"Kontynuujemy temat generowania przestrzeni probabilistycznych w języku R. Przypominamy, że większość interesujących nas funkcji znajduje się w pakiecie `probs`. "
"Przypomnijmy, że jeśli dane są dwa zdarzenia $A$ i $B$ określone w tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz $\\mathbb{P}(B)>0$, to możemy zdefiniować prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$ w następujący sposób:\n",
"gdzie w miejscu $A$ i $B$ należy podać odpowiednie podzbiory w formie ramek danych lub formuły logicznej opisującej to zdarzenie. Jeśli $A$ zostanie wcześniej zdefiniowane jako podzbiór odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej, to można też użyć polecenia `Prob(A, given=B)`."
"Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest większa od $7$, jeśli wiemy, że w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek?"
"Przypomnijmy, że jeśli dane są dwie przestrzenie probabilistyczne $(\\Omega_1, \\mathcal{F}_1, \\mathbb{P}_1)$ oraz $(\\Omega_2, \\mathcal{F}_2, \\mathbb{P}_2)$, to możemy zdefiniować ich produkt jako przestrzeń probabilistyczną $(\\Omega,\\mathcal{F},\\mathcal{P})$, gdzie $\\Omega = \\Omega_1\\times\\Omega_2$, $\\mathcal{F}$ zawiera wszystkie zbiory postaci $A_1\\times A_2\\in \\mathcal{F}_1\\times\\mathcal{F}_2$, oraz funkcja prawdopodobieństwa $\\mathbb{P}$ spełnia warunek\n",
"W analogiczny sposób możemy definiować produkt dowolnej, skończonej liczby przestrzeni probabilistycznych. W języku R istnieje kilka sposobów modelowania tego typu przestrzeni.\n",
"### Niezależne powtórzenia tego samego eksperymentu losowego\n",
"\n",
"Załóżmy najpierw, że wielokrotnie w sposób niezależny powtarzamy ten sam eksperyment losowy, np. rzucamy $n$-krotnie standardową kostką sześcienną. Wówczas możemy użyć polecenia \n",
"\n",
"`iidspace(x, ntrials, probs=NULL)`,\n",
"\n",
"gdzie `x` oznacza wektor możliwych wyników w pojedynczym powtórzeniu eksperymentu losowego, `ntrials` podaje liczbę powtórzeń, a `probs` to wektor prawopodobieństw odpowiadający wynikom `x`. Jeśli wszystkie wyniki pojedynczego powtórzenia eksperymentu losowego są równo prawdopodobne, to możemy nie podawać wektora `probs`.\n",
"Szczególnym przypadkiem niezależnych powtórzeń tego samego eksperymentu losowego jest sytuacja, gdy ten eksperyment losowy ma tylko dwa możliwe wyniki umownie nazywane ,,sukcesem'' i ,,porażką''. Jeśli liczba powtórzeń eksperymentu losowego jest ustalona i skończona, to mamy wówczas do czynienia z tzw. **schematem Bernoulliego**. Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w tego typu doświadczeniu losowym jest wtedy równe:\n",
"$$\\tau_k = {n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ \\text{ dla } \\ k=0,1,\\ldots,n,$$\n",
"\n",
"gdzie $n$ to liczba powtórzeń, a $p$ to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W R prawdopodobieństwa tego typu można liczyć przy pomocy następującego polecenia z pakietu `stats`:\n",
"gdzie `x` oznacza wektor zawierający interesujące nas liczby sukcesów, `size` oznacza liczbę powtórzeń, a `prob` prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.\n",
"\n",
"**Przykład 3** \n",
"\n",
"Losujemy $10$ razy, ze zwracaniem jedną kartę z talii $52$ kart. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wylosujemy:\n",
"# Zwróćmy uwagę, że zostanie zwrócony wektor prawdopodobieństw odpowiadający wszystkim możliwym liczbom sukcesów. Aby uzyskać odpowiedź musimy je zsumować\n",
"Mogą nas też interesować doświadczenia losowe polegające na powtarzaniu eksperymentu losowego o dwóch wynikach (ponownie umownie nazywanymi \"sukcesem\" i \"porażką\") do momentu osiągnięcia pierwszego sukcesu. Mamy wówczas do czynienia z tzw. **rozkładem geometrycznym** i możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że będziemy potrzebowali dokładnie $k$ prób na osiągnięcie pierwszego sukcesu zgodnie ze wzorem:\n",
