RepozytoriumzprojektemPython/stopy/CW12.ipynb

Całka nieoznaczona

Cel zajęć

Celem zajęć jest wprowadzenie pojęcia całki nieoznaczonej oraz nabycie praktycznej umiejętności obliczania całek za pomocą metody przez podstawienie i przez części.

Definicja funkcji pierwotnej

Funkcją pierwotną funkcji $f$ w przedziale $(a,b)$ nazywamy każdą taką funkcję $F$ określoną w $(a,b)$ taką, że $F'(x)=f(x)$ dla $x\in(a,b)$.

Przykład funkcji pierwotnej

Funkcje $F_1(x)=x^2$ i $F_2(x)=x^2+115$ są funkcjami pierwotnymi do funkcji $f(x)=2x$ w dowolnym przedziale $(a,b)$.

Przykład trudniejszej funkcji pierwotnej

Pokażemy, że funkcja $F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ jest funkcją pierwotną funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$. Mamy

$$ \begin{align*} F'(x)=\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)'=&\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\ =&\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\=&\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. \end{align*} $$

Przykład funkcji nie posiadającej funkcji pierwotnej

Pokażemy, że funkcja $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dana wzorem $f(x)=1$, gdy $x \geq 0$ i $f(x)=0$, gdy $x < 0$, nie posiada funkcji pierwotnej.

Jeśli funkcja $F$ byłaby funkcją pierwtotną fukcji $f$, to dla $x>0$ musiałoby być $F(x)=x+C_1$ i $F(x)=C_2$ dla $x<0$, gdzie $C_1$ i $C_2$ są pewnymi stałymi. Ponieważ funkcja $F$ musi być ciągła w punkcie x=0, to musi być $C_1=C_2=F(0)$. Ale tak określona funkcja $F$ nie ma pochodnej w punkcie $x=0$, bo

$$ F'_-(0)=\lim{h\to 0^-}\frac{F(h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{C_1-C_1}{h}=0 $$

i

$$ F'_+(0)=\lim{h\to 0^+}\frac{F(h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h+C_1-C_1}{h}=1. $$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def custom_function(x):
    if x < 0:
        return 2
    else:
        return x + 2

# Generate x values
x_values = np.linspace(-10, 10, 400)  # Adjust the range and number of points as needed

# Calculate corresponding y values
y_values = np.array([custom_function(x) for x in x_values])

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_values, y_values, label="f(x)", color='red')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Piecewise Function')
plt.legend()
plt.grid(True)

# Add coordinate axes
plt.axhline(y=0, color='black', linewidth=2)
plt.axvline(x=0, color='black', linewidth=2)

plt.show()

Uwaga: jest jasne, że dowolne dwie funkcje pierwotne do funkcji $f$ w przedziale $(a,b)$ mogą się różnić conajwyżej o stałą.

Definicja całki nieoznaczonej

Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji $f$ nazywamy całką nieoznaczoną z $f$ i zapisujemy $\int f(x)dx$. Zatem jeśli $F$ jest dowolną funkcją pierwotną, to $\int f(x)dx=F(x)+C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą.

Wzory, które trzeba znać

1. $ \int x^adx=\frac {\displaystyle {x^{a+1}}}{\displaystyle {a+1}}+C$, $a\neq -1$, $x>0$. Gdy $a$ jest liczbą naturalną, to zastrzeżenie $x>0$ odpada; gdy $a$ jest liczbą całkowitą ujemną to zamiast $x>0$ wystarczy założyć $x\neq 0$.

2. $\ \int \frac {\displaystyle {dx}}{\displaystyle x}=\ln \mid x\mid +C \ , $ $x\neq 0$ .

3. $\ \int e^xdx=e^x+C$ ,

4. $\ \int a^xdx=\frac {\displaystyle a^x}{\displaystyle {\ln a}}+C$, $a>0$, $a\neq 1$.

5. $\ \int\cos x dx=\sin x +C$ ,

6. $\ \int \sin xdx=-\cos x+C$ ,

7. $\ \int \frac {\displaystyle {dx}}{\displaystyle {\cos^2x}}= \text {tg }x +C$, $\cos x\neq 0$ .

