RepozytoriumzprojektemPython/stopy/Ćwiczenia_10uaktualniony.ipynb

Ćwiczenia 10

_TEMAT: całki podwójne

Całka podwójna po prostokącie

Definicja: sumy dolne, sumy górne, całka

Przykład:

Korzystając z definicji obliczymy

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]}xydxdy.$$

UWAGA: Sumy dolne, sumy górne, całkę dolną, całkę górną i całkę po prostokącie definiuje się w identyczny sposób jak odpowiedniki tych pojęć dla przedziału.

1. Dzielimy prostokąt $[0,1]\times [0,1]$ na $n^2$ mniejszych prostokątów o równych polach w następujący sposób (rysunek dla $n=5$), podział ten nazywamy podziałem $P_n$.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Define the square grid [0,1] x [0,1] divided into 25 equal squares
n = 5  # 5x5 grid
x = np.linspace(0, 1, n+1)
y = np.linspace(0, 1, n+1)

# Plot the grid
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
for i in x:
    ax.plot([i, i], [0, 1], color="black", linewidth=0.8)  # Vertical lines
for j in y:
    ax.plot([0, 1], [j, j], color="black", linewidth=0.8)  # Horizontal lines

# Set aspect ratio and limits
ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
ax.set_xlim(0, 1)
ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_title("Square [0,1] x [0,1] Divided into 25 Smaller Squares")
ax.set_xlabel("x-axis")
ax.set_ylabel("y-axis")
plt.grid(False)  # Disable the background grid

plt.show()

2. Dla $1\leq i\leq n$ oraz $1\leq j\leq n$ niech

$$P_{i,j}=\left[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]\times\left[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right].$$

3. Dla $1\leq i\leq n$ oraz $1\leq j\leq n$ mamy

$$\inf_{(x,y)\in P_{i,j}} f(x,y)=\inf_{(x,y)\in P_{i,j}} xy=\frac{(i-1)(j-1)}{n^2}$$

oraz

$$\sup_{(x,y)\in P_{i,j}} f(x,y)=\sup_{(x,y)\in P_{i,j}} xy=\frac{ij}{n^2}$$

4. Mamy (korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego)

$$L(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2}\cdot \inf_{(x,y)\in P_{i,j}}f(x,y)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{(i-1)(j-1)}{n^4}=\frac{(n-1)^2}{4n^2}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{4}$$

oraz

$$U(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2}\cdot \sup_{(x,y)\in P_{i,j}}f(x,y)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \frac{ij}{n^4}=\frac{(n+1)^2}{4n^2}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{4}.$$

5. Rachunki powyżej implikują, że

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]}xydxdy=\frac{1}{4}.$$

Twierdzenie Fubiniego dla prostokąta.

Twierdzenie.
Jeśli $f(x,y)$ jest funkcją ciągłą na prostokącie $R=[a,b] \times [c,d]$, to całkę podwójną można obliczyć poprzez całki iterowane:

$${\color{red}{ \iint_R f(x,y) , dxdy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) , dy , dx =\int_c^d \int_a^b f(x,y) , dx , dy. }}$$

Zadanie 1

Obliczymy

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]} xydxdy.$$

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Fubiniego wynika, że

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]} xydxdy=\int_0^1\int_0^1xydydx= \int_0^1\frac{xy^2}{2}\biggr|_{y=0}^{y=1}dx= \int_0^1 \frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}\biggr|

Zadanie 2

Obliczymy

$$\iint_{[1,4]\times [2,3]} (2x+4y)dxdy.$$

Rozwiązanie:

I sposób $$ \iint_{[1,4]\times [2,3]} (2x+4y)dxdy=\int_1^4\int_2^3(2x+4y)dydx= \int_1^4 2xy+2y^2\biggr|_{y=2}^{y=3}dx=\int_1^42x+10dx= x^2+10x\biggr|

II sposób $$ \iint_{[1,4]\times [2,3]} (2x+4y)dxdy=\int_2^3\int_1^4(2x+4y)dxdy= \int_2^3 x^2+4yx\biggr|_{x=1}^{x=4}dy=\int_2^3 15+12y dy= 15y +6y^2\biggr|

UWAGA!!!

