RepozytoriumzprojektemPython/stopy/Ćwiczenia_1.ipynb

Ćwiczenia 1

_TEMAT: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych

Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych

Definicja (zbieżność punktowa ciągu funkcyjnego)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze $E$. Jeżeli dla każdego $x\in E$ ciąg liczbowy $(f_n(x))

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$$

definiuje funkcję na $E$. Funkcję $f$ nazywamy granicą punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Mówimy też, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji $f$.

Zadanie 1

Niech $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ będą określone wzorem $f_n(x)=x^3+\frac{x^2}{n}$. Wyznacz granicę punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Rozwiązanie:

Niech $x\in \mathbb{R}$ będzie ustalony. Wtedy

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty} x^3+\frac{x^2}{n}=x^3.$$

Zatem granicą punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest funkcja $f(x)=x^3$.

Zadanie 2

Niech $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ będą określone wzorem $f_n(x)=x^n$. Wyznacz granicę punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Rozwiązanie:

Dla każdego ustalonego $x\in [0,1)$ mamy

$$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=0.$$

Ponadto

$$\lim_{n\to\infty} f_n(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1.$$

Zatem granicą punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest funkcja $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ określona wzorem

$$f(x)=\begin{cases}0, & x\in [0,1)\\ 1, & x=1 \end{cases}.$$

Uwaga: przykład ten pokazuje, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą.

Zadanie 3

Niech $f_n:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ będą określone wzorem $f_n(x)=n-|n^2x-n|$, gdy $x\in [0,2/n]$ i $f_n(x)=0$ dla $x\in (2/n,\infty)$. Wyznacz granicę punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the piecewise function f_n(x) for a given n
def f_n(x, n):
    f = np.piecewise(x, 
                     [x <= 2/n, x > 2/n], 
                     [lambda x: n - np.abs((n**2)*x - n), 0])
    return f

# Generate x values
x_values = np.linspace(0, 2, 500)

# Values of n to plot
n_values = [1, 2, 3, 5, 10]

# Plot the functions for various n
plt.figure(figsize=(10, 6))

for n in n_values:
    y_values = f_n(x_values, n)
    plt.plot(x_values, y_values, label=f'n={n}')

plt.title(r'Graph of $f_n(x) = n - |n^2x - n|$ for $x \in [0, \frac{2}{n}]$ and $f_n(x) = 0$ for $x \in (\frac{2}{n}, \infty)$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f_n(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Rozwiązanie:

Dla $x=0$ mamy

$$\lim_{n\to\infty} f_n(0)=\lim_{n\to\infty}0=0.$$

Jeśli $x>0$, to dla odpowiednio dużych $n$ mamy $x>\frac{2}{n}$. Zatem dla odpowiednio dużych $n$ mamy $f_n(x)=0$.

Stąd

$$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}0=0.$$

Zatem granicą punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest funkcja $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ określona wzorem $f(x)=0$.

Uwaga: Proste rozważania geometryczne pokazują, że dla każdego $n\in\mathbb{N}$

$$\int_0^2f_n(x)dx=1.$$

Ponadto

$$\int_0^2f(x)dx=\int_0^20dx=0.$$

Zatem

$$\int_0^2\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=0\not=1=\lim_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)dx.$$

Definicja (zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze $E$. Mówimy, że ciąg ten jest zbieżny jednostajnie na zbiorze $E$ do funkcji $f:E\to\mathbb{R}$, gdy

$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|=0.$$

Uwaga: jest jasne, że jeśli ciąg jest zbieżny jednostajnie na $E$ do funkcji $f$, to jest do niej zbieżny punktowo.

Zadanie 4

Niech $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ będą określone wzorem $f_n(x)=x^3+\frac{x^2}{n}$. Zbadaj zbieżność jednostajną tego ciągu.

Rozwiązanie:

Wiemy z zadania $1$, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ określonej wzorem $f(x)=x^3$.

Czy jest on zbieżny jednostajnie na $\mathbb{R}$ do $f$? Mamy

$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in \mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in \mathbb{R}} \left|\frac{x^2}{n}\right|=\infty.$$

Zatem ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nie jest zbieżny jednostajnie na $\mathbb{R}$ do $f$.

