RepozytoriumzprojektemPython/stopy/Ćwiczenia_8.ipynb

Ćwiczenia 8

_TEMAT: funkcje wielu zmiennych - pochodna, różniczki i wzór Taylora

Pochodna funkcji wielu zmiennych

Odwzorowania liniowe a macierze

Z algebry liniowej wiadomo, że dla każdego odwzorowania liniowego $$ A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m $$ istnieje macierz $M$ wymiaru $m\times n$ taka, że dla każdego $(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ mamy $$ A(x_1,x_2,\ldots, x_n)=M\cdot (x_1,x_2,\ldots, x_n)^T. $$ UWAGA: Niech wektory $e_i$ tworzą bazę standardową przestrzeni $\mathbb{R}^n$. Wtedy $i$-ta kolumna macierzy M jest równa wektorowi $Ae_i$.

Zadanie 1

Wyznacz macierz poniższych odwzorowań liniowych.

1. $A(x,y)=(2x+3y,2x-3y,x)$;
2. $A(x,y,z)=(x+y,z)$;
3. $A(x,y)=2x+y$.

Rozwiązanie:

1. $M=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $
2. $M=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $
3. $M=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \end{bmatrix} $

Pochodna funkcji o wartościach w $\mathbb{R}$

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$, niech $f:U\to\mathbb{R}$ i niech $(x_1,\ldots,x_n)\in U$. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie $(x_1,\ldots,x_n)$, jeżeli istnieje przekształcenie liniowe $A:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ takie, że:

$$ \lim\limits_{(h_1,\ldots, h_n)\to (0,\ldots,0)} \frac{f(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n) - f(x_1,\ldots, x_n) - A(h_1,\ldots, h_n)}{|(h_1,\ldots, h_n)|}=0, $$

gdzie

$$ |(h_1,\ldots, h_n)|=\sqrt{h_1^2+h_2^2+...+h_n^2}. $$

Odwzorowanie $A$ (o ile istnieje) oznaczamy symbolem $f'(x_1,\ldots,x_n)$.

UWAGA: Można pokazać, że jeśli $f$ ma pochodną w punkcie $(x_1,\ldots,x_n)$, to $$ f'(x_1,\ldots,x_n)(h_1,\ldots, h_n)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\ldots,x_n)\cdot h_i. $$ UWAGA: o warunkach dostatecznych na różniczkowalność można przeczytać w materiałach do wykładu (lub podręcznikach). Warto zapamiętać, że samo istnienie pochodnych cząstkowych nie implikuje różniczkowalności!!! Ale istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych już daje różniczkowalność!!!

Zadanie 2

Niech $$f(x,y)=x^2+3xy+y.$$ Pokażemy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna w dowolnym punkcie i wyznaczymy jej pochodną.

Rozwiązanie:

Z informacji powyżej wynika, że naturalnym kandydatem na pochodną jest odwzorowanie liniowe dane wzorem: $$ f'(x,y)(h_1,h_2)=(2x+3y)h_1+(3x+1)h_2. $$ Aby pokazać, że tak jest musimy sprawdzić z definicji czy rzeczywiście jest to pochodna. Mamy

$$ \frac{f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-f'(x,y)(h_1,h_2)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=\frac{(x+h_1)^2 +3(x+h_1)(y+h_2) +(y+h_2)-x^2-3xy-y-(2x+3y)h_1-(3x+1)h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=\frac{h_1^2+h_1h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}. $$

Ponieważ $$ \left|\frac{h_1^2+h_1h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}\right|\leq |h_1|\frac{|h_1|}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}+|h_1|\frac{|h_2|}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}\leq 2|h_1|, $$ to $$ \lim_{(h_1,h_2)\to (0,0)}\frac{f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-f'(x,y)(h_1,h_2)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0. $$

Pochodna funkcji o wartościach w $\mathbb{R}^m$

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$, niech $f:U\to\mathbb{R}^m$ i niech $(x_1,\ldots,x_n)\in U$. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie $(x_1,\ldots,x_n)$, jeżeli istnieje przekształcenie liniowe $A:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^m$ takie, że:

$$ \lim\limits_{(h_1,\ldots, h_n)\to (0,\ldots,0)} \frac{|f(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n) - f(x_1,\ldots, x_n) - A(h_1,\ldots, h_n)|_{\mathbb{R}^m}}{|(h_1,\ldots, h_n)|{\mathbb{R}^n}}=0, $$

gdzie

$$ |(h_1,\ldots, h_n)|_{\mathbb{R}^n}=\sqrt{h_1^2+h_2^2+...+h_n^2}. $$

Odwzorowanie $A$ (o ile istnieje) oznaczamy symbolem $f'(x_1,\ldots,x_n)$.