8. $\ \int \frac {\displaystyle {dx}}{\displaystyle {\sin ^2x}}= -c\text {tg }x+C$, $\sin x\neq 0$.

9. $\ \int \frac {\displaystyle {dx}}{\displaystyle {\sqrt {1-x^2}}}= \text{arc}\sin x+C,-1<x<1$.

10. $\ \int \frac {\displaystyle {dx}}{\displaystyle {1+x^2}}= \text {arctg }x +C$.

Przykłady

Opierając się na wzorze 1 otrzymujemy:

• $ \int x^3dx=\frac{x^4}{4}+C$;

• $ \int x^5dx=\frac{x^6}{6}+C$;

• $ \int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$;

• $ \int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$;

• $ \int \frac{1}{x^7}dx=-\frac{1}{6x^6}+C$;

• $ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$;

Opierając się na wzorze 4 otrzymujemy:

• $ \int 4^x dx=\frac{4^x}{\ln 4}+C$.

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

Oblicz:

$$ \int xdx,\ \int x^8dx, \int \sqrt[5]{x}dx, \ \int \frac{1}{x^4}dx, \ \int \frac{1}{x^8}dx, \ \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx. $$

Jak obliczać całki?

Arytmetyczne własności całki

Twierdzenie. (o działaniach arytmetycznych na całkach nieoznaczonych)

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są całkowalne w przedziale $I$ (otwartym lub domkniętym), a $c$ jest dowolną liczbą, to funkcje $f+g$, $f-g$ i $cf$ są też całkowalne w $I$ oraz

$$ \int [f(x)+g(x)] ; dx= \int f(x)dx+ \int g(x) ; dx ,$$

$$ \int [f(x)-g(x)] ; dx= \int f(x)dx- \int g(x) ; dx ,$$

$$ \int cf(x) ; dx=c \int f(x) ; dx.$$

Przykłady

1. $$ \int 1+x+x^2+x^3dx=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+C. $$

$$ \int \frac{4}{x}dx=4\ln |x|+C. $$

3. $$ \int \frac{(x+1)^2}{x^3}dx=\int \frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}dx= \ln |x| -\frac{2}{x}-\frac{1}{2x^2}+C. $$

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

Oblicz:

1. $\displaystyle \int 2+\sin x +\cos xdx. $

2. $\displaystyle \int \frac{(x-1)^3}{x}dx. $

3. $\displaystyle \int 1+4x-5x^4 dx. $

Całkowanie przez podstawienie

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są różniczkowalne (w odpowiednich przedziałach), to wzór na pochodną funkcji złożonej mówi, że

$$ (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). $$ Zatem

$$ \int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C. $$ Wzór ten zwany jest wzorem na _całkowanie przez podstawienie.

Uwaga:

Całkując przez podstawienie można postąpić w następujący sposób:

1. W wyrażeniu $\int f'(g(x))g'(x)dx$ zastępujemy $g(x)$ przez $t$ a $g'(x)dx$ przez $dt$ i otrzymujemy $\int f'(t)dt$.
2. Ponieważ

$$ \int f'(t)dt=f(t)+C, $$

to zastępując teraz $t$ przez $g(x)$ otrzymujemy ostatecznie, że

$$ \int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C. $$

Przykłady

1. Obliczymy

$$ \int 3x^2e^{x^3}dx. $$

W tym celu podstawiamy $t=x^3$. Wtedy $dt=3x^2dx$. Stąd

$$ \int 3x^2e^{x^3}dx=\int e^t dt=e^t+C=e^{x^3}+C. $$

2. Obliczymy

$$ \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\left(\sqrt{x}\right)dx. $$

W tym celu podstawiamy $t=\sqrt{x}$. Wtedy $dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$. Stąd

$$ \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\left(\sqrt{x}\right)dx=\int \cos(t)dt=\sin (t)+C =\sin\left(\sqrt{x}\right)+C. $$

3. Obliczymy

$$ \int \frac{\ln^5x}{x}dx. $$

W tym celu podstawiamy $t=\ln x$. Wtedy $dt=\frac{1}{x}dx$. Stąd

$$ \int \frac{\ln^5x}{x}dx=\int t^5dt=\frac{t^6}{6}+C=\frac{\ln^6x}{6}+C. $$

4. Obliczymy

$$ \int x\sqrt{1+x^2}dx. $$

W tym celu podstawiamy $t=1+x^2$. Wtedy $dt=2xdx$. Stąd

$$ \int x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int 2x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C= \frac{1}{3}\sqrt{(1+x^2)^3}+C. $$