Niech teraz $a<b$ będą dowolne. Mamy

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [a,b]} \left|\frac{x^2}{n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\max(a^2, b^2)}{n} = 0.$$

Zatem ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny jednostajnie na $[a,b]$ do $f$.

Zadanie 5

Niech $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ będą określone wzorem $f_n(x)=x^n$. Zbadaj zbieżność jednostajną tego ciągu na $[0,1]$.

Rozwiązanie:

Wiemy z zadania $2$, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ określonej wzorem

$$f(x)=\begin{cases}0, & x\in [0,1)\\ 1, & x=1 \end{cases}.$$

Mamy

$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1.$$ Zatem ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nie jest zbieżny jednostajnie na $[0,1]$ do $f$.

Zadanie 6

Niech $f_n:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ będą określone wzorem $f_n(x)=n-|n^2x-n|$, gdy $x\in [0,2/n]$ i $f_n(x)=0$ dla $x\in (2/n,\infty)$. Zbadaj zbieżność jednostajną tego ciągu na $[0,\infty)$.

Rozwiązanie:

Wiemy z zadania $5$, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ określonej wzorem $f(x)=0$.

Mamy

$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in [0,\infty)}|f_n(x)-f(x)|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in [0,\infty)}|f_n(x|=\lim_{n\to\infty }n=\infty.$$

Zatem ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nie jest zbieżny jednostajnie na $[0,1]$ do $f$.

Zbieżność i zbieżność jednostajna szeregów funkcyjnych

Definicja (zbieżność szeregu funkcyjnego)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze $E$. Jeżeli dla każdego $x\in E$ szereg liczbowy

$$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$$

jest zbieżny, to wzór

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$$

definiuje funkcję na $E$. Funcję $f$ nazywamy sumą szeregu funkcyjnego $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n$.

Zadanie 7

Wyznaczymy zbiór tych $x\in\mathbb{R}$ dla których zbieżny jest szereg

$$\sum_{n=1}^\infty \ln^n x.$$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że dla każdego $x\in\mathbb{R_{+}}=(0,\infty)$ nasz szereg jest szeregiem geometrycznym o ilorazie $\ln x$. Musi być zatem:

$$|\ln x|<1.$$

Jest tak dokładnie wtedy, gdy $x\in(e^{-1},e)$. Zatem nasz szereg funkcyjny jest zbieżny tylko dla $x\in(e^{-1},e)$.

Zadanie 8

Niech $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ będą określone wozrem $f_n(x)=\frac{x}{(1+x^2)^n}$. Pokażemy, ze szereg

$$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$$

jest zbieżny dla każdego $x\in\mathbb{R}$ i obliczymy jego sumę $f$.

Rozwiązanie:

Mamy

$$f(0)=\sum_{n=1}^\infty f_n(0)=\sum_{n=1}^\infty 0=0.$$

Dla $x\not=0$, ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego dostajemy, że

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n}=x\cdot\frac{\frac{1}{1+x^2}}{1-\frac{1}{1+x^2}}=\frac{1}{x}.$$

Zatem nasz szereg jest zbieżny dla każdego $x\in\mathbb{R}$ i jego sumą jest funkcja

$$f(x)=\begin{cases}0,& x=0\\ \frac{1}{x}, & x\not=0\end{cases}.$$

Uwaga: przykład ten pokazuje, że suma szeregu funkcji ciagłych nie musi być funkcją ciągłą.

Zadanie 9

Wyznaczymy zbiór tych $x\in\mathbb{R}$ dla których zbieżny jest szereg

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+x^{2n}}.$$

Rozwiązanie:

Dla $|x|<1$ mamy

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+x^{2n}}=1,$$

zatem nasz szereg nie spełnia wtedy warunku koniecznego zbieżności szeregów. Podobnie jest dla $|x|=1$.

Jeśli teraz $|x|>1$, to

$$\frac{1}{1+x^{2n}}\leq \frac{1}{(x^2)^n}.$$

Zatem nasz szereg jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego.

Ostatecznie nasz szereg jest zbieżny tylko dla $|x|>1$.

Definicja (zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze $E$. Jeżeli ciąg sum częściowych

$$s_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)$$

jest zbieżny jednostajnie zbieżny na $E$ do pewnej funkcji, to mówimy, że szereg

$$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$$

jest zbieżny jednostajnie na $E$.