UWAGA: jeśli $f$ jest takie jak wyżej, to $f=(f_1,\ldots,f_m)$, gdzie $f_i:U\to\mathbb{R}$ dla $1\leq i \leq m$. Okazuje się, że funkcja $f$ ma pochodną w jakimś punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej składowa ma pochodną w tym punkcie. Ponadto $$f'=(f'_1,\ldots,f'_m).$$

Zadanie 3

Wyznaczymy pochodną funkcji $f(x,y)=(x^2+y,x+y^2, x+y).$

Rozwiązanie:

Niech $f_1,f_2,f_3$ będą składowymi funkcji $f$. Mamy $$ f'_1(x,y)(h_1,h_2)=2xh_1 +h_2, \quad f'_2(x,y)(h_1,h_2)=h_1+2yh_2, \quad f'_3(x,y)(h_1,h_2)=h_1+h_2. $$ Zatem

$$ f'(x,y)(h_1,h_2)=(2xh_1 +h_2,h_1+2yh_2,h_1+h_2). $$

Macierz Jacobiego i jakobian

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$, niech $f:U\to\mathbb{R}^m$ i niech $(x_1,\ldots,x_n)\in U$. Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $(x_1,\ldots,x_n)$, to $f'(x_1,\ldots,x_n)$ jest odwzorowaniem liniowym. Jego macierz nazywamy macierzą Jacobiego funkcji $f$. W przypadk, gdy $n=m$ macierz ta jest kwadratowa, można zatem policzyć jej wyznacznik - nazywamy go jakobianem.

Zadanie 4

Wyznacz macierz Jacobiego i jakobian dla funkcji

$$f(r,\alpha,z)=(r\cos\alpha,r\sin \alpha,z)$$

Rozwiązanie:

Mamy

$$ f'(r,\alpha,z)(h_1,h_2,h_3)=(h_1\cos\alpha -h_2 r\sin\alpha, h_1\sin\alpha+h_2r\cos\alpha, h_3) $$

Macierzą tego odwzorowania jest macierz:

$$ \begin{bmatrix} \cos\alpha &-r\sin\alpha & 0\\ \sin\alpha & r\cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ Jej wyznacznik jest równy $$r.$$

Wzór Taylora: przypadek funkcji dwóch zmiennych

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^2$ i niech $f:U\to\mathbb{R}$. Załóżmy, że funkcja $f$ ma wszystkie pochodne cząstkowe aż do rzędu $m$ włącznie. Dla dowolnego $(x,y)\in U$ wyrażenie $$ d^mf(x,y)(h_1,h_2)=\sum_{i=0}^m\frac{m!}{i!(m-i)!}\frac{\partial^m f}{\partial x^{m-i}\partial y^{i}}(x,y)h_i^{m-i}h_2^{i} $$ nazywamy $m$-tą różniczką funkcji $f$ w punkcie $(x,y)$.

Zadanie 5

Napisz wzór na $d^1f(x,y)(h_1,h_2)$ i $d^2f(x,y)(h_1,h_2)$.

Rozwiązanie:

Mamy: $$ d^1f(x,y)(h_1,h_2)=\frac{\partial f}{\partial{x}} (x,y)h_1+\frac{\partial f}{\partial{y}} (x,y)h_2 $$ oraz $$ d^2f(x,y)(h_1,h_2)=\frac{\partial^2 f}{\partial{x^2}} (x,y)h_1^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial{x}\partial y} (x,y)h_1h_2+\frac{\partial^2 f}{\partial{y^2}} (x,y)h_2^2. $$

Twierdzenie Taylora.

Dla dowolnych punktów $(x,y)$ oraz $(x+h_1,y+h_2)$ zbioru $ U $ takich, że odcinek je łączący jest zawarty w $U$ zachodzi równość

$$ f(x+h_1,y+h_2) = f(x,y)+\sum_{i=1}^{m-1}\frac{d^if(x,y)(h_1,h_2)}{i!}+\text{ reszta }. $$ UWAGA: Dokładna postać reszty podana została na wykładzie.

Przykład

Dla funkcji $f(x,y)=x^y$ dostajemy, że $$ d^1f(x, y)(h_1, h_2) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) h_2 = y x^{y-1} h_1 + x^y \ln(x) h_2 $$ oraz

$$ d^2f(x, y)(h_1, h_2) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) h_1^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) h_1 h_2 + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) h_2^2 = y(y-1)x^{y-2}h_1^2 + 2x^{y-1}\ln(x)h_1h_2 + x^y (\ln(x))^2 h_2^2. $$

Stąd dla małych $h_1$ i $h_2$ mamy

$$ f(x+h_1,y+h_2)\approx x^y+y x^{y-1} h_1 + x^y \ln(x) h_2+ \frac{y(y-1)x^{y-2}h_1^2 + 2x^{y-1}(y\ln(x)+1)h_1h_2 + x^y (\ln(x))^2 h_2^2}{2}. $$

Wykorzystujące ten wzór można policzyć, że $0.95^{2.01}\approx 0,902$.