"$$\\sigma_k=p(1-p)^{k-1} \\ \\text{ dla } \\ k=1,2,\\ldots,$$\n",
"\n",
"gdzie $p$ oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W R prawdopodobieństwa tego typu można liczyć przy pomocy następującego polecenia z pakietu `stats`:\n",
"gdzie `x` oznacza wektor zawierający interesujące nas liczby porażek przed osiągnięciem pierwszego sukcesu, a `prob` prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.\n",
"\n",
"**Przykład 4** \n",
"\n",
"Losujemy wielokrotnie ze zwracaniem jedną kartę z talii $52$ kart do momentu wylosowania pierwszego kiera. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wykonamy:\n",
"[1] \"Prawdopodobieństwo co najwyżej 6 losowań: 0.822021484375\"\n"
]
},
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"[1] \"Prawdopodobieństwo co najmniej 7 losowań: 0.177978515625\"\n"
]
}
],
"source": [
"# Podobnie, jak w poprzednim przykładzie mamy do czynienia z niezależnymi powtórzeniami tego samego eksperymentu losowego, a sukcesem jest wylosowanie kiera\n",
"# Zwróćmy uwagę, że w poleceniu dgeom podajemy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem\n",
"# Zwróćmy uwagę, że zostanie zwrócony wektor prawdopodobieństw odpowiadający wszystkim możliwym liczbom wykonanych losowań. Aby uzyskać odpowiedź musimy je zsumować\n",
"print(paste('Prawdopodobieństwo co najwyżej 6 losowań: ', p2))\n",
"# W przypadku zdarzenia ,,wykonamy co najmniej 7 losowań'' nie będziemy tego rozbijać na wszystkie możliwe przypadki (bo byłoby ich nieskończenie wiele). Zamiast tego skorzystamy ze zdarzenia przeciwnego\n",
"Na koniec pokażemy, jak możemy modelować przestrzenie produktowe w przypadku, gdy łączymy wyniki kilku różnych eksperymentów losowych. Wiemy już, że w takim przypadku zbiór zdarzeń elementarnych $\\Omega$ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów zdarzeń elementarnych odpowiadających poszczególnym eksperymentom losowym. W języku R do generowania iloczynu kartezjańskiego wektorów możemy użyć polecenia `expand.grid`. Jako argumenty należy podać wektory, których iloczyn kartezjański chcemy wyznaczyć. Jeśli podamy je w formie `tag=v`, to kolumna odpowiadająca wektorowi `v` będzie miała nazwę `tag`.\n",
"Należy zwrócić uwagę, że jeśli definiujemy w R produktową przestrzeń probabilistyczną opierając się na przestrzeniach probabilistycznych, w których prawdopodobieństwo nie jest definiowane w sposób klasyczny, to musimy dodatkowo zdefiniować w odpowiedni sposób wektor prawdopodobieństw.\n",
"Rzucamy jednokrotnie kostką i monetą. Zakładamy, że na kostce jedno oczko wypada z prawdopodobieństwem $1/2$, a pozostałe liczby oczek wypadają z prawdopodobieństwem $1/10$. Wygeneruj przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu losowemu. Następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ \\- wypadł orzeł i nieparzysta liczba oczek.\n"
"# Możemy wykorzystać zbiór zdarzeń elementarnych Omega wygenerowany w poprzednim przykładzie\n",
"# Zgodnie z definicją przestrzeni produktowej aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego (x,y) należy pomnożyć prawdopodobieństwa tych zdarzeń w pierwotnych przestrzeniach probabilistycznych\n",
"# Alternatywnie, można by wyznaczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia nieparzystej liczby oczek w przestrzeni rzutu kostką i prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w przestrzeni rzutu monetą i pomnożyć przez siebie te dwa prawdopodobieństwa\n",