Twierdzenie (kryterium Weierstassa)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze $E$ i niech $(a_n){n\in\mathbb{N}}$ będzie ciagiem takim, że dla każdego $n\in\mathbb{N}$ i każdego $x\in E$ mamy

$$|f_n(x)|\leq a_n.$$

Jeżeli szereg $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, to szereg $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie na $E$.

Zadanie 10

Pokażemy, że szereg

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{n^2}$$

jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale $[-a,a]$, gdzie $a>0$.

Rozwiązanie:

Dla $n\in\mathbb{N}$ i $x\in[-a,a]$ mamy

$$\left|\frac{x^2}{n^2}\right|\leq \frac{a^2}{n^2}.$$

Ponieważ szereg

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a^2}{n^2}$$ jest zbieżny, to teza z zadania wynika z kryterium Weirstarssa.

Zbieżność punktowa i jednostajna a operacje analizy

Twierdzenie (zbieżność jednostajna a ciągłość)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji _ciągłych określonych na zbiorze $E$.

1. Jeżeli $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny jednostajnie na $E$ do funkcji $f$, to funkcja $f$ jest ciągła na $E$.
2. Jeżeli $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie na $E$, to funkcja $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ jest ciągła na $E$.

Zadanie 11

Pokażemy, że funkcja $f$ określona wzorem

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

jest ciągła na $\mathbb{R}$.

Rozwiązanie:

Niech $a>0$. Dla każdego $n\geq 0$ i $x\in[-a,a]$ mamy

$$\left| \frac{x^n}{n!} \right| \leq \frac{a^n}{n!}.$$

Z kryterium ilorazowego wynika, że szereg

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}$$ jest zbieżny. Stąd dostajemy, że szereg $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ jest zbieżny jednostajnie na $(-a,a)$. Zatem funkcja $f$ jest ciągła na $(-a,a)$. Ponieważ $a$ było dowolne, to $f$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.

Twierdzenie (zbieżność jednostajna a całka)

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji _ciągłych określonych na zbiorze $E$.

1. Jeżeli $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny jednostajnie na $E$ do funkcji $f$, to $$\int_E f(x)dx=\lim

2. Jeżeli $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie na $E$, to $$\int_E\sum_{n=1}^\infty f_n(x)dx=\sum_{n=1}^\infty \int_Ef_n(x)dx.$$

Zadanie 12

Obliczymy

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1e^{x^2/n}dx.$$

Rozwiązanie:

Niech $f_n(x)=e^{x^2/n}$. Dla każdego $x\in [0,1]$ mamy

$$\lim_{n\to\infty}e^{x^2/n}=1.$$

Zatem granicą punktową ciągu $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest funkcja $f(x)=1$. Ponieważ

$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in [0,1]}|e^{x^2/n}-1|=\lim_{n\to\infty}(e^{1/n}-1)=0,$$ to zbieżność jest jednostajna. Stąd

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1e^{x^2/n}dx= \int_0^1\lim_{n\to\infty} e^{x^2/n}dx=\int_{0}^11dx=1.$$

Zadanie 13

Oblicz

$$\int_{\ln 2}^{\ln 3}\sum_{n=1}^\infty ne^{-nx}dx.$$

Rozwiązanie:

Dla $x\in[\ln 2,\ln 3]$ mamy

$$|ne^{-nx}|\leq ne^{-n\ln 2}=\frac{n}{2^n}.$$

Ponieważ szereg $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$ jest zbieżny (kryterium ilorazowe), to szereg $\sum_{n=1}^\infty ne^{-nx}$ jest zbieżny jednostajnie na $[\ln 2,\ln 3]$. Zatem

$$\int_{ln 2}^{\ln 3}\sum_{n=1}^\infty ne^{-nx}dx=\sum_{n=1}^\infty \int_{ln 2}^{\ln 3}ne^{-nx}dx.$$

Mamy

$$\int_{\ln 2}^{\ln 3}ne^{-nx}dx=-e^{-nx}|_{\ln 2}^{\ln 3}=2^{-n}-3^{-n}.$$

Ostatecznie

$$\int_{\ln 2}^{\ln 3}\sum_{n=1}^\infty ne^{-nx}dx=\sum_{n=1}^\infty \left(2^{-n}-3^{-n}\right)=\frac{1}{2}.$$