWAGA: Można pokazać, że jeśli f ma pochodną w punkcie (x1,,xn), to f(x1,,xn)(h1,,hn)=ni=1fxi(x1,,xn)hi. UWAGA: o warunkach dostatecznych na różniczkowalność można przeczytać w materiałach do wykładu (lub podręcznikach). Warto zapamiętać, że samo istnienie pochodnych cząstkowych nie implikuje różniczkowalności!!! Ale istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych już daje różniczkowalność!!!

Zadanie 2

Niech f(x,y)=x2+3xy+y. Pokażemy, że funkcja f jest różniczkowalna w dowolnym punkcie i wyznaczymy jej pochodną.

Rozwiązanie:

Z informacji powyżej wynika, że naturalnym kandydatem na pochodną jest odwzorowanie liniowe dane wzorem: f(x,y)(h1,h2)=(2x+3y)h1+(3x+1)h2. Aby pokazać, że tak jest musimy sprawdzić z definicji czy rzeczywiście jest to pochodna. Mamy

f(x+h1,y+h2)f(x,y)f(x,y)(h1,h2)h21+h22=(x+h1)2+3(x+h1)(y+h2)+(y+h2)x23xyy(2x+3y)h1(3x+1)h2h21+h22=h21+h1h2h21+h22.

Ponieważ |h21+h1h2h21+h22||h1||h1|h21+h22+|h1||h2|h21+h222|h1|, to lim(h1,h2)(0,0)f(x+h1,y+h2)f(x,y)f(x,y)(h1,h2)h21+h22=0.

Pochodna funkcji o wartościach w Rm

Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem Rn, niech f:URm i niech (x1,,xn)U. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie (x1,,xn), jeżeli istnieje przekształcenie liniowe A:RnRm takie, że:

lim(h1,,hn)(0,,0)|f(x1+h1,,xn+hn)f(x1,,xn)A(h1,,hn)|Rm|(h1,,hn)|Rn=0,

gdzie

|(h1,,hn)|Rn=h21+h22+...+h2n.

Odwzorowanie A (o ile istnieje) oznaczamy symbolem f(x1,,xn).

UWAGA: jeśli f jest takie jak wyżej, to f=(f1,,fm), gdzie fi:UR dla 1im. Okazuje się, że funkcja f ma pochodną w jakimś punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej składowa ma pochodną w tym punkcie. Ponadto f=(f1,,fm).

Zadanie 3

Wyznaczymy pochodną funkcji f(x,y)=(x2+y,x+y2,x+y).

Rozwiązanie:

Niech f1,f2,f3 będą składowymi funkcji f. Mamy f1(x,y)(h1,h2)=2xh1+h2,f2(x,y)(h1,h2)=h1+2yh2,f3(x,y)(h1,h2)=h1+h2. Zatem

f(x,y)(h1,h2)=(2xh1+h2,h1+2yh2,h1+h2).

Macierz Jacobiego i jakobian

Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem Rn, niech f:URm i niech (x1,,xn)U. Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie (x1,,xn), to f(x1,,xn) jest odwzorowaniem liniowym. Jego macierz nazywamy macierzą Jacobiego funkcji f. W przypadk, gdy n=m macierz ta jest kwadratowa, można zatem policzyć jej wyznacznik - nazywamy go jakobianem.

Zadanie 4

Wyznacz macierz Jacobiego i jakobian dla funkcji

f(r,α,z)=(rcosα,rsinα,z)

Rozwiązanie:

Mamy

f(r,α,z)(h1,h2,h3)=(h1cosαh2rsinα,h1sinα+h2rcosα,h3)

Macierzą tego odwzorowania jest macierz:

[cosαrsinα0sinαrcosα0001] Jej wyznacznik jest równy r.

Wzór Taylora: przypadek funkcji dwóch zmiennych

Niech U będzie otwartym podzbiorem R2 i niech f:UR. Załóżmy, że funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe aż do rzędu m włącznie. Dla dowolnego (x,y)U wyrażenie dmf(x,y)(h1,h2)=mi=0m!i!(mi)!mfxmiyi(x,y)hmiihi2 nazywamy m-tą różniczką funkcji f w punkcie (x,y).

Zadanie 5

Napisz wzór na d1f(x,y)(h1,h2) i d2f(x,y)(h1,h2).

Rozwiązanie:

Mamy: d1f(x,y)(h1,h2)=fx(x,y)h1+fy(x,y)h2 oraz d2f(x,y)(h1,h2)=2fx2(x,y)h21+22fxy(x,y)h1h2+2fy2(x,y)h22.

Twierdzenie Taylora.

Dla dowolnych punktów (x,y) oraz (x+h1,y+h2) zbioru U takich, że odcinek je łączący jest zawarty w U zachodzi równość

f(x+h1,y+h2)=f(x,y)+m1i=1dif(x,y)(h1,h2)i!+ reszta . UWAGA: Dokładna postać reszty podana została na wykładzie.

Przykład

Dla funkcji f(x,y)=xy dostajemy, że d1f(x,y)(h1,h2)=fx(x,y)h1+fy(x,y)h2=yxy1h1+xyln(x)h2 oraz

d2f(x,y)(h1,h2)=2fx2(x,y)h21+22fxy(x,y)h1h2+2fy2(x,y)h22=y(y1)xy2h21+2xy1ln(x)h1h2+xy(ln(x))2h22.

Stąd dla małych h1 i h2 mamy

f(x+h1,y+h2)xy+yxy1h1+xyln(x)h2+y(y1)xy2h21+2xy1(yln(x)+1)h1h2+xy(ln(x))2h222.

Wykorzystujące ten wzór można policzyć, że 0.952.010,902.