5. Obliczymy

$$ \int \frac{x^3}{1+x^8}dx. $$

W tym celu podstawiamy $t=x^4$. Wtedy $dt=4x^3dx$. Stąd

$$ \int \frac{x^3}{1+x^8}dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{1+t^2}dt=\frac{1}{4}\operatorname{arctg}(t)+C=\frac{1}{4}\operatorname{arctg}(x^4)+C. $$

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

1. $\displaystyle \int \cos xe^{\sin x}dx$

2. $\displaystyle \int \frac{1}{x}\frac{1}{1+(\ln x)^2}dx$

3. $\displaystyle \int\frac{\sqrt[3]{\operatorname{tg} x}}{\cos^2x} dx$

4. $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

5. $\displaystyle \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$

6. $\displaystyle \int \sin^4x\cos x dx$

7. $\displaystyle \int\frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^2} dx$

Przydatna obserwacja

Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej wynika, że jeśli

$$ \int f(x)dx=F(x)+C, $$

to

$$ \int f(ax+b)dx=\frac{F(ax+b)}{a}+C. $$

Przykłady

1. $\displaystyle\int e^{4x+1}dx=\frac{e^{4x+1}}{4}+C$.

2. $\displaystyle\int \cos(2x+1)dx=\frac{\sin(2x+1)}{2}+C$.

3. $\displaystyle\int \frac{1}{4x+6}dx=\frac{\ln|4x+6|}{4}+C$.

4. $\displaystyle\int \frac{1}{(5x+6)^{11}}dx=-\frac{1}{50(5x+6)^{10}}+C$.

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

1. $\displaystyle\int e^{-3x+1}dx$.

2. $\displaystyle\int \sin(8x+1)dx$.

3. $\displaystyle\int \frac{1}{7x+7}dx$.

4. $\displaystyle\int \frac{1}{(8x+6)^{8}}dx$.

I jeszcze jedna obserwacja

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C. $$

Przykłady

1. $\displaystyle \int\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2} \int\frac{2x}{1+x^2}dx=\frac{\ln(1+x^2)}{2}+C$.

2. $\displaystyle \int\frac{\cos x}{7+\sin x}dx=\ln(7+\sin x)+C$.

Całkowanie przez części

Twierdzenie.

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ mają pochodne $f'$ i $g'$ ciągłe w przedziale $I$ (otwartym lub domkniętym), to

$$ \int f(x)g'(x) ; dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) ; dx \ . $$

Przykłady

1. Obliczymy

$$ \int xe^xdx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x$ i $g'(x)=e^x$. Wtedy $f'(x)=1$ i $g(x)=e^x$ i mamy

$$ \int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C. $$

2. Obliczymy

$$ \int (x^2+2x+1)e^{x+1}dx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x^2+2x+1$ i $g'(x)=e^{x+1}$. Wtedy $f'(x)=2x+2$ i $g(x)=e^{x+1}$ i mamy

$$ \int (x^2+2x+1)e^{x+1}dx =(x^2+2x+1)e^{x+1}-\int (2x+2)e^{x+1}dx. $$

Pozostałą do obliczenia całkę $\int (2x+2)e^{x+1}dx$ obliczymy ponownie przez części biorac $f(x)=2x+2$ i $g'(x)=e^{x+1}$. Wtedy $f'(x)=2$ i $g(x)=e^{x+1}$ i mamy

$$ \begin{align} \int (x^2+2x+1)e^{x+1}dx =&(x^2+2x+1)e^{x+1}-(2x+2)e^{x+1}+\int 2e^{x+1}dx\\ =& (x^2+2x+1)e^{x+1}-(2x+2)e^{x+1}+2e^{x+1}+C \\ =& (x^2+1)e^{x+1}+C. \end{align} $$

Uwaga: Tak można obliczyć każdą całkę postaci

$$ \int p(x)e^{ax+b}dx, $$ gdzie $p(x)$ jest wielomianem.