Czasami wybór kolejności całkowania ma istotne znaczenie!

Zadanie 3

Obliczymy

$$\iint_{[-1,1]\times [0,2]} xe^{y^2}dxdy.$$

Rozwiązanie:

Gdybyśmy najpierw chcieli całkować "po y", to musielibyśmy zmierzyć się z całką $\int e^{y^2}dy\ldots$. Dlatego robimy tak:

$$\iint_{[-1,1]\times [0,2]} xe^{y^2}dxdy=\int_0^2\int_{-1}^1 xe^{y^2}dxdy= \int_0^2\frac{x^2e^{y^2}}{2}\biggr|_{x=-1}^{x=1}dy =0.$$

Zadanie domowe (z wykładu):

1. Obliczyć $\int_1^4 \int_0^2 \left(6x^2 y - 2x\right) , dy , dx$.
2. Obliczyć $\int_1^3 \int_1^5 \dfrac{\ln y}{xy} , dy , dx$.
3. Obliczyć $\int_0^1 \int_1^2 \left( x + e^{-y} \right) , dx , dy$.

Zastosowanie

Objętość

Niech $f$ oraz $g$ będą funkcjami ciągłymi na prostokącie $[a,b]\times [c,d]$ takimi , że

$$f(x,y)\leq g(x,y) \quad\text{dla}\quad (x,y)\in [a,b]\times [c,d].$$

Objętość bryły

$$E=\{(x,y,z): (x,y)\in [a,b]\times [c,d], f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}$$

wyraża się wzorem

$$\iint_{[a,b]\times [c,d]}(g(x,y)-(f(x,y))dxdy.$$

Zadanie 4

Obliczymy objętość prostopadłościanu $[0,1]\times [0,1]$ "ściętego z góry" płaszczyzną $x+y+z=3$ a z dołu płaszczyzną $z=0$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Define the range for x and y
x = np.linspace(0, 1, 30)
y = np.linspace(0, 1, 30)
x, y = np.meshgrid(x, y)

# Define the bounds for z
z_upper = 3 - x - y
z_lower = np.zeros_like(z_upper)

# Create a 3D plot
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Plot the surfaces
ax.plot_surface(x, y, z_upper, alpha=0.7, color='blue', edgecolor='k', label="z = 3 - x - y")
ax.plot_surface(x, y, z_lower, alpha=0.3, color='cyan', edgecolor='k', label="z = 0")

# Set labels and limits
ax.set_xlabel('X-axis')
ax.set_ylabel('Y-axis')
ax.set_zlabel('Z-axis')
ax.set_xlim(0, 1)
ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_zlim(0, 3)

# Title
ax.set_title('Visualization of the set: x ∈ [0,1], y ∈ [0,1], 0 ≤ z ≤ 3-x-y')

plt.show()

Rozwiązanie:

Musimy obliczyć

$$\iint_{[0,1]\times [0,1]}(3-x-y)dxdy.$$

Mamy

$$ \iint_{[0,1]\times [0,1]}(3-x-y)dxdy=\int_0^1\int_0^1(3-x-y)dydx= \int_0^1 3y-xy-\frac{y^2}{2}\biggr|_{y=0}^{y=1}dx= \int_0^1 \frac{5}{2}-xdx=\frac{5}{2}x-\frac{x^2}{2}\biggr|

Całka podwójna po obszarze

Przypomnienie z wykładu

Niech $f$ będzie funkcją określoną i ograniczoną na obszarze ograniczonym $D\subset\mathbb{R}^2$ oraz niech $R$ będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar $D.$ Ponadto niech funkcja $f^{\ast}$ będzie rozszerzeniem funkcji $f$ z $D$ na $R$ określonym wzorem:

$$f^{\ast}(x,y)=\begin{cases}f(x,y)\quad {\rm dla}\quad (x,y)\in D\\ 0;,\qquad\quad {\rm dla}\quad (x,y)\in R\setminus D.\end{cases}$$ Całkę podwójną funkcji $f$ po obszarze $D$ definiujemy wzorem:

$$\displaystyle\iint\limits_Df(x,y) ; dxdy=\iint\limits_Rf^{\ast}(x,y) ; dxdy$$

o ile całka poprawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja $f$ jest całkowalna na obszarze $D.$

Zbiory normalne

Obszar normalny względem osi $OX$ to zbiór punktów $(x,y)$ spełniających warunek

$$\begin{cases}a\leq x\leq b\\f(x)\leq y\leq g(x),\end{cases}$$

a obszar normalny względem osi $OY$ to następujący zbiór punktów

$$\begin{cases}c\leq y\leq d\\ f(y)\leq x\leq g(y),\end{cases}$$ gdzie funkcje $f$ oraz $g$ są ciągłe.

Zadanie 5

Czy poniższe zbiory są normalne względem którejś z osi:

1. Zbiór $D$ to trójkąt o wierzchołkach w punktach $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,4)$.
2. Zbiór $D$ to koło o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $2$.
3. Zbiór $D$ to zbiór znajdujący się pomiędzy krzywą $y=x^2$ a prostą $y=1$.
4. Zbiór $D$ to zbiór znajdujący się pomiędzy krzywą $x=y^2$ a prostą $x=1$.
5. Zbiór $D$ to kwadrat o wierzchołkach w punktach $(-1,0)$, $(1,0)$, $(0,-1)$, $(0,1)$.

Rozwiązanie:

1. Mamy

$$D=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 4x\}$$

oraz

$$D=\{(x,y): 0\leq y\leq 4, \frac{y}{4}\leq x\leq 1\}.$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the range for x
x = np.linspace(0, 1, 100)

# Define the boundary for y
y = 4 * x

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.fill_between(x, 0, y, color="skyblue", alpha=0.5, label=r"$D = \\{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4x\\}$")
plt.plot(x, y, color="blue", label=r"$y = 4x$")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Region D: $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4x$")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Show the plot
plt.show()

2. Mamy $$D=\{(x,y): -2\leq x\leq 2, -\sqrt{4-x^2}\leq y\leq \sqrt{4-x^2}\}$$

oraz

$$D=\{(x,y): -2\leq y\leq 2, -\sqrt{4-y^2}\leq x\leq \sqrt{4-y^2}\}.$$

3. Mamy $$D=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq 1\}$$ oraz $$D=\{(x,y): 0\leq y\leq 1, -\sqrt{y}\leq x\leq \sqrt{y}\}.$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the range for x
x = np.linspace(-1, 1, 100)

# Define the boundary for y
y_upper = np.ones_like(x)  # y = 1
y_lower = x**2  # y = x^2

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.fill_between(x, y_lower, y_upper, color="skyblue", alpha=0.5, label=r"$D = \\{(x,y): -1 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq 1\\}$")
plt.plot(x, y_upper, color="blue", label=r"$y = 1$")
plt.plot(x, y_lower, color="red", label=r"$y = x^2$")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Region D: $-1 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq 1$")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Show the plot
plt.show()

4. Mamy $$D=\{(x,y): -1\leq y\leq 1, y^2\leq x\leq 1\}$$ oraz $$D=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, -\sqrt{x}\leq y\leq \sqrt{x}\}.$$

5. Mamy $$D=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, |x|-1\leq y\leq 1-|x|\}$$ oraz $$D=\{(x,y): -1\leq y\leq 1, |y|-1\leq x\leq 1-|y|\}.$$

Zadanie 6

Podaj przykład zbioru, który nie jest normalny względem żadnej z osi.

Rozwiązanie:

Przykładem takiego zbioru jest:

$$D=\{(x,y): 1\leq x^2+y^2\leq 4\}.$$

Zauważmy, że dzieląc ten zbiór prostą $y=0$ dostalibyśmy dwa zbiory normalne względem osi OX.

Całka podwójna po zbiorze normalnym

Twierdzenie

_1. Całka po zbiorze normalnym względem osi OX

Niech $$D=\{(x,y):a\leq x\leq b, f(x)\leq y\leq g(x)\},$$ gdzie funkcje $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ są ciągłe. Dla dowolnej funkcji ciągłej $h:D\to\mathbb{R}$ mamy

$$\iint_D h(x,y)dxdy=\int_a^b\int_{f(x)}^{g(x)}h(x,y)dydx.$$ _2. Całka po zbiorze normalnym względem osi OY

Niech $$D=\{(x,y):c\leq y\leq d, f(y)\leq x\leq g(y)\},$$ gdzie funkcje $f,g:[c,d]\to\mathbb{R}$ są ciągłe. Dla dowolnej funkcji ciągłej $h:D\to\mathbb{R}$ mamy

$$\iint_D h(x,y)dxdy=\int_c^d\int_{f(y)}^{g(y)}h(x,y)dxdy.$$

Zadanie 7

Obliczymy

$$\iint_Dydxdy,$$

gdzie $D$ jest trójkątem o wierzchołkach $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$.