3. Obliczymy

$$ \int x\sin(x)dx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x$ i $g'(x)=\sin (x)$. Wtedy $f'(x)=1$ i $g(x)=-\cos(x)$ i mamy

$$ \int x\sin(x)dx=-x\cos(x)+\int \cos(x)dx=-x\cos(x)+\sin(x)+C. $$

4. Obliczymy

$$ \int x^2\cos(2x+1)dx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=x^2$ i $g'(x)=\cos(2x+1)$. Wtedy $f'(x)=2x$ i $g(x)=\frac{\sin(2x+1)}{2}$ i mamy

$$ \int x^2\cos(2x+1)dx =\frac{x^2}{2}\sin(2x+1)-\int x\sin(2x+1)dx. $$

Pozostałą do obliczenia całkę $\int x\sin(2x+1)dx$ obliczymy ponownie przez części biorac $f(x)=x$ i $g'(x)=\sin(2x+1)$. Wtedy $f'(x)=1$ i $g(x)=-\frac{\cos(2x+1)}{2}$ i mamy

$$ \begin{align} \int x^2\cos(2x+1)dx =&\frac{x^2}{2}\sin(2x+1)+\frac{x}{2}\cos(2x+1)-\int \frac{\cos(2x+1)}{2}dx \\ =& \frac{x^2}{2}\sin(2x+1)+\frac{x}{2}\cos(2x+1)- \frac{\sin(2x+1)}{4}+C. \end{align} $$

Uwaga: Tak można obliczyć każdą całkę postaci

$$ \int p(x)\sin(ax+b)dx, \int p(x)cos(ax+b)dx $$ gdzie $p(x)$ jest wielomianem.

5. Obliczymy

$$ \int \ln xdx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=\ln x$ i $g'(x)=1$. Wtedy $f'(x)=\frac{1}{x}$ i $g(x)=x$ i mamy

$$ \int \ln x dx=x\ln x-\int 1dx=x\ln x -x+C. $$

6. Obliczymy

$$ \int x^8\ln xdx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=\ln x$ i $g'(x)=x^8$. Wtedy $f'(x)=\frac{1}{x}$ i $g(x)=\frac{x^9}{9}$ i mamy

$$ \int \ln x dx=\frac{x^9\ln x}{9}-\int \frac{x^8}{9}dx=\frac{x^9\ln x}{9}- \frac{x^9}{81}+C. $$

Uwaga: Tak można obliczyć każdą całkę postaci

$$ \int p(x)\ln xdx, $$ gdzie $p(x)$ jest wielomianem.

7. Obliczymy

$$ \int \cos(x)e^xdx. $$

Skorzystamy ze wzoru na całkowanie przez części biorąc: $f(x)=\cos(x)$ i $g'(x)=e^x$. Wtedy $f'(x)=-\sin(x)$ i $g(x)=e^x$ i mamy

$$ \int \cos(x)e^xdx =\cos(x)e^x+\int \sin(x)e^xdx. $$

Pozostałą do obliczenia całkę $\int \sin(x)e^xdx$ obliczymy ponownie przez części biorac $f(x)=\sin(x)$ i $g'(x)=e^x$. Wtedy $f'(x)=\cos (x)$ i $g(x)=e^x$ i mamy

$$ \begin{align} \int \cos(x)e^xdx =&\sin(x)e^x+\cos(x)e^x-\int \cos(x)e^x. \end{align} $$

Stąd

$$ 2\int \cos(x)e^xdx =\sin(x)e^x+\cos(x)e^x, $$

a zatem

$$ \int \cos(x)e^xdx =\frac{\sin(x)e^x+\cos(x)e^x}{2}+C. $$

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

1. $\displaystyle \int (x+3)e^{x+4}dx$.

2. $\displaystyle\int x^3e^{x}dx$.

3. $\displaystyle\int (x+2)\cos(2x+1)dx$.

4. $\displaystyle\int x^2\sin(x+3)dx$.

5. $\displaystyle\int x^6\ln xdx$.

Uwaga. Oczywisćie nie każdą całkę można policzyć używając tylko metody całkowania przez cześci i przez podstawienie. Ponadto istnieją też takie funkcje, których funkcji pierwotnej nie można przedstawić za pomocą funkcji elementarnych.