Rozwiązanie:

1. Zbiór $D$ można opisać następująco:

$$D=\{(x,y): 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 2x\}.$$

Zatem

$$ \iint_Dydxdy=\int_0^2\int_0^{2x}ydydx=\int_0^2\frac{y^2}{2}\biggr|_{y=0}^{y=2x}dx= \int_0^22x^2dx=\frac{2}{3}x^3\biggr|

2. Zbiór $D$ można opisać następująco:

$$D=\{(x,y): 0\leq y\leq 4, \frac{y}{2}\leq x\leq 2\}.$$

Zatem

$$ \iint_Dydxdy=\int_0^4\int_{y/2}^2ydxdy=\int_0^4yx\biggr|_{x=y/2}^{x=2}dy= \int_0^42y-\frac{y^2}{2}dy=y^2-\frac{1}{6}y^3\biggr|

Zadanie 8

Pole koła po raz pierwszy :)

Obliczymy

$$\iint_D1dxdy,$$

gdzie $D$ jest kołem o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $1$.

Rozwiązanie:

Wiemy już, że $$D=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, -\sqrt{1-x^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\}.$$ Zatem

$$\iint_D1dxdy=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dydx=2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx.$$

Ponieważ (liczyliśmy to na analizie 1)

$$\int\sqrt{1-x^2}dx= \frac{\arcsin(x)}{2} + \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + C,$$ to

$$\iint_D1dxdy= \arcsin(x) + x\sqrt{1 - x^2}\biggr|_{x=-1}^{x=1}=\pi.$$

Obszar regularny na płaszczyźnie i całka po takim zbiorze

Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi $OX$ lub $OY$) o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie.

Twierdzenie

Niech obszar regularny $D$ będzie sumą obszarów normalnych $D_1, D_2,\cdots,D_n$ o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja $f$ będzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy

$$\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y);dx;dy=\displaystyle \iint \limits _{D_1}f(x,y);dx;dy+\displaystyle \iint \limits _{D_2}f(x,y);dx;dy+\cdots+\displaystyle \iint \limits _{D_n}f(x,y);dx;dy.$$

UWAGA: Dla dowolnego obszaru regularnego

$$\displaystyle \iint \limits _{D}1;dx;dy$$ to pole zbioru $D$.

Zadanie 9

Obliczymy $$\displaystyle \iint \limits _{D}1;dx;dy,$$ gdzie $D$ jest trapezem o wierzchołkach w punktach $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,1)$ i $(3,0)$.

UWAGA: to jaki jest wynik jest jasne, chodzi nam o ilustrację idei bez żmudnych rachunków.

Rozwiązanie:

Mamy $$D=D_1\cup D_2\cup D_3,$$ gdzie

$$D_1=\{(x,y):0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\},\quad D_2=\{(x,y):1\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 1\},\quad D_3=\{(x,y):2\leq x\leq 3, 0\leq y\leq 3-x\}.$$ Łatwe rachunki dają, że $$\iint_{D_1}1dxdy=\frac{1}{2},\quad \iint_{D_2}1dxdy=1, \quad \iint_{D_3}1dxdy=\frac{1}{2}.$$ Zatem $$\displaystyle \iint \limits _{D}1;dx;dy=2.$$

Współrzędne biegunowe

Przypomnijmy, że każdy punkt $(x,y)$ na płaszcźnie można przedstawić w postaci

$$(r\cos\alpha, r\sin\alpha),$$ gdzie $r$ jest odległością punktu $(x,y)$ od początku układu współrzędnych a $\alpha$ jest kątem pomiędzy odcinkiem łączącym punkt $(x,y)$ z punktem $(0,0)$ a dodatnią częścią osi OX.

Zamiana zmiennych w całce podwójnej na współrzędne biegunowe

Niech

$$D=\{(r\cos\alpha,r\sin\alpha): r_1\leq r\leq r_2, 0\leq \alpha_1\leq \alpha\leq \alpha_2\leq 2\pi\}$$ i niech $f:D\to\mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą. Wtedy

$$\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{[r_1,r_2]\times [\alpha_1,\alpha_2]}f(r\cos\alpha,r\sin\alpha)rdrd\alpha.$$

Zadanie 10

Pole koła po raz drugi :)

Obliczymy

$$\iint_D1dxdy,$$

gdzie $D$ jest kołem o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $1$.

Rozwiązanie:

Widać, że

$$D=\{(r\cos\alpha,r\sin\alpha): 0\leq r\leq 1, 0\leq \alpha\leq 2\pi\}.$$

Zatem

$$ \iint_Ddxdy=\int_0^1\int_0^{2\pi}rd\alpha dr=\int_0^12r\alpha\biggr|_{\alpha=0}^{\alpha=2\pi}dr= \int_0^12\pi rdr=\pi r^2\biggr|

Zadanie 11

Obliczymy

$$\iint_De^{x^2+y^2}dxdy,$$ gdzie $D$ jest częścią zbioru $1\leq x^2+y^2\leq 4$ leżącą w drugiej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Mamy:

$$D=\{(r\cos\alpha,r\sin\alpha): 1\leq r\leq 2, \pi/2\leq \alpha\leq \pi\}.$$ Zatem

$$\iint_De^{x^2+y^2}dxdy=\iint_{[1,2]\times [\pi/2,\pi]}re^{r^2}drd\alpha=\int_1^2\int_{\pi/2}^\pi re^{r^2}d\alpha dr= \pi/2\int_1^2re^{r^2}dr=\frac{\pi}{4}e^{r^2}\biggr|_{r=1}^{r=2}=\frac{\pi}{4}(e^4-e).$$

Wybrane zastosowania całek podwójnych

Pole

Jeśli zbiór $D$ jest obszarem regularnym na płaszczyźnie, to

$$\iint_D 1 dxdy$$

jest równa polu zbioru $D$.

Uwaga: nikt nigdy nam nie wyjaśnił co to jest pole - pojęcie to wydaje się nam intuicyjnie jasne, okazuje się że definicja wymaga sporo pracy. Tak naprawdę $\iint_D 1 dxdy$ jest definicją pola.

Zadanie 12

Znajdziemy pole zbioru $D$ ograniczonego przez krzywe $y=1/x$, $y=x$ i $y=1/2$.

Rozwiązanie:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the functions
x = np.linspace(0.2, 2.5, 500)  # x-range
y1 = 1 / x  # y = 1/x
y2 = x      # y = x
y3 = 0.5    # y = 1/2 (constant)

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))

# Plot the curves
plt.plot(x, y1, label=r"$y=\frac{1}{x}$", color="blue", linewidth=2)
plt.plot(x, y2, label=r"$y=x$", color="red", linewidth=2)
plt.axhline(y=y3, color="green", linestyle="--", label=r"$y=\frac{1}{2}$", linewidth=2)



# Add labels, legend, and grid
plt.xlabel("$x$", fontsize=14)
plt.ylabel("$y$", fontsize=14)
plt.title("Region Bounded by $y=\\\\frac{1}{x}$, $y=x$, and $y=\\\\frac{1}{2}$", fontsize=16)
plt.grid(True)

# Set axis limits
plt.xlim(0.4, 2.5)
plt.ylim(0, 2)

# Show the plot
plt.show()

Widzimy, że

$$D=\{(x,y): 1/2\leq y\leq 1, y\leq x\leq 1/y\}$$

Zatem pole zbioru $D$ jest równe

$$\iint_D 1dxdy=\int_{1/2}^1\int_y^{1/y}1dxdy=\int_{1/2}^1\left(1/y-y\right)dy= \left(\ln y-\frac{y^2}{2}\right)\biggr|_{y=1/2}^{y=1}=\ln 1-1/2-\ln(1/2)+1/8=\ln 2-3/8\approx 0.318.$$

Objętość

Jeśli zbiór $D$ jest obszarem regularnym na płaszczyźnie, a funkcje $f,g:D\to\mathbb{R}$ są ciągłe, to objętość bryły

$$E=\{(x,y,z): (x,y)\in D, f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}$$ wyraża się wzorem

$$\iint_D g(x,y)-f(x,y)dxdy.$$

Zadanie 13

Obliczymy objętość bryły $E$ ograniczonej przez płaszczyzny $x=0$, $y=0$, $z=0$ i $x+y+z=1$.

Rozwiązanie:

import IPython.display as display

from IPython.display import IFrame
IFrame('https://www.geogebra.org/calculator/ke2e5ewa', width=800, height=600, style="border: 1px solid black")

Widzimy, że

$$E=\{(x,y,z): (x,y)\in D, 0\leq z\leq 1-x-y\},$$ gdzie

$$D=\{(x,y):0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1-x\}.$$ Zatem szukana objętość jest równa

$$\iint_D(1-x-y)dxdy=\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)dydx=\ldots=\frac{1}{6}.$$

Zadanie 14

Obliczymy objętość bryły $E$, która jest przekrojem kuli $x^2+y^2+z^2\leq 2$ i stożka $z\geq \sqrt{x^2+y^2}$.

Rozwiązanie:

import IPython.display as display

from IPython.display import IFrame
IFrame('https://www.geogebra.org/calculator/depsgzqy', width=800, height=600, style="border: 1px solid black")

Widzimy, że

$$E=\{(x,y,z): (x,y)\in D, \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq \sqrt{2-x^2-y^2}\},$$ gdzie

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}.$$ Zatem szukana objętość jest równa

$$V=\iint_D \sqrt{2-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$$ Aby policzyć tę całkę przejdziemy na współrzędne biegunowe. Mamy $$V=\int_0^1\int_0^{2\pi}(r\sqrt{2-r^2}-r^2)d\alpha dr=\ldots=\frac{4}{3}\pi(\sqrt{2}-1).$$

Zadanie domowe!!! Wyprowadź wzór na objętość kuli $x^2+y^2+z^2\leq 1$.

Pole płata powierzchniowego

Jeśli zbiór $D$ jest obszarem regularnym na płaszczyźnie a funkcja $f:D\to\mathbb{R}$ jest ciągła, to pole płata powierzchniowego $S$ (czyli wykresu funkcji $f$) wyraża się wzorem

$$\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)^2}dxdy.$$

Zadanie 15

Obliczymy pole powierzchni sfery o promieniu 1.

Rozwiązanie:

Wystarczy policzyć pole powierzchni górnej półsfery i pomnożyć otrzymany wynik przez $2$. Górna półsfera to wykres funkcji $f:D\to\mathbb{R}$ o wzorze $$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2},$$ gdzie $$D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}.$$ Zatem szukane pole jest równe $$2\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)^2}dxdy =\ldots= 2\iint_D\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy.$$ Przejście na współrzędne biegunowe daje, że szukane pole jest równe $4\pi$.

Środek ciężkości

Jeśli zbiór $D$ jest obszarem regularnym na płaszczyźnie a dodatnia funkcja $f\colon D\to\mathbb{R}$ jest ciągła, to punkt o współrzędnych

$$\left(\frac{\iint_D xf(x,y)dxdy}{\iint_Df(x,y)dxdy}, \frac{\iint_D yf(x,y)dxdy}{\iint_Df(x,y)dxdy}\right)$$

nazywamy jego środkiem ciężkości.

Zadanie 16

Wyznaczymy środek ciężkości jednorodnego zbioru $D$ ograniczonego przez krzywe $y=x^2$ i $y=4$.

Rozwiązanie:

Mamy

$$D=\{(x,y):-2\leq x\leq 2, x^2\leq y\leq 4.\}$$ Stąd:

$$\iint_D 1dxdy=\ldots=\frac{32}{3},$$ $$\iint_D xdxdy=\ldots=0$$ oraz

$$\iint_D ydxdy=\ldots=\frac{128}{5}.$$

Zatem środek ciężkości to punkt o współrzędnych

$$\left(0, \frac{12}{5}\right